정규부분군을 포함하는 부분군

정규부분군을 포함하는 부분군

정리 1. $N$을 $G$의 정규부분군이라고 하자. $\pi: G\to G/N$을 자연스러운 준동형, $X$를 $G/N$의 부분군 전체의 집합, $Y$를 $N$을 포함하는 $G$의 부분군 전체의 집합이라고 두면, 다음 두 사상 $\phi$와 $\psi$가 존재하며,

  • $\phi: X \ni H \mapsto \pi^{-1}(H) \in Y$
  • $\psi: Y \ni K \mapsto \pi(K) \in X$

$\phi$와 $\psi$는 서로의 역사상이다. 따라서 $X$와 $Y$간에는 일대일 대응이 존재한다. —

증명. 먼저 $H\in X$에 대하여, $\pi^{-1}(H)\in Y$임을 보이자. $1_{G/N} \in H$ 이므로, $N = \pi^{-1}(\left\{ 1_{G/N} \right\}) \subset \pi^{-1}(H)$이다. 또한, $\pi$는 준동형, $H$는 $G/N$의 부분군이므로, $\pi^{-1}(H)$ 역시 $G$의 부분군임을 간단히 확인할 수 있다. (연습문제) 따라서 $\pi^{-1}(H) \in Y$, $\phi$는 올바르게 정의된 사상이다.

다음으로, $\psi$가 사상임을 보이자. $\phi$와 마찬가지로, 군 $G$의 $N$을 포함하는 부분군 $K\subset G$에 대하여 $\pi(K)\in X$, 즉 $\pi(K)$가 $G/N$의 부분군임을 보이면 된다. 실제로, $\pi|_K: K \to G/N$은 준동형이므로, $\pi(K) = \text{Im}(\pi|_K)$는 $G/N$의 부분군, 따라서 $\pi(K)\in X$임을 알 수 있다.

마지막으로, $\phi$와 $\psi$가 서로의 역사상임을 보이자.

  • 임의의 $H\in X$에 대하여 $(\psi\circ\phi)(H) = H$. i.e. $\pi(\pi^{-1}(H)) = H$. $\pi$가 전사이므로 등호가 성립한다.
  • 임의의 $K\in Y$에 대하여 $(\phi\circ\psi)(K) = K$. i.e. $K = \pi^{-1}(\pi(K))$.
    • $K\subset \pi^{-1}(\pi(K))$: 사상의 상과 역상의 기본적 성질.
    • $K\supset \pi^{-1}(\pi(K))$: $g\in\pi^{-1}(\pi(K))$라고 하면, $gN\pi(g)\in\pi(K)=K/N$, $k\in K$가 존재하여 $gN = kN$, $k^{-1}g\in N\subset K$. 따라서 $g = k(k^{-1}g)\in K$. $\square$

이 포스트에서는…

  • 군 $G$에 대하여 $N\vartriangleleft G$라고 하면, 잉여군 $G/N$의 부분군 전체의 집합 $X$와 $G$의 $N$을 포함하는 부분군 전체의 집합 $Y$ 간에 일대일 대응이 존재함을 보였다.
    • 구체적으로는, $\phi: X\ni H\mapsto \pi^{-1}(H) \in Y$, $\psi: Y\ni K \mapsto \pi(K) \in X$ 와 같은 사상이 존재하여, 두 사상이 서로의 역사상이므로, 전단사라는 것을 보였다.

참고문헌

  • 雪江 明彦,『代数学 1 環と体とガロア理論』,日本評論社,2010.

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