군의 제2동형정리

정리 1(군의 제2동형정리). $H, N$을 $G$의 부분군, 특히 $N \vartriangleleft G$라고 하자. 이 때, 다음 사실이 성립한다.

  1. $HN = NH$이다.
  2. $HN$은 $G$의 부분군이다.
  3. $H\cap N \vartriangleleft H$, $N\vartriangleleft HN$.
  4. $H/H\cap N\cong HN/N$. —

증명.

  1. 임의의 $h\in H$에 대하여 $hN=Nh$이므로 $HN=NH$.
  2. $HN$이 부분군의 조건을 만족하는지 확인한다.
    1. $1_G = 1_G1_G \in HN$.
    2. $h_1, h_2\in H$, $n_1, n_2\in N$에 대하여, $N$이 정규부분군이므로 $h_1n_1h_2n_2 \in h_1Nh_2N = h_1h_2NN\subset HN$.
    3. $h\in H$, $n\in N$에 대하여, $(hn)^{-1}= n^{-1}h^{-1}\in NH = HN$.
  3. $H\cap N$이 $H$의 부분군, $N$이 $HN$의 부분군이라는 것은 알기 쉽다. 이들이 정규부분군임을 보이자.
    • $N\vartriangleleft H$인 동시에, 임의의 $h, n\in H$에 대해 $hnh^{-1}\in H$이므로, $h\in H$, $n\in H\cap N$이면 $hnh^{-1}\in H\cap N$. 따라서 $H\cap N \vartriangleleft H$.
    • 2에서 보인대로, $HN$은 $N$을 포함하는 $G$의 부분군이므로 $N \vartriangleleft HN$.
  4. 3의 결과에 의하여 $H/H\cap N$과 $HN/N$은 잉여군. 이 때, $i: H\ni h\mapsto h\in HN$, $\pi: HN\ni hn\mapsto hnN = hN \in HN/N$을 이용하여, 사상 $\phi = \pi\circ i$을 구축하면, $i$와 $\pi$ 모두 준동형사상이므로, $\phi: H\to HN/N$역시 준동형사상이다.
    • 임의의 $hnN = hN\in HN/N$에 대하여, $h\in H$, $\phi(h) = hnN$이므로, $\phi$는 전사이다. 따라서 $\text{Im}(\phi) = HN/N$.
    • $x\in H\cap N$이면 $\phi(x) = xN = N$, 따라서 $x\in \text{Ker}(\phi)$이므로 $H\cap N \subset \text{Ker}(\phi)$. 역으로 $x\in \text{Ker}(\phi) \subset H$라고 하면, $xN = \phi(x) = N$. 따라서 $x\in H\cap N$, $\text{Ker}(\phi)= H\cap N$이다. 준동형정리에 의하여, $H/H\cap N = H/\text{Ker}(\phi) \cong \text{Im}(\phi) = HN/N$. $\square$

. 2가 성립하는 것은 $\pi: G\to G/N$을 자연스러운 준동형이라고 할 때, $NH= \pi^{-1}(\pi(H))$가 성립하는 것으로부터도 보일 수 있다. (준동형의 의한 부분군의 상과 역상은 각 집합의 부분군이므로. 이를 확인하는 것은 연습문제) —

예 1. $G = \SetZ$, $H = m\SetZ$, $N = n\SetZ$로 두자. 우선 $H$와 $N$ 모두 가환군의 부분군이므로 정규부분군이다. 따라서 제2동형정리를 이용하면 $G = \gcd(m,n)$, $L = \text{lcm}(m,n)$으로 하여 $m\SetZ/L\SetZ = H/H\cap N \cong HN / N = G\SetZ/n\SetZ$이 성립하는 것을 알 수 있다. —

이 포스트에서는…

  • 군 $G$와 부분군 $H, N$이 주어지고, $N\vartriangleleft G$일 때, 준동형 사상 $\phi: H\ni h\mapsto hN \in HN/N$에 준동형정리를 적용하여 제2동형정리, 즉, $H/H\cap N\cong HN/N$임을 보였다.

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