군의 직곱

군의 직곱의 정의

정의 1. $G, H$를 이라고 하자. 집합 $G\times H$에 다음과 같은 연산을 부여하면, $G\times H$는 군의 공리를 만족하는 것을 쉽게 확인할 수 있다. (연습문제)

$$ (g,h)(g',h') = (gg', hh') $$

이와 같은 군 $G\times H$를 $G$와 $H$의 직곱direct product라고 한다. —

명제 1. 군 $G$에 대하여, $H,K\vartriangleleft G$이고, $H\cap K = \left\{ 1_G \right\}$, $G = HK$라고 하면, $G \cong H\times K$이다. —

증명.

  • $f: H\times K \ni (h,k) \mapsto hk \in G$라고 하자. $h\in H$, $k\in K$라고 할 때, $H\vartriangleleft G$이므로, $kh^{-1}k^{-1}\in H$, 따라서 $hkh^{-1}k^{-1}\in H$이다. 마찬가지로 $K\vartriangleleft G$이므로, $hkh^{-1}\in K$, 따라서 $hkh^{-1}k^{-1} \in K$, $hkh^{-1}k^{-1} \in H\cap K = \left\{ 1_G \right\}$이므로, $hk = kh$가 성립한다. 이를 이용하면, $f((h,k)(h’,k’)) = f(hh’, kk’) = hh’kk’ = hkh’k’ = f(h,k)f(h’,k’)$이므로 $f$는 준동형이다.
  • $(h,k)\in\text{Ker}(f)$라고 하면, $hk = f(h,k) = 1_G$, $h = k^{-1} \in H\cap K = \left\{ 1_G \right\}$이므로, $(h,k) = (1_G, 1_G)$. 따라서 $f$는 단사.
  • $f$가 전사라는 것은 정의로부터 분명하므로, $f$는 동형이다. $\square$

이 포스트에서는…

  • $G, H$를 군이라고 할 때, $G\times H$에 $(g,h)(g’,h’) = (gg’, hh’)$와 같이 연산을 부여하여, 군의 직곱을 정의했다.
  • 군 $G$에 대하여 $H,K\vartriangleleft G$, $H\cap K = \left\{ 1_G \right\}$, $G = HK$라면, $G\cong H\times K$임을 보였다.

참고문헌

  • 雪江 明彦,『代数学 1 群論入門』,日本評論社,2010.

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