군의 준동형

준동형, 동형의 정의

정의 1(준동형, 동형). $G_1, G_2$에 대하여, 사상 $\phi: G_1 \to G_2$가 임의의 $a,b\in G_1$에 대하여 $\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)$를 만족한다면, $\phi$를 $G_1$에서 $G_2$로의 준동형(homomorphism)이라고 한다. $\phi: G_1 \to G_2$가 준동형인 동시에 전단사라면, $\phi$는 동형(isomorphism)이라고 한다. —

$\phi$가 동형이라면, $\phi(\phi^{-1}(ab)) = ab =\phi(\phi^{-1}(a))\phi(\phi^{-1}(b)) = \phi(\phi^{-1}(a)\phi^{-1}(b))$ 이 성립하고, $\phi$는 단사이므로, $\phi^{-1}$ 역시 준동형을 이룬다는 것을 알 수 있다.

문제. $\phi\colon G_1\to G_2$, $\psi\colon G_2\to G_3$를 준동형이라고 한다면, $\psi\circ\phi$는 준동형, 마찬가지로, $\phi, \psi$가 동형이라면, $\psi\circ\phi$는 동형임을 보여라. —

명제 1. $\phi: G_1 \to G_2$를 준동형이라고 하면:

  1. $\phi(1_{G_1}) = 1_{G_2}$.
  2. 임의의 $x\in G_1$에 대하여, $\phi(x^{-1}) = \phi(x)^{-1}$. —

증명.

  1. $\phi(1_{G_1}) = \phi(1_{G_1}1_{G_1}) = \phi(1_{G_1})\phi(1_{G_1})$, 양변에 $\phi(1_{G_1})^{-1}$을 오른쪽으로부터 곱하면 결과를 얻는다.
  2. 1의 결과로부터, $1_{G_2} = \phi(1_{G_1}) = \phi(xx^{-1}) = \phi(x)\phi(x^{-1})$. 양변에 $\phi(x)^{-1}$을 왼쪽으로부터 곱하면 결과를 얻는다. $\square$

명제 2. $\phi,\psi\colon G_1\to G_2$가 준동형이라고 하자. 또한, $S\subset G_1$ 에 대하여 $\langle S \rangle = G_1$일 때, 임의의 $x\in S$에 대하여 $\phi(x) = \psi(x)$라면, $\phi = \psi$이다. —

증명. $x\in G_1 = \langle S \rangle$, $x = x_1^{p_1}\cdots x_n^{p_n}$으로 나타내어진다고 하자. ($x_1,\ldots,x_n\in S$, $p_1,\ldots,p_n \in \left\{ 1, -1 \right\}$) 그렇다면,

$$ \phi(x) = \phi(x_1)^{p_1}\cdots\phi(x_n)^{p_n} =\psi(x_1)^{p_1}\cdots\psi(x_n)^{p_n} = \psi(x) $$

가 성립하므로, $\phi = \psi$. $\square$

준동형의 핵, 상

정의 3(준동형의 핵, 상). $\phi: G_1\to G_2$를 준동형이라고 하자.

  1. $\text{Ker}(\phi) = \left\{ x\in G_1 \mid \phi(x) = 1_{G_2} \right\}$을 $\phi$의 핵(kernel)이라고 한다.
  2. $\text{Im}(\phi) = \phi(G_1)$을 $\phi$의 상(image)이라고 한다. —

여기서 $\text{Ker}(\phi)$와 $\text{Im}(\phi)$가 각각 $G_1$과 $G_2$의 부분군이라는 사실은 쉽게 확인할 수 있다.

명제 3. $\phi: G_1\to G_2$가 준동형이라고 하자. 다음은 모두 동치이다.

  1. $\phi$는 단사.
  2. $\text{Ker}(\phi)$는 자명. —

증명. $\phi$가 단사라고 하면, $\phi(x) = 1_{G_2}$인 $x\in G_1$는 $x= 1_{G_1}$이 유일하니 2가 성립. 반대로, 2를 가정하면, $\phi(x) = \phi(y)$ 일 때, $\phi(xy^{-1}) = \phi(x)\phi(y)^{-1} = 1_{G_2}$, $xy^{-1}\in \text{Ker}(\phi)$ 이므로, $x = y$. $\square$

이 포스트에서는…

  • 군과 군 사이의 준동형 사상을 정의했다.
  • 준동형 사상 $\phi$의 $\text{Ker}(\phi)$과 $\text{Im}(\phi)$을 정의했다.
  • 준동형 사상 $\phi$가 단사인 것과 $\text{Ker}(\phi)$가 자명한 것이 동치임을 보였다.

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