$p$-군

$p$-군의 정의

정의 1($p$-군). $G$를 유한군이라고 하자. $|G| = p^e$ ($p$는 소수, $e\in\SetZ_{>0}$) 일 때, $G$를 $p$-군이라고 한다. —

$p$-군의 성질

명제 1. $G$를 $p$-군이라고 하자. 이 때, $\left\{ 1_G \right\} \neq N \vartriangleleft G$ 라고 할 때, $N\cap \text{Z}(G) \neq \left\{ 1_G \right\}$이다. 특히, 임의의 $p$-군 $G$에 대하여, $\text{Z}(G) \neq \left\{ 1_G \right\}$ 이다. —

증명. $\phi: G\times N \ni (g,n)\mapsto gng^{-1} \in N$과 같은 작용을 생각한다. $|G| = p^e$라고 하면, Lagrange 정리에 의하여 $|N| = p^a$ ($0<a\leq e$)와 같이 나타내어진다. 만약, $N \cap \text{Z}(G) = \left\{ 1_G \right\}$라고 가정하면, 작용 $\phi$에 의한 궤도의 크기는 모두 $p^b$ ($0\leq b\leq a$)와 같이 나타내어지는 동시에, 크기 $1$의 궤도는 $\left\{ 1_G \right\}$가 유일하게 된다. 따라서, 크기 $1$이 아닌 나머지 궤도의 크기를 각각 $p^{b_1}, \ldots, p^{b_m}$ ($b_1,\ldots,b_m > 0$)라고 하면, $p^a =|N| = 1 +p^{b_1} + \cdots + p^{b_m}$이다. 하지만 양변을 $p$로 나눈 나머지가 일치하지 않으므로 이는 모순. $\square$

정리 2. 임의의 $p$-군은 멱영군이다. —

증명. $G$를 $p$-군이라고 하자. 여기서, $N_0 = \left\{ 1_G \right\}$, $N_{i+1} = \left\{ x\in G\mid xN_i \in \text{Z}(G/N_i) \right\}$ 와 같이, 집합의 열 $N_i$를 정의하면, 임의의 $i\geq 0$에 대하여 다음을 만족하는 것을 귀납법을 통해 알 수 있다.

  1. $N_i$는 $G$의 부분군, 동시에 $N_i \vartriangleleft G$. (연습문제)
  2. $N_{i+1}/N_i = \text{Z}(G/N_i)$. (정의로부터 분명)

Lagrange 정리에 의하여, $N_i\subsetneq G$를 만족하는 $i\geq 0$에 대해 $G/N_i$는 $p$-군이다. 따라서, 명제 1에 의하여, $\left\{ N_i \right\}\neq\text{Z}(G/N_i) = N_{i+1}/N_i$, $N_i \subsetneq N_{i+1}$, $G$는 유한군이므로, $N_n = G$인 $n\geq 0$이 존재하여,

$$ \left\{ 1 \right\} = N_0 \subsetneq N_1 \subsetneq \cdots \subsetneq N_n = G $$

이다. 따라서 멱영군의 정의에 의하여 $G$는 멱영군. $\square$

명제 3. $G$를 유한군이라고 하자. $|G| = p^2$ ($p$는 소수) 라고 하면, $G$는 abelian이다. —

증명. $G$가 abelian이 아니라고, 즉, $\text{Z}(G) \subsetneq G$라고 가정하자. 명제 1에 의하여 $1 < |\text{Z}(G)| < |G| = p^2$, Lagrange 정리에 의하여 $|\text{Z}(G)| = p$ 임을 알 수 있다. $x\in G$에 대해, $x\notin\text{Z}(G)$라고 하면, $x\in \text{Z}_G(x)$이므로, $\text{Z}(G) \subsetneq \text{Z}_G(x)$이다. 따라서, $p = |\text{Z}(G)| < |\text{Z}_G(x)|$, $|\text{Z}_G(x)| = p^2 = |G|$이고, $G$는 유한군, $\text{Z}_G(x)$는 $G$의 부분군이므로, $\text{Z}_G(x) = G$이다. 이는 $x\in \text{Z}(G)$를 의미하므로, 모순. $\square$

이 포스트에서는…

  • 유한군 $G$에 대하여, $|G| = p^e$ ($p$는 소수, $e\in\SetZ_{>0}$) 일 때, $G$는 $p$-군이라고 정의했다.
  • $G$가 $p$-군이라면, $\text{Z}(G)\neq \left\{ 1_G \right\}$임을 보였다. 이를 이용하여:
    • 임의의 $p$-군은 멱영군임을 보였다. 따라서, “$p$-군 $\subset$ 멱영군 $\subset$ 가해군 $\subset$ 비단순군”의 함의 관계가 성립함을 알 수 있다.
    • 특히, $|G| = p^2$인 경우, $G$는 abelian임을 보였다.

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