군의 정의, 대칭군, 일반선형군

군의 공리

$X$를 집합이라고 하자. 여기서 $\phi: X\times X\to X$와 같이 주어진 사상 $\phi$를 $X$의 연산이라고 하며, 의미상 혼돈의 여지가 없다면 $\phi(a,b)$를 $ab$로 쓰기도 한다. 일반적인 정수, 유리수, 실수의 덧셈이나 곱셈은 각 집합에 주어진 연산의 하나라고 생각할 수 있다.

정의 1(군, abelian 군). 공집합이 아닌 집합 $G$에 연산이 주어지고, 그 연산이 다음 조건 1,2,3을 만족한다면, $G$는 group이라고 한다. 특히, 조건 4를 만족하는 군을 가환군, 혹은 abelian 군이라고 한다.

  1. 결합법칙 – 임의의 $a,b,c\in G$에 대하여 $(ab)c = a(bc)$.
  2. 단위원의 존재 – $e\in G$가 존재하여, 임의의 $a\in G$에 대하여 $ea = ae = a$. 이 때, $e$를 단위원identity element라고 한다.
  3. 역원의 존재 – 임의의 $b\in G$에 대하여, $b\in G$가 존재하여 $ab = ba = e$. 이 때, $b$를 $a$의 역원inverse element라고 한다.
  4. 교환법칙 – 임의의 $a,b\in G$에 대하여, $ab = ba$. —

명제 1. $G$를 군이라고 하자.

  1. $G$의 단위원은 유일하다.
  2. $G$의 각 원소의 역원은 유일하다. —

증명.

  1. $e, e’$이 $G$의 단위원이라고 하면, $e = ee’ = e’$.
  2. $b, b’$가 $a\in G$의 역원이라고 하면, $b = bab’ = b’$. $\square$

이 명제에 따라서, 앞으로 별 다른 언급이 없는 한, $1_G$를 $G$의 단위원, 그리고 $a^{-1}$을 $a\in G$의 역원으로 쓰기로 한다. 또한, 편의상, $a\in G$에 대하여 $a^0 = 1_G$, 그리고, $n\in \SetZ_{>0}$ 에 대하여, $a^{n} = a\cdots a$ ($a$는 $n$개), $a^{-n} = (a^n)^{-1}$으로 쓰기로 한다. 이 경우, 임의의 $m,n\in\SetZ$에 대하여, $a^ma^n = a^{m+n} = a^na^m$, $(a^m)^n = a^{mn} = (a^n)^m$이 성립한다.

문제. $G$를 군이라고 하자.

  1. $a,b\in G$에 대하여 $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$임을 보여라.
  2. $a\in G$에 대하여 $(a^{-1})^{-1} = a$임을 보여라. —

정의 2. 군 $G$에 대하여, 그 군의 크기 혹은 농도 $|G|$를 $G$의 위수order라고 한다. 위수가 유한인 군을 유한군, 그렇지 않은 군을 무한군이라고 한다. —

군의 예 – 대칭군, 일반선형군

예 1. $G = \left\{ e \right\}$에 연산을 $\phi: (e,e)\mapsto e$와 같이 부여하면, 이는 원소 1개만을 가지는 군을 이룬다. 이러한 군을 자명한 군trivial group이라고 한다. —

예 2. $\SetZ$, $\SetQ$, $\SetR$, $\SetC$는 통상적인 덧셈에 의하여 가환군을 이룬다. 단위원은 $0$, 각 집합의 원소 $x$의 역원은 $-x$가 된다. —

예 3. $\SetQ\setminus \left\{ 0 \right\}$, $\SetR\setminus \left\{ 0 \right\}$, $\SetC\setminus \left\{ 0 \right\}$는 통상적인 곱셈에 의하여 가환군을 이룬다. 단위원은 $1$, 각 집합의 원소 $x$의 역원은 $1/x$가 된다. 그러나 $\SetZ\setminus \left\{ 0 \right\}$는 통상적인 곱셈에 의하여 군을 이루지 않는다. 예를 들어, $2\in\SetZ$에 대해서는 역원이 존재하지 않는다. —

예 4. $X$를 집합이라고 할 때, 전단사 사상 $\sigma: X\to X$를 $X$의 치환이라고 한다. $\mathfrak S$를 $X$의 치환 전체의 집합이라고 하고, $\sigma,\tau\in\mathfrak S$ 에 대하여, $\sigma\tau = \sigma\circ\tau$로 연산을 정의하면, $\mathfrak S$는 군의 정의를 만족하는 것을 알 수 있다. 여기서 $\mathfrak S$를 $X$의 치환군이라고 하며, 특히 $X_n = \left\{ 1, 2,\dots, n\right\}$ 이라고 할 때, $X_n$의 치환군 $\mathfrak S_n$을 $n$차의 대칭군symmetry group이라고 한다. $\mathfrak S_n$은 위수 $n!$의 유한군임을 간단한 계산으로부터 확인할 수 있다. —

$1\leq i_1, \ldots, i_m\leq n$을 서로 다른 정수라고 하고, $\sigma(i_1) = i_2,\sigma(i_2) = i_3, \ldots, \sigma(i_{m-1}) = i_m, \sigma(i_m) = i_1$ 을 만족, $\left\{ i_1,\ldots,i_m \right\}$에 속하지 않는 $j$에 대해서는 $\sigma(j) =j$인 $\sigma \in \mathfrak S_n$을 길이 $m$의 순회치환이라고 하며, $\sigma = (i_1i_2\cdots i_m)$과 같이 나타낸다. 특히 길이가 $2$인 순회치환을 호환이라고 한다.

예 5. 실수 성분의 $n\times n$ 가역행렬 전체의 집합을 $\text{GL}_n(\SetR)$이라고 하자. 그렇다면, $\text{GL}_n(\SetR)$은 행렬의 곱을 연산으로 하여 군을 이루는 것을 확인할 수 있다. 실수 성분이 아닌, 복소수 성분의 $n\times n$ 가역행렬 전체의 집합 $\text{GL}_n(\SetC)$ 역시 군을 이루며, $\text{GL}_n(\SetR)$, $\text{GL}_n(\SetC)$ 를 일반선형군이라고 한다. —

이 포스트에서는…

  • 군의 공리 – 결합법칙, 단위원의 존재, 역원의 존재 – 를 이용하여 을, 가환법칙이 성립하는 군으로 abelian 군을 정의했다.
  • 군 $G$의 위수를 군의 크기 혹은 농도 $|G|$로 정의했다.
  • 군의 대표적인 예로 대칭군일반선형군을 제시했다.

참고문헌

  • 雪江 明彦,『代数学 1 群論入門』,日本評論社,2010.