정역, 체

영인자, 정역, 체

정의 1. $A$를 비자명한 가환환이라고 하자.

  1. $a\in A$에 대하여, $b\neq 0$인 $b\in A$가 존재하여 $ab = 0$라면, $a$는 $A$의 영인자zero divisor라고 한다1.
  2. $A$가 $0$ 이외의 영인자를 가지지 않는다면, $A$는 정역integral domain이라고 한다2. —

따라서, 정역 $A$와 임의의 $a,b\in A$에 대하여, $a,b\neq 0$라면 $ab \neq 0$이다.

정의 2. $A$가 비자명한 가환환이고, $0$ 이외의 원소가 모두 단원이라면, $A$를 field라고 한다3. —

명제 1. 단원은 영인자가 아니다. —

증명. $A$를 자명하지 않은 가환환, $a\in A$를 단원이라고 하자. 만약, $a\in A$가 영인자라고 하면, $b\neq 0$인 $b\in A$가 존재하여 $ab=0$이다. 하지만, $a$는 단원이므로, $b = a^{-1}ab = a^{-1}0 = 0$ 이므로 가정에 모순. $\square$

따름정리 2. 체는 정역이다. —

예 1. $A = \SetZ/4\SetZ$라고 하자. $\overline{0}\neq\overline{2}\in A$의 경우, $\overline{2}\times\overline{2} = \overline{0}$이므로 $\overline{2}$는 영인자이다. 따라서 $A$는 정역이 아니다. —

이 포스트에서는…

  • 자명하지 않은 가환환 $A$에 대하여, $b\in A\setminus \left\{ 0 \right\}$가 존재하여 $ab = 0$인 원소 $a\in A$를 $A$의 영인자로 정의했다.
  • $0$ 이외의 영인자를 가지지 않는, 자명하지 않은 가환환을 정역이라고 정의했다.
  • $0$ 이외의 원소가 모두 단원인, 자명하지 않은 가환환을 라고 정의했다.
  • 단원은 영인자가 아님을 보였다. 따라서, 체는 정역임을 보였다.

참고문헌

  • M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, “Introduction to Commutative Algebra”, Addison-Wesley, 1969.
  • 雪江 明彦,『代数学 2 環と体とガロア理論』,日本評論社,2010.

  1. $A$가 비가환환인 경우, $a\in A$에 대하여 $b\in A\setminus\left\{ 0 \right\}$가 존재하여 $ab = 0$라면, $a$를 왼쪽 영인자라고 한다. $c\in A\setminus\left\{ 0 \right\}$가 존재하여 $ca = 0$라면, $a$를 오른쪽 영인자라고 한다.↩︎

  2. $A$가 비가환환의 경우 역시 왼쪽 영인자와 오른쪽 영인자가 $0$ 이외에 존재하지 않는다면, 정역인 비가환환이라고 한다.↩︎

  3. $A$가 비자명한 비가환환의 경우, $0$ 이외의 원소가 모두 단원이라면, $A$는 사체skew field라고 한다.↩︎

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