κ·Όλ°©, 근방계

κ·Όλ°©, κ·Όλ°©κ³„μ˜ μ •μ˜

μ •μ˜ 1(κ·Όλ°©, 근방계). $(S,\mathfrak{O})$λ₯Ό μœ„μƒκ³΅κ°„μ΄λΌκ³  ν•˜μž.

  1. $x\in S$, $V\subset S$일 λ•Œ, $V$κ°€ $x$의 κ·Όλ°©neighborhoodμ΄λž€, $x$κ°€ $V$의 내점, 즉, $x\in V^\circ$인 것을 μ˜λ―Έν•œλ‹€.
  2. $V\subset S$κ°€ $(S,\mathfrak{O})$의 κ°œμ§‘ν•©μΈ λ™μ‹œμ— $x\in S$의 근방이라면, $V$λŠ” $x$의 개근방openΒ neighborhood이라고 ν•œλ‹€.
  3. μœ„μƒκ³΅κ°„ $(S,\mathfrak{O})$μƒμ—μ„œμ˜, $x\in S$의 κ·Όλ°© μ „μ²΄μ˜ 집합을 $x$의 근방계라고 ν•˜λ©°, 이λ₯Ό $\mathbb{V}(x)$와 같이 λ‚˜νƒ€λ‚Έλ‹€. β€”

λͺ…μ œ 1. $(S,\mathfrak{O})$λ₯Ό μœ„μƒκ³΅κ°„μ΄λΌκ³  ν•  λ•Œ, λ‹€μŒ 두 쑰건은 λ™μΉ˜μ΄λ‹€.

  1. $V\subset S$λŠ” $x\in S$의 근방이닀.
  2. $O\in\mathfrak{O}$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬, $x\in O$인 λ™μ‹œμ— $O\subset V$이닀. β€”

λͺ…μ œ 2. $(S,\mathfrak{O})$λ₯Ό μœ„μƒκ³΅κ°„, $S\supset O\neq\emptyset$이라고 ν•  λ•Œ, λ‹€μŒ 두 쑰건은 λ™μΉ˜μ΄λ‹€.

  1. $O$λŠ” $(S,\mathfrak{O})$의 κ°œμ§‘ν•©μ΄λ‹€.
  2. μž„μ˜μ˜ $x\in O$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $O$λŠ” $x$의 근방이닀. β€”

증λͺ…. 1이면 2λŠ” 자λͺ…, 2λ₯Ό κ°€μ •ν•˜λ©΄, $x\in O$라고 ν•  λ•Œ, $x\in O^\circ$. λ”°λΌμ„œ $O\subset O^\circ$, $O=O^\circ$μ΄λ―€λ‘œ, $O$λŠ” κ°œμ§‘ν•©. $\square$

근방계와 μœ„μƒ

λͺ…μ œ 3. $(S,\mathfrak{O})$λ₯Ό μœ„μƒκ³΅κ°„, $\mathbb{V}(x)$λ₯Ό $x\in S$의 근방계라고 ν•  λ•Œ, λ‹€μŒ 쑰건 1,2,3,4κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€.

  1. μž„μ˜μ˜ $V\in\mathbb{V}(x)$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $x\in V$.
  2. $V\in\mathbb{V}(x)$인 λ™μ‹œμ— $V\subset V’$라면, $V’\in\mathbb{V}(x)$.
  3. $V_1,V_2\in\mathbb{V}(x)$라면, $V_1\cap V_2\in\mathbb{V}(x)$.
  4. μž„μ˜μ˜ $V\in\mathbb{V}(x)$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $W\in\mathbb{V}(x)$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬, μž„μ˜μ˜ $y\in W$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $V\in\mathbb{V}(y)$. β€”

증λͺ….

  1. $x\in V^\circ\subset V$λ‘œλΆ€ν„° λΆ„λͺ….
  2. $V\subset V’$이면 $V^\circ\subset (V’)^\circ$, λ”°λΌμ„œ $x\in V^\circ\subset (V’)^\circ$λ‘œλΆ€ν„° λΆ„λͺ….
  3. $x\in V_1^\circ\cap V_2^\circ=(V_1\cap V_2)^\circ$λ‘œλΆ€ν„° λΆ„λͺ….
  4. $W\coloneqq V^\circ$둜 두면, $W$λŠ” κ°œμ§‘ν•©μ΄λ―€λ‘œ λͺ…μ œ 2에 μ˜ν•˜μ—¬ $W\in\mathbb{V}(x)$. 그리고, $y\in W$이면, $W=V^\circ$μ΄λ―€λ‘œ, $y\in V^{\circ}$. $\square$

정리 4. 곡집합이 μ•„λ‹Œ 집합 $S$의 각 점 $x$λ§ˆλ‹€, 곡집합이 μ•„λ‹Œ $S$의 뢀뢄집합계 $\mathbb{V}(x)$κ°€ 주어지고, 이가 λͺ…μ œ 3의 쑰건 1,2,3,4λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•œλ‹€λ©΄, $\mathbb{V}(x)$κ°€ μœ„μƒκ³΅κ°„ $(S,\mathfrak{O})$의 각 점 $x$에 λŒ€ν•œ 근방계가 λ˜κ²Œλ”, Sμƒμ˜ μœ„μƒ $\mathfrak{O}$λ₯Ό λ„μž…ν•  수 있으며, μ΄λŸ¬ν•œ μœ„μƒ $\mathfrak{O}$λŠ” μœ μΌν•˜λ‹€. β€”

증λͺ…. λ§Œμ•½ κ·ΈλŸ¬ν•œ μœ„μƒ $\mathfrak{O}$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, λͺ…μ œ 2μ—μ„œ λ³΄μ˜€λ“―μ΄, $\mathfrak{O}\coloneqq\{O\in 2^S\mid x\in O\Rarr O\in\mathbb{V}(x)\}$이어야 ν•˜λ―€λ‘œ, $\mathfrak{O}$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄ μœ μΌν•˜λ‹€λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€.

$\mathfrak{O}$κ°€ μœ„μƒμ˜ 곡리λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” 것을 ν™•μΈν•˜μž.

  1. $\emptyset\in\mathfrak{O}$λŠ” λΆ„λͺ…. μž„μ˜μ˜ $x\in S$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\mathbb{V}(x)$λŠ” 곡집합이 μ•„λ‹ˆλ―€λ‘œ, $V\in\mathbb{V}(x)$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€. $V\subset S$μ΄λ―€λ‘œ, λͺ…μ œ 3의 쑰건 2에 μ˜ν•˜μ—¬ $S\in\mathbb{V}(x)$, $S\in\mathfrak{O}$.
  2. $O_1,O_2\in\mathfrak{O}$라고 ν•˜μž. $O_1\cap O_2\neq\emptyset$인 κ²½μš°λ§Œμ„ κ°€μ •ν•  λ•Œ, $x\in O_1\cap O_2$라고 ν•˜λ©΄, $x\in O_1$이고, $O_1\in\mathfrak{O}$μ΄λ―€λ‘œ, $O_1\in\mathbb{V}(x)$, λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, $O_2\in\mathbb{V}(x)$. λ”°λΌμ„œ, λͺ…μ œ 3의 쑰건 3에 μ˜ν•˜μ—¬, $O_1\cap O_2\in\mathbb{V}(x)$, $O_1\cap O_2\in\mathfrak{O}$.
  3. $(O_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$λ₯Ό $\mathfrak{O}$의 μ›μ†Œλ‘œ 이루어진 집합쑱이라고 ν•˜μž. μž„μ˜μ˜ $\lambda\in\Lambda$에 λŒ€ν•΄μ„œ $O_\lambda\neq\emptyset$이라고 해도 μΌλ°˜μ„±μ„ μžƒμ§€ μ•ŠμœΌλ―€λ‘œ, μž„μ˜μ˜ $\lambda\in\Lambda$에 λŒ€ν•΄μ„œ $O_\lambda\neq\emptyset$인 κ²ƒμœΌλ‘œ ν•˜μž. $x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda$라고 ν•˜λ©΄, $x\in O_{\lambda_0}$인 $\lambda_0\in\Lambda$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜κ³ , $O_{\lambda_0}\in\mathfrak{O}$μ΄λ―€λ‘œ, $O_{\lambda_0}\in\mathbb{V}(x)$. λ™μ‹œμ— $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\supset O_{\lambda_0}$μ΄λ―€λ‘œ, $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathbb{V}(x)$, $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathfrak{O}$.

λ§ˆμ§€λ§‰μœΌλ‘œ, μ΄λ ‡κ²Œ μœ„μƒμ΄λΌλŠ” 것을 ν™•μΈν•œ $\mathfrak{O}$에 μ˜ν•œ, μœ„μƒκ³΅κ°„ $(S,\mathfrak{O})$μ—μ„œμ˜ μž„μ˜μ˜ 점 $x\in S$에 λŒ€ν•œ 근방계가 $\mathbb{V}(x)$와 μΌμΉ˜ν•˜λŠ” 것을 보이자. μ΄λŠ” $(S,\mathfrak{O})$ μƒμ—μ„œ $V$의 λ‚΄λΆ€λ₯Ό $V^\circ$와 같이 λ‚˜νƒ€λ‚Ό λ•Œ, $x\in V^\circ \Lrarr V\in\mathbb{V}(x)$λ₯Ό λ³΄μ΄λŠ” 문제둜 κ·€μ°©ν•  수 μžˆλ‹€. μ—¬κΈ°μ„œ, $x\in V^\circ$라면, $V^\circ\in\mathfrak{O}$μ΄λ―€λ‘œ $V^\circ\in\mathbb{V}(x)$. $V^\circ\subset V$μ΄λ―€λ‘œ, λͺ…μ œ 3의 쑰건 2에 μ˜ν•˜μ—¬ $V\in\mathbb{V}(x)$, λ”°λΌμ„œ $x\in V^\circ\Rarr V\in\mathbb{V}(x)$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 λ³΄μ˜€λ‹€.

역은 λ‹€μŒκ³Ό 같이 보일 수 μžˆλ‹€. $x\in S$, $V\in\mathbb{V}(x)$라고 ν•  λ•Œ, $U\coloneqq\{y\in S\mid V\in\mathbb{V}(y)\}$라고 ν•˜μž. $V\in\mathbb{V}(x)$μ΄λ―€λ‘œ, $x\in U$. λ˜ν•œ, $y\in U$라고 ν•˜λ©΄, $V\in\mathbb{V}(y)$μ΄λ―€λ‘œ $y\in V$, $U\subset V$이닀. μ—¬κΈ°μ„œ $U\in\mathfrak{O}$인 것을 보이기만 ν•˜λ©΄, λͺ…μ œ 1에 μ˜ν•˜μ—¬ $x\in V^\circ$인 것이 보여진닀. $z\in U$λ₯Ό $U$의 μž„μ˜μ˜ μ›μ†ŒλΌκ³  ν•˜λ©΄, $V\in\mathbb{V}(z)$μ΄λ―€λ‘œ, λͺ…μ œ 3의 쑰건 4에 μ˜ν•˜μ—¬ $W\in\mathbb{V}(z)$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬, μž„μ˜μ˜ $y’\in W$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $V\in\mathbb{V}(y’)$이닀. λ”°λΌμ„œ, $y’\in U$, $W\subset U$이닀. λ™μ‹œμ— $W\in\mathbb{V}(z)$μ΄λ―€λ‘œ, λͺ…μ œ 3의 쑰건 2에 μ˜ν•˜μ—¬ $U\in\mathbb{V}(z)$이닀. μ΄μƒμœΌλ‘œ, $U\in\mathfrak{O}$. $\square$

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • μœ„μƒκ³΅κ°„μ—μ„œμ˜ κ·Όλ°©, 개근방, 근방계λ₯Ό μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • 곡집합이 μ•„λ‹Œ 집합 $S$κ°€ μ£Όμ–΄μ‘Œμ„ λ•Œ, 각 $x\in S$에 λŒ€ν•˜μ—¬ νŠΉμ •ν•œ 쑰건을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” $S$의 뢀뢄집합쑱 – 근방계 – 을 λΆ€μ—¬ν•˜λŠ” 것에 μ˜ν•˜μ—¬, $S$ μƒμ˜ μœ„μƒκ³΅κ°„μ„ μ •ν•  수 μžˆμŒμ„ λ³΄μ˜€λ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • 松坂 ε’Œε€«οΌŒγ€Žι›†εˆγƒ»δ½η›Έε…₯ι–€γ€οΌŒε²©ζ³’ζ›ΈεΊ—οΌŒ1968.
  • ε†…η”° δΌδΈ€οΌŒγ€Žι›†εˆγ¨δ½η›Έγ€οΌŒθ£³θ―ζˆΏοΌŒ1986.

κ°œμ§‘ν•©, 폐집합

κ°œμ§‘ν•©, νμ§‘ν•©μ˜ μ •μ˜

μ •μ˜ 1(κ°œμ§‘ν•©, 폐집합).

  1. μœ„μƒκ³΅κ°„ $(S,\mathfrak{O})$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $O\in\mathfrak{O}$인 $O$λ₯Ό μœ„μƒκ³΅κ°„ $(S,\mathfrak{O})$의 κ°œμ§‘ν•©openΒ set이라고 ν•œλ‹€.
  2. μœ„μƒκ³΅κ°„ $(S,\mathfrak{O})$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $A^\complement=S\setminus A\in\mathfrak{O}$인 $A$λ₯Ό μœ„μƒκ³΅κ°„ $(S,\mathfrak{O})$의 폐집합closedΒ set이라고 ν•œλ‹€. β€”

λͺ…μ œ 1. μœ„μƒκ³΅κ°„ $(S,\mathfrak{O})$의 폐집합 μ „λΆ€μ˜ 집합을 $\mathfrak{A}$라고 ν•˜λ©΄, $\mathfrak{A}$λŠ” λ‹€μŒ μ„±μ§ˆμ„ λ§Œμ‘±ν•œλ‹€.

  1. $\emptyset, S\in\mathfrak{A}$.
  2. $A_1,A_2\in\mathfrak{A}$라면, $A_1\cup A_2\in\mathfrak{A}$.
  3. $\mathfrak{A}$의 μ›μ†Œλ‘œ 이루어진 집합계 $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\in\mathfrak{A}$. β€”

증λͺ…. 각 μœ„μƒμ˜ 곡리에 De Morgan 법칙을 μ μš©ν•˜λ©΄ λœλ‹€. $\square$

λ°˜λŒ€λ‘œ, λͺ…μ œ 1의 쑰건 1,2,3을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” $S$의 뢀뢄집합계 $\mathfrak{A}$ – 이λ₯Ό 폐집합계라고 ν•˜μž – κ°€ 주어진닀면, 같은 λ°©λ²•μœΌλ‘œ De Morgan의 법칙을 μ μš©ν•˜μ—¬, $\mathfrak{A}$의 μ›μ†Œμ˜ μ—¬μ§‘ν•©μœΌλ‘œ 이루어진 단 ν•˜λ‚˜μ˜ μœ„μƒ $\mathfrak{O}$λ₯Ό 얻을 수 μžˆλ‹€. λ”°λΌμ„œ, $S$ μƒμ˜ ν•œ β€œμœ„μƒκ³΅κ°„β€μ„ κ°œμ§‘ν•©κ³„(즉, μœ„μƒ)와 νμ§‘ν•©κ³„μ˜ 두 가지 λ°©λ²•μœΌλ‘œ μ •ν•˜λŠ” 것이 κ°€λŠ₯ν•˜λ‹€.

μ£Ό. β€œκ°œβ€μ§‘ν•©κ³Ό β€œνβ€μ§‘ν•©μ΄λΌλŠ” μš©μ–΄ 탓에, κ°œμ§‘ν•©κ³Ό 폐집합은 μ„œλ‘œμ˜ λ°˜λŒ€λ˜λŠ” κ°œλ…μ΄λΌκ³  생각할 수 μžˆμœΌλ‚˜, μ‹€μ œλ‘œλŠ” κ°œμ§‘ν•©μΈ λ™μ‹œμ— 폐집합인 집합이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€1. λͺ…μ œ 1의 쑰건 1λ‘œλΆ€ν„° μ•Œ 수 μžˆλ“―μ΄, μž„μ˜μ˜ μœ„μƒκ³΅κ°„ $(S,\mathfrak{O})$μ—μ„œ $\emptyset,S$λŠ” κ°œμ§‘ν•©μΈ λ™μ‹œμ— 폐집합인 자λͺ…ν•œ μ˜ˆμ΄λ‹€. $\emptyset,S$ 이외에도 κ°œμ§‘ν•©μΈ λ™μ‹œμ— 폐집합인 집합이 μ‘΄μž¬ν•  수 있으며, μ΄λŠ” 특히 μœ„μƒκ³΅κ°„μ˜ νŠΉμ§• 쀑 ν•˜λ‚˜μΈ β€œμ—°κ²°μ„±connectedness”에 κ΄€μ—¬ν•œλ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • κ°œμ§‘ν•©κ³Ό 폐집합을 μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • 곡집합이 μ•„λ‹Œ 집합 $S$ μƒμ—μ„œ νŠΉμ • 쑰건을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” β€œνμ§‘ν•©κ³„β€μ— μ˜ν•˜μ—¬, $S$ μƒμ˜ μœ„μƒκ³΅κ°„μ„ μ •ν•˜λŠ” 것이 κ°€λŠ₯함을 λ°ν˜”λ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • 松坂 ε’Œε€«οΌŒγ€Žι›†εˆγƒ»δ½η›Έε…₯ι–€γ€οΌŒε²©ζ³’ζ›ΈεΊ—οΌŒ1968.
  • ε†…η”° δΌδΈ€οΌŒγ€Žι›†εˆγ¨δ½η›Έγ€οΌŒθ£³θ―ζˆΏοΌŒ1986.

  1. 이λ₯Ό κ°œνμ§‘ν•©clopenΒ set이라고 ν•˜κΈ°λ„ ν•œλ‹€.β†©οΈŽ

μœ„μƒμ˜ μ •μ˜

μœ„μƒμ˜ 곡리

μ •μ˜ 1(μœ„μƒμ˜ 곡리). $S$λ₯Ό 곡집합이 μ•„λ‹Œ 집합이라고 ν•˜μž. $S$의 뢀뢄집합계, 즉 $2^S$의 뢀뢄집합 $\mathfrak{O}$κ°€ λ‹€μŒ 쑰건 1,2,3을 λ§Œμ‘±ν•  λ•Œ, $\mathfrak{O}$λŠ” β€œ$S$의 μœ„μƒκ΅¬μ‘°topologicalΒ structureλ₯Ό μ •ν•œλ‹€β€, ν˜Ήμ€ β€œ$S$ μƒμ˜ ν•˜λ‚˜μ˜ μœ„μƒtopology이닀”라고 ν•œλ‹€.

  1. $\emptyset, S\in \mathfrak{O}$.
  2. $O_1,O_2\in\mathfrak{O}$라면, $O_1\cap O_2\in\mathfrak{O}$.1
  3. $\mathfrak{O}$의 μ›μ†Œλ‘œ 이루어진 집합계 $(O_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathfrak{O}$2. β€”

집합 $S$와, κ·Έ μœ„μƒ $\mathfrak O$λ₯Ό ν•¨κ»˜ $(S,\mathfrak{O})$와 같이 ν‘œμ‹œν•˜μ—¬, 이λ₯Ό μœ„μƒκ³΅κ°„topologicalΒ space이라고 ν•œλ‹€. $S$ μƒμ—μ„œλŠ” μ„œλ‘œ λ‹€λ₯Έ μœ„μƒ $\mathfrak O_1$κ³Ό $\mathfrak O_2$κ°€ μ‘΄μž¬ν•  수 있으며, λ‹Ήμ—°νžˆ $(S,\mathfrak O_1)$κ³Ό $(S,\mathfrak O_2)$λŠ” μ„œλ‘œ λ‹€λ₯Έ μœ„μƒκ³΅κ°„μœΌλ‘œ μ·¨κΈ‰ν•œλ‹€.

예 1(λ°€μ°©μœ„μƒ, μ΄μ‚°μœ„μƒ). 곡집합이 μ•„λ‹Œ 집합 $S$ μƒμ˜ μœ„μƒμ˜ κ°€μž₯ κ°„λ‹¨ν•œ μ˜ˆλ‘œλŠ” 2개의 μ›μ†Œλ‘œ 이루어진 집합 $\mathfrak O_*\coloneqq\{\emptyset,S\}$을 생각할 수 μžˆλ‹€. 이가 μœ„μƒμ˜ 곡리λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜κ³  μžˆλ‹€λŠ” 것을 λ³΄μ΄λŠ” 것은 κ°„λ‹¨ν•˜λ©°, 이λ₯Ό $S$ μƒμ˜ λ°€μ°©μœ„μƒindiscreteΒ topology이라고 ν•œλ‹€. λ˜ν•œ $\mathfrak{O}^*\coloneqq 2^S$ 와 같이 $S$의 뢀뢄집합계λ₯Ό 주어도, μ΄λŠ” 자λͺ…ν•˜κ²Œ μœ„μƒμ˜ 곡리λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•œλ‹€. 이λ₯Ό $S$ μƒμ˜ μ΄μ‚°μœ„μƒdiscreteΒ topology이라고 ν•œλ‹€. $S$ μƒμ˜ μž„μ˜μ˜ μœ„μƒ $\mathfrak{O}$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\mathfrak{O_*}\subset\mathfrak O\subset\mathfrak{O^*}$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • μœ„μƒμ˜ 곡리λ₯Ό μ΄μš©ν•˜μ—¬ μœ„μƒ, μœ„μƒκ³΅κ°„μ„ μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • λ°€μ°©μœ„μƒ, μ΄μ‚°μœ„μƒμ„ μ •μ˜ν–ˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • 松坂 ε’Œε€«οΌŒγ€Žι›†εˆγƒ»δ½η›Έε…₯ι–€γ€οΌŒε²©ζ³’ζ›ΈεΊ—οΌŒ1968.
  • ε†…η”° δΌδΈ€οΌŒγ€Žι›†εˆγ¨δ½η›Έγ€οΌŒθ£³θ―ζˆΏοΌŒ1986.

  1. μ΄λŠ” $O_1,\ldots,O_n\in\mathfrak{O}$κ³Ό 같이 μœ ν•œκ°œμ˜ $\mathfrak{O}$의 μ›μ†Œκ°€ 주어진닀면, $O_1\cap\cdots\cap O_n\in\mathfrak{O}$μž„μ„ κ·€λ‚©μ μœΌλ‘œ ν•¨μ˜ν•œλ‹€.β†©οΈŽ

  2. μž„μ˜μ˜ 농도λ₯Ό κ°–λŠ” μ§‘ν•©κ³„μ˜ 인덱슀 $\Lambda$에 λŒ€ν•˜μ—¬ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λŠ” 점이, 쑰건 2의 μ „μ œμ™€ λ‹€λ₯Έ 뢀뢄이라고 ν•  수 μžˆλ‹€.β†©οΈŽ

아이디얼 μ—°μ‚°μ˜ λͺ¨λ“ˆλŸ¬ 법칙

아이디얼 μ—°μ‚°μ˜ λͺ¨λ“ˆλŸ¬ 법칙

λͺ…μ œ 1(아이디얼 μ—°μ‚°μ˜ λͺ¨λ“ˆλŸ¬ 법칙modularΒ law1). $I_1,I_2,J$λ₯Ό κ°€ν™˜ν™˜ $A$의 아이디얼이라고 ν•˜λ©΄, $(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap(I_2+J))+J=((I_1+J)\cap I_2)+J$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

증λͺ…. $(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap(I_2+J))+J$κ°€ 보여지면, $I_1$κ³Ό $I_2$의 μˆœμ„œλ₯Ό λ°”κΎΈλŠ” 것에 μ˜ν•˜μ—¬ $(I_1+J)\cap (I_2+J)=((I_1+J)\cap I_2)+J$ μ—­μ‹œ λ³΄μ—¬μ§€λ―€λ‘œ, $(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap(I_2+J))+J$λ§Œμ„ 보이자.

$I_1+J, I_2+J\supset I_1\cap (I_2+J), J$μ΄λ―€λ‘œ, $(I_1+J)\cap(I_2+J)\supset I_1\cap (I_2+J)+J$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 λΆ„λͺ…ν•˜λ‹€. λ°˜λŒ€λ‘œ, $x\in (I_1+J)\cap(I_2+J)$라고 ν•˜λ©΄, $x=y+z$인 $y\in I_1$κ³Ό $z\in J$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€. $y=x-z\in I_1\cap(I_2+J)$μ΄λ―€λ‘œ, $x=y+z\in I_1\cap(I_2+J)+J$. $\square$

λͺ…μ œ 1에 μ˜ν•˜λ©΄, κ°€ν™˜ν™˜ $A$의 아이디얼 $I,J,K$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $J\subset K$κ°€ 성립할 λ•Œ, $(I+J)\cap K = (I\cap K)+J$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. 즉, $I\subset K$ μ΄κ±°λ‚˜ $J\subset K$라면, $(I+J)\cap K=(I\cap K)+(J\cap K)$.

β€œμ•„μ΄λ””μ–Όμ„ ν¬ν•¨ν•˜λŠ” μ•„μ΄λ””μ–Όβ€μ—μ„œ 보인 것과 같은 λŒ€μ‘κ΄€κ³„λ₯Ό μ΄μš©ν•˜μ—¬, λͺ…μ œ 1에 λŒ€ν•΄ 보좩섀λͺ…을 ν•˜μžλ©΄, $\pi\colon A\to A/J$λ₯Ό μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ μ€€λ™ν˜•μ΄λΌκ³  ν•  λ•Œ, $I_1+J=\pi^{-1}(\pi(I_1))$μ΄λ―€λ‘œ2, $A$의 $J$λ₯Ό ν¬ν•¨ν•˜λŠ” 아이디얼 $(I_1+J)\cap(I_2+J)$ 은 $A/J$의 아이디얼 $\pi(I_1)\cap\pi(I_2)$에 λŒ€μ‘ν•˜λŠ” 아이디얼이라고 λ³Ό 수 μžˆλ‹€. λ”°λΌμ„œ λͺ…μ œ 1에 μ˜ν•˜μ—¬ $\pi(I_1)\cap\pi(I_2)$λŠ” $\pi(I_1\cap(I_2+J))$와 μΌμΉ˜ν•˜λŠ” μ•„μ΄λ””μ–Όμ΄λΌλŠ” 것은 μ•Œ 수 μžˆμ§€λ§Œ, $(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap I_2)+J$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λ¦¬λΌλŠ” 보μž₯은 μ—†κΈ° λ•Œλ¬Έμ—, $\pi(I_1)\cap\pi(I_2)=\pi(I_1\cap I_2)$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λ¦¬λΌλŠ” 보μž₯ μ—­μ‹œ μ—†λ‹€.

$(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap I_2)+J$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ” λ°˜λ‘€λ‘œλŠ”, $A=\SetC[x,y]$, $I_1=(x)$, $I_2=(y)$, $J=(x+y)$둜 두면 λœλ‹€. μ‹€μ œλ‘œ, $I_1+J=I_2+J=(x,y)$μ΄λ―€λ‘œ, $(I_1+J)\cap(I_2+J)=(x,y)$이고, $I_1\cap I_2=I_1I_2=(xy)$, $(I_1\cap I_2)+J=(xy,x+y)$이닀. $y$에 κ΄€ν•œ 차수λ₯Ό κ΄€μ°°ν•˜λ©΄ $x\notin(xy,x+y)$인 것을 μ•Œ 수 μžˆμœΌλ―€λ‘œ, $(I_1+J)\cap(I_2+J)\neq(I_1\cap I_2)+J$.

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • μ•„μ΄λ””μ–Όμ˜ μ—°μ‚° $+$와 $\cap$ 사이에 λͺ¨λ“ˆλŸ¬ 법칙이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 λ³΄μ˜€λ‹€.
  • κ°€ν™˜ν™˜ $A$의 아이디얼 $I_1,I_2,J$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap I_2)+J$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ” λ°˜λ‘€λ₯Ό μ œμ‹œν–ˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, β€œIntroduction to Commutative Algebra”, Addison-Wesley, 1969.

  1. κ²°ν•©λ²•μΉ™μ˜ μ•½ν•œ ν˜•νƒœλΌκ³  λ³Ό μˆ˜λ„ μžˆλ‹€.β†©οΈŽ

  2. 일반적인 μ€€λ™ν˜•μ— μ˜ν•œ μ•„μ΄λ””μ–Όμ˜ 역상은 아이디얼이닀. λ˜ν•œ, 전사 μ€€λ™ν˜•μ— μ˜ν•œ μ•„μ΄λ””μ–Όμ˜ 상은 아이디얼이닀. λ”°λΌμ„œ μš°λ³€μ΄ μ•„μ΄λ””μ–Όμ΄λΌλŠ” 것은 λ°”λ‘œ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. $I_1+J$κ°€ $J$λ₯Ό ν¬ν•¨ν•˜λŠ” μ•„μ΄λ””μ–Όμ΄λ―€λ‘œ $I_1+J=\pi^{-1}(\pi(I_1+J))=\pi^{-1}(\pi(I_1))$둜 λ“±ν˜Έκ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것 μ—­μ‹œ 비ꡐ적 μ‰½κ²Œ μ•Œ 수 μžˆλ‹€.β†©οΈŽ

아이디얼을 ν¬ν•¨ν•˜λŠ” 아이디얼

아이디얼을 ν¬ν•¨ν•˜λŠ” 아이디얼

정리 1. $A$λ₯Ό λΉ„μžλͺ…ν•œ κ°€ν™˜ν™˜, $I\subsetneq A$λ₯Ό $A$의 아이디얼이라고 ν•˜μž. $\pi\colon A\to A/I$λ₯Ό μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ μ€€λ™ν˜•, $X$λ₯Ό $A/I$의 아이디얼 μ „μ²΄μ˜ 집합, $Y$λ₯Ό $I$λ₯Ό ν¬ν•¨ν•˜λŠ” $A$의 아이디얼 μ „μ²΄μ˜ 집합이라고 ν•˜λ©΄, λ‹€μŒ 두 사상 $\phi$와 $\psi$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜λ©°,

  • $\phi\colon X\ni J\mapsto \pi^{-1}(J)\in Y$
  • $\psi\colon Y\ni K\mapsto \pi(K)\in X$

$\phi$와 $\psi$λŠ” μ„œλ‘œμ˜ 역사상이닀. λ”°λΌμ„œ $X$와 $Y$κ°„μ—λŠ” μΌλŒ€μΌ λŒ€μ‘μ΄ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€. β€”

증λͺ…. $A$λ₯Ό abelian κ΅°, $I$λ₯Ό κ·Έ μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μœΌλ‘œ 보면, β€œμ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ„ ν¬ν•¨ν•˜λŠ” λΆ€λΆ„κ΅°β€μ—μ„œ λ³΄μ˜€λ“―μ΄, $J\in X$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\pi^{-1}(J)$λŠ” $A$의 $I$λ₯Ό ν¬ν•¨ν•˜λŠ” λΆ€λΆ„κ΅°μ΄λΌλŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ˜ν•œ, $K\in Y$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\pi(K)$ μ—­μ‹œ μž‰μ—¬κ΅° $A/I$의 λΆ€λΆ„κ΅°μ΄λΌλŠ” 것도 μ•Œ 수 μžˆμœΌλ―€λ‘œ, $\pi^{-1}(J)$와 $\pi(K)$κ°€ 각각 $A$, $A/I$의 μ•„μ΄λ””μ–Όμ΄λΌλŠ” κ²ƒλ§Œ 보이면 $\phi$, $\psi$에 μ˜ν•˜μ—¬ $X$와 $Y$ 사이에 μΌλŒ€μΌ λŒ€μ‘μ΄ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λŠ” 것을 확인할 수 μžˆλ‹€.

  • $a\in A$, $x\in\pi^{-1}(J)$라고 ν•˜λ©΄, $\pi(ax)=\pi(a)\pi(x)\in J$μ΄λ―€λ‘œ $ax\in\pi^{-1}(J)$. λ”°λΌμ„œ $\pi^{-1}(J)$은 아이디얼.
  • $\overline a\in A/I$, $\overline x\in\pi(K)$라고 ν•˜λ©΄, $\pi$λŠ” μ „μ‚¬μ΄λ―€λ‘œ $a\in A$, $x\in K$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬ $\pi(a)=\overline a$, $\pi(x)=\overline x$이닀. $ax\in K$μ΄λ―€λ‘œ $\overline a\overline x=\pi(ax)\in\pi(K)$. λ”°λΌμ„œ $\pi(K)$λŠ” 아이디얼. $\square$

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • λΉ„μžλͺ…ν•œ κ°€ν™˜ν™˜ $A$와 κ·Έ 아이디얼 $I\subsetneq A$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $A/I$의 아이디얼 μ „μ²΄μ˜ 집합 $X$와 $A$의 $I$λ₯Ό ν¬ν•¨ν•˜λŠ” 아이디얼 μ „μ²΄μ˜ 집합 $Y$ 간에 μΌλŒ€μΌ λŒ€μ‘μ΄ μ‘΄μž¬ν•¨μ„ λ³΄μ˜€λ‹€.
    • κ΅¬μ²΄μ μœΌλ‘œλŠ”, $\phi\colon X\ni J\mapsto \pi^{-1}(J)\in Y$, $\psi\colon Y\ni K\mapsto\pi(K)\in X$ 와 같은 사상이 μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬, 두 사상이 μ„œλ‘œμ˜ μ—­μ‚¬μƒμ΄λ―€λ‘œ, μ „λ‹¨μ‚¬λΌλŠ” 것을 λ³΄μ˜€λ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, β€œIntroduction to Commutative Algebra”, Addison-Wesley, 1969.
  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 2 η’°γ¨δ½“γ¨γ‚¬γƒ­γ‚’η†θ«–γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.