멱영군

멱영군의 정의

정의 1(멱영군). $G$를 군이라고 하자. 군의 열 $G = G_0 \supset G_1 \supset\cdots \supset G_n = \left\{ 1_G \right\}$가 존재하여, 모든 $i=0,\ldots,n-1$에 대하여 다음 조건을 만족한다면, $G$는 멱영군nilpotent group이라고 한다.

  1. $G_{i+1} \vartriangleleft G$.
  2. $G_i/G_{i+1} \subset \text{Z}(G/G_{i+1})$. —

.

  1. 임의의 abelian 군은 멱영군이다.
  2. 임의의 자명하지 않은 멱영군 $G$에 대하여, $G$의 중심 $\text{Z}(G)$는 자명하지 않다. $G_i$가 자명하지 않은 최대의 $i$에 대하여 $G_i\subset\text{Z}(G)$ 이기 때문. —

명제 1. 임의의 멱영군은 가해군이다. —

증명. 정의 1의 멱영군과 그 군의 열을 그대로 사용한다. $G_{i+1}\vartriangleleft G$이므로, $G_{i+1} \vartriangleleft G_i$이다. 또한, $D(G_i) =[G_i, G_i] \subset [G_i, G] \subset G_{i+1}$가 정의 1의 조건 2로부터 성립하므로, $G_i/G_{i+1}$은 abelian1. 따라서 $G$는 가해군2이다. $\square$

이 포스트에서는…

  • 멱영군을 정의했다.
  • 멱영군은 가해군임을 보였다. 따라서, “abelian 군 $\subset$ 멱영군 $\subset$ 가해군 $\subset$ 비단순군”의 함의 관계가 성립함을 알 수 있다.

참고문헌

  • 雪江 明彦,『代数学 1 群論入門』,日本評論社,2010.

  1. 교환자군과 가해군, 명제 2.↩︎

  2. 교환자군과 가해군, 정리 4.↩︎

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