군의 준동형정리

군의 준동형정리

정리 1(군의 준동형정리). $\phi: G\to H$를 군의 준동형이라고 하자. $\pi: G\to G/\text{Ker}(\phi)$를 자연스러운 준동형이라고 할 때, $\phi = \psi\circ\pi$를 만족하는 준동형 $\psi: G/\text{Ker}(\phi) \to H$가 유일하게 존재한다. 또한, $\psi$에 의하여 $G/\text{Ker}(\phi)\cong \text{Im}(\phi)$이다. —

증명. $N = \text{Ker}(\phi)$로 두자. $\psi(gN) = \phi(g)$와 같이 $\psi$를 정의할 때, $\psi$가 well-defined인 사상임을 먼저 보이자. 바꾸어 말하면, $gN = g’N$ 인 경우, $\psi(gN) = \psi(g’N)$이 성립하는 것을 보이자. $gN = g’N$이므로, $g’\in gN$, $g^{-1}g’\in N$임을 알 수 있다. 따라서 $\phi(g^{-1}g’) = 1_H$이고, $\psi(gN) = \phi(g) = \phi(g)\phi(g^{-1}g’) = \phi(g’) = \psi(g’N)$, $\psi$가 well-defined임이 보여진다. 이 $\psi$가 $\phi=\psi\circ\pi$를 만족하는 것은 바로 알 수 있다. 또한, $\pi$가 전사이므로, 이러한 조건을 만족하는 $G/\text{Ker} \to H$인 사상은 $\psi$가 유일하다는 것을 알 수 있다.

다음으로, $\psi$가 준동형임을 보이자. $g_1,g_2\in G$에 대하여, $\psi((g_1N)(g_2N)) = \psi(g_1g_2N) = \phi(g_1g_2) = \phi(g_1)\phi(g_2) = \psi(g_1N)\psi(g_2N)$ 이므로, $\psi$는 준동형이다.

마지막으로, $\psi$에 의하여, $G/\text{Ker}(\phi) \cong \text{Im}(\phi)$이 성립함을 보이자. 우선, $\psi$가 단사임을 확인하자. $\psi(gN) = 1_H$이라고 할 때, $\phi(g) = \psi(gN) = 1_H$이므로, $g\in \text{Ker}(\phi) = N$, $gN = N = 1_{G/N}$이 성립함을 알 수 있다. 따라서 $\psi$는 단사. 다음으로, $\psi(G/\text{Ker}(\phi)) = \text{Im}(\psi) = \text{Im}(\phi)$임을 보이자. $g\in G$에 대하여, $\phi(g) = \psi(gN) \in \text{Im}(\psi)$이므로 $\text{Im}(\phi)\subset\text{Im}(\psi)$임은 분명하다. 반대로, 임의의 $G/N$의 원소는 어떤 $g\in G$가 존재하여 $gN$의 꼴로 나타내어지므로, $\psi(gN) = \phi(g)\in \text{Im}(\phi)$, $\text{Im}(\psi)\subset\text{Im}(\phi)$, 따라서, $\text{Im}(\psi)=\text{Im}(\phi)$가 성립한다. 이상을 정리하면 $G/\text{Ker}(\phi) \cong \text{Im}(\phi)$. $\square$

. 군 $G$와 그 부분군 $N$이 주어졌을 때, 자연스러운 준동형 $\pi: G\to G/N$ 역시 준동형이므로, 준동형정리가 성립한다. 그 결과는 당연하게도, $\text{Im}(\pi) = G/N$, $\text{Ker}(\pi) = N$에 의하여 $G/\text{Ker}(\pi) = G/N \cong G/N = \text{Im}(\pi)$. —

예 1. 준동형사상 $\det:\text{GL}_n(\SetR)\to \SetR^{\times}$이 주어졌을 때, $\text{Im}(\det) = \SetR^{\times}$, $\text{Ker}(\det) = \text{SL}_n(\SetR)$과 준동형정리에 따라, $\text{GL}_n(\SetR)/\text{SL}_n(\SetR) \cong \SetR^{\times}$ 임을 알 수 있다. —

이 포스트에서는…

  • 군의 준동형정리, 즉, 준동형 $\phi: G\to H$가 주어졌을 때, $G/\text{Ker}(\phi) \cong \text{Im}(\phi)$가 성립하는 것을 보였다.

참고문헌

  • 雪江 明彦,『代数学 1 群論入門』,日本評論社,2010.