$p$-κ΅°

$p$-ꡰ의 μ •μ˜

μ •μ˜ 1($p$-κ΅°). $G$λ₯Ό μœ ν•œκ΅°μ΄λΌκ³  ν•˜μž. $|G| = p^e$ ($p$λŠ” μ†Œμˆ˜, $e\in\SetZ_{>0}$) 일 λ•Œ, $G$λ₯Ό $p$-ꡰ이라고 ν•œλ‹€. β€”

$p$-ꡰ의 μ„±μ§ˆ

λͺ…μ œ 1. $G$λ₯Ό $p$-ꡰ이라고 ν•˜μž. 이 λ•Œ, $\left\{ 1_G \right\} \neq N \vartriangleleft G$ 라고 ν•  λ•Œ, $N\cap \text{Z}(G) \neq \left\{ 1_G \right\}$이닀. 특히, μž„μ˜μ˜ $p$-κ΅° $G$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\text{Z}(G) \neq \left\{ 1_G \right\}$ 이닀. β€”

증λͺ…. $\phi: G\times N \ni (g,n)\mapsto gng^{-1} \in N$κ³Ό 같은 μž‘μš©μ„ μƒκ°ν•œλ‹€. $|G| = p^e$라고 ν•˜λ©΄, Lagrange 정리에 μ˜ν•˜μ—¬ $|N| = p^a$ ($0<a\leq e$)와 같이 λ‚˜νƒ€λ‚΄μ–΄μ§„λ‹€. λ§Œμ•½, $N \cap \text{Z}(G) = \left\{ 1_G \right\}$라고 κ°€μ •ν•˜λ©΄, μž‘μš© $\phi$에 μ˜ν•œ κΆ€λ„μ˜ ν¬κΈ°λŠ” λͺ¨λ‘ $p^b$ ($0\leq b\leq a$)와 같이 λ‚˜νƒ€λ‚΄μ–΄μ§€λŠ” λ™μ‹œμ—, 크기 $1$의 κΆ€λ„λŠ” $\left\{ 1_G \right\}$κ°€ μœ μΌν•˜κ²Œ λœλ‹€. λ”°λΌμ„œ, 크기 $1$이 μ•„λ‹Œ λ‚˜λ¨Έμ§€ κΆ€λ„μ˜ 크기λ₯Ό 각각 $p^{b_1}, \ldots, p^{b_m}$ ($b_1,\ldots,b_m > 0$)라고 ν•˜λ©΄, $p^a =|N| = 1 +p^{b_1} + \cdots + p^{b_m}$이닀. ν•˜μ§€λ§Œ 양변을 $p$둜 λ‚˜λˆˆ λ‚˜λ¨Έμ§€κ°€ μΌμΉ˜ν•˜μ§€ μ•ŠμœΌλ―€λ‘œ μ΄λŠ” λͺ¨μˆœ. $\square$

정리 2. μž„μ˜μ˜ $p$-ꡰ은 λ©±μ˜κ΅°μ΄λ‹€. β€”

증λͺ…. $G$λ₯Ό $p$-ꡰ이라고 ν•˜μž. μ—¬κΈ°μ„œ, $N_0 = \left\{ 1_G \right\}$, $N_{i+1} = \left\{ x\in G\mid xN_i \in \text{Z}(G/N_i) \right\}$ 와 같이, μ§‘ν•©μ˜ μ—΄ $N_i$λ₯Ό μ •μ˜ν•˜λ©΄, μž„μ˜μ˜ $i\geq 0$에 λŒ€ν•˜μ—¬ λ‹€μŒμ„ λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” 것을 귀납법을 톡해 μ•Œ 수 μžˆλ‹€.

  1. $N_i$λŠ” $G$의 λΆ€λΆ„κ΅°, λ™μ‹œμ— $N_i \vartriangleleft G$. (μ—°μŠ΅λ¬Έμ œ)
  2. $N_{i+1}/N_i = \text{Z}(G/N_i)$. (μ •μ˜λ‘œλΆ€ν„° λΆ„λͺ…)

Lagrange 정리에 μ˜ν•˜μ—¬, $N_i\subsetneq G$λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” $i\geq 0$에 λŒ€ν•΄ $G/N_i$λŠ” $p$-ꡰ이닀. λ”°λΌμ„œ, λͺ…μ œ 1에 μ˜ν•˜μ—¬, $\left\{ N_i \right\}\neq\text{Z}(G/N_i) = N_{i+1}/N_i$, $N_i \subsetneq N_{i+1}$, $G$λŠ” μœ ν•œκ΅°μ΄λ―€λ‘œ, $N_n = G$인 $n\geq 0$이 μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬,

$$ \left\{ 1 \right\} = N_0 \subsetneq N_1 \subsetneq \cdots \subsetneq N_n = G $$

이닀. λ”°λΌμ„œ 멱영ꡰ의 μ •μ˜μ— μ˜ν•˜μ—¬ $G$λŠ” 멱영ꡰ. $\square$

λͺ…μ œ 3. $G$λ₯Ό μœ ν•œκ΅°μ΄λΌκ³  ν•˜μž. $|G| = p^2$ ($p$λŠ” μ†Œμˆ˜) 라고 ν•˜λ©΄, $G$λŠ” abelian이닀. β€”

증λͺ…. $G$κ°€ abelian이 μ•„λ‹ˆλΌκ³ , 즉, $\text{Z}(G) \subsetneq G$라고 κ°€μ •ν•˜μž. λͺ…μ œ 1에 μ˜ν•˜μ—¬ $1 < |\text{Z}(G)| < |G| = p^2$, Lagrange 정리에 μ˜ν•˜μ—¬ $|\text{Z}(G)| = p$ μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. $x\in G$에 λŒ€ν•΄, $x\notin\text{Z}(G)$라고 ν•˜λ©΄, $x\in \text{Z}_G(x)$μ΄λ―€λ‘œ, $\text{Z}(G) \subsetneq \text{Z}_G(x)$이닀. λ”°λΌμ„œ, $p = |\text{Z}(G)| < |\text{Z}_G(x)|$, $|\text{Z}_G(x)| = p^2 = |G|$이고, $G$λŠ” μœ ν•œκ΅°, $\text{Z}_G(x)$λŠ” $G$의 λΆ€λΆ„κ΅°μ΄λ―€λ‘œ, $\text{Z}_G(x) = G$이닀. μ΄λŠ” $x\in \text{Z}(G)$λ₯Ό μ˜λ―Έν•˜λ―€λ‘œ, λͺ¨μˆœ. $\square$

μ—°μŠ΅λ¬Έμ œ

문제 1. μœ„μˆ˜ 56인 ꡰ은 κ°€ν•΄κ΅°μž„μ„ 보여라. β€”

풀이. $56 = 2^3\cdot 7$이고, 7-Sylow 뢀뢄ꡰ은 1κ°œμ΄κ±°λ‚˜ 8κ°œμ΄λ‹€. λ§Œμ•½ 7-Sylow 뢀뢄ꡰ이 1개, 즉, $P_7 \vartriangleleft G$이라면, $P_7$κ³Ό $G/P_7$은 각각 7-κ΅°κ³Ό 2-κ΅°μ΄λ―€λ‘œ, β€œκ΅ν™˜μžκ΅°, κ°€ν•΄κ΅°β€μ˜ 정리 4에 μ˜ν•˜μ—¬ $G$λŠ” 가해ꡰ이닀.

7-Sylow 뢀뢄ꡰ이 8개 μ‘΄μž¬ν•˜λŠ” 경우, $P_7$와 $P_7’$이 μ„œλ‘œ λ‹€λ₯Έ 7-Sylow 뢀뢄ꡰ이라고 ν•  λ•Œ, $x\in P_7 \cap P_7’$인 λ™μ‹œμ— $x \neq 1$이라고 ν•˜λ©΄, $P_7 = \langle x \rangle = P_7’$μ΄λ―€λ‘œ, $P_7 \cap P_7’$은 자λͺ…ν•˜λ‹€λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ”°λΌμ„œ 각 8개의 7-Sylow λΆ€λΆ„κ΅°μœΌλ‘œλΆ€ν„° μœ„μˆ˜ 7인 μ›μ†Œκ°€ 6κ°œμ”©, 총 48개 μ‘΄μž¬ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ”°λΌμ„œ μœ„μˆ˜κ°€ 1, 2, 4, 8인 μ›μ†ŒλŠ” 아무리 λ§Žμ•„λ„ 8κ°œλΌλŠ” 것을 μ•Œ 수 있고, 이 경우, μœ„μˆ˜ 8인 2-Sylow 뢀뢄ꡰ은 단 ν•˜λ‚˜λ°–μ— μ‘΄μž¬ν•  수 μ—†μœΌλ―€λ‘œ $P_2 \vartriangleleft G$이닀. $P_7\vartriangleleft G$인 κ²½μš°μ™€ λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ $G$λŠ” 가해ꡰ이닀. β€”

문제 2. μœ„μˆ˜ 12인 ꡰ은 κ°€ν•΄κ΅°μž„μ„ 보여라. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • μœ ν•œκ΅° $G$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $|G| = p^e$ ($p$λŠ” μ†Œμˆ˜, $e\in\SetZ_{>0}$) 일 λ•Œ, $G$λŠ” $p$-ꡰ이라고 μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • $G$κ°€ $p$-ꡰ이라면, $\text{Z}(G)\neq \left\{ 1_G \right\}$μž„μ„ λ³΄μ˜€λ‹€. 이λ₯Ό μ΄μš©ν•˜μ—¬:
    • μž„μ˜μ˜ $p$-ꡰ은 λ©±μ˜κ΅°μž„μ„ λ³΄μ˜€λ‹€. λ”°λΌμ„œ, β€œ$p$-κ΅° $\subset$ 멱영ꡰ $\subset$ κ°€ν•΄κ΅° $\subset$ λΉ„λ‹¨μˆœκ΅°β€μ˜ ν•¨μ˜ 관계가 성립함을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€.
    • 특히, $|G| = p^2$인 경우, $G$λŠ” abelianμž„μ„ λ³΄μ˜€λ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 1 ηΎ€θ«–ε…₯ι–€γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.