환의 정의

정의 1(환, 가환환). 집합 $A$에 두 연산 $+$와 $\times$가 주어졌다고 하자. ($a\times b$를 $ab$와 같이 쓰기도 한다.) 두 연산에 대하여 다음 조건 1,2,3,4를 만족한다면, $A$는 환(ring)이라고 한다1. 특히, 조건 5를 만족하는 환을 가환환(commutative ring), 그렇지 않은 환을 비가환환이라고 한다.

  1. 가법군 – $A$는 $+$에 관하여 가환군이다2.
  2. 곱의 결합법칙 – 임의의 $a,b,c\in A$에 대하여 $(ab)c = a(bc)$.
  3. 곱의 단위원의 존재 – $1\in A$가 존재하여, 임의의 $a\in A$에 대하여 $1a = a1 = a$3.
  4. 분배법칙 – 임의의 $a,b,c\in A$에 대하여 $a(b+c) = ab + ac$, $(a+b)c = ac +bc$.
  5. 곱의 가환법칙 – 임의의 $a,b\in A$에 대하여 $ab = ba$. —

$a\in A$에 대하여, $ab = ba = 1$인 $b\in A$가 존재한다면, $a$를 가역원 혹은 단원(unit)이라고 하고, $b$를 $a$의 역원이라고 한다4. $A$의 단원 전체를 $A^{\times}$ 라고 하면, $A^{\times}$는 $\times$에 대하여 $1$을 단위원으로 하는 군을 이루는 것을 확인할 수 있다(연습문제). 이를 $A$의 승법군이라고 한다.

예 1. $A = \left\{ 0 \right\}$에 연산을 $0+0 = 0$, $0\times 0 = 0$와 같이 부여하면 이는 원소 1개만을 가지는 환을 이룬다. 이러한 환을 자명환(trivial ring)이라고 한다. —

예 2. $\SetZ, \SetQ, \SetR, \SetC$는 통상적인 덧셈과 곱셈에 의하여 가환환을 이룬다. 덧셈의 단위원은 모두 $0$, 곱셈의 단위원은 $1$이다. —

문제 1. $\SetZ^{\times}, \SetQ^{\times}, \SetR^{\times}, \SetC^{\times}$ 각각의 원소를 모두 구하여라. —

예 3. 실수 성분의 $n\times n$ 행렬의 전체를 $\text{M}_n(\SetR)$이라고 하면, 일반적인 행렬의 덧셈과 곱셈에 의하여 $\text{M}_n(\SetR)$은 비가환환을 이룬다. 또한 정의에 의하여 $\text{M}_n(\SetR)^{\times} = \text{GL}_n(\SetR)$ 임을 알 수 있다. —

보조정리 1. $A$를 환이라고 하자. 임의의 $a\in A$에 대하여, $0a = a0 =0$이다. —

증명. 분배법칙에 의하여, $0a = (0+0)a = 0a + 0a$, $0a = 0$이다. $a0 = 0$도 마찬가지. $\square$

명제 2. $A$를 환이라고 하자. 다음은 모두 동치이다.

  1. $A$는 자명환이다.
  2. $1=0$이다. —

증명. 자명환이면, $A$의 요소가 1개 뿐이므로 $1=0$인 것은 분명하다. 역으로 $1=0$이라고 하면, 보조정리 1에 의하여, 임의의 $a\in A$에 대해 $a = 1a = 0a = 0$. 따라서 $A = \left\{ 0 \right\}$. $\square$

이 포스트에서는…

  • 가환환을 정의했다.
  • 환의 단원승법군을 정의했다.
  • 환 $A$에 대하여 $1 = 0$인 것이 $A$가 자명환인 것의 필요충분조건임을 보였다.

  1. 문헌에 따라서는 1,2,4를 만족하는 경우 $A$를 환이라고 하기도 한다. 여기에서는 1,2,3,4를 만족하는 경우만 $A$를 환이라고 하기로 한다.↩︎

  2. $A$의 $+$에 관한 단위원을 $0$ 혹은 $0_A$와 같이 쓰기로 한다. 또한, $a\in A$의 $+$에 관한 역원을 $-a$와 같이 쓰기로 한다. $+$ 기호와 동시에 사용하는 경우에는 $-$를 생략하여 $a + (-b)$를 $a-b$와 같이 쓰기도 한다.↩︎

  3. “군의 정의, 대칭군, 일반선형군”의 명제 1에서 보인 것처럼, $\times$에 관하여 단위원이 존재한다면 유일하다. 이에 따라, 환 $A$의 단위원을 $1$ 혹은 $1_A$ 와 같이 쓰기로 한다.↩︎

  4. 마찬가지로, 역원이 존재한다면 유일하다. 이에 따라, $a$가 역원이 존재한다면 이를 $a^{-1}$과 같이 쓰기로 한다.↩︎

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