중국인의 나머지 정리

중국인의 나머지 정리

정리 1(중국인의 나머지 정리Chinese Remainder Theorem, CRT1). $A$를 비자명한 가환환, $I_1,\ldots,I_n\subsetneq A$를 $A$의 아이디얼이라고 하자. $I_1,\ldots,I_n$ 중 어느 두 개를 선택해도 서로소2라면, 다음이 성립한다.

  1. $i=1,\ldots,n$에 대하여, $I_i$와 $\prod_{j\neq i}I_j$는 서로소.
  2. $I_1\cap\cdots\cap I_n = I_1\cdots I_n$.
  3. $A/(I_1\cap\cdots\cap I_n) \cong A/I_1\times\cdots\times A/I_n$. —

증명.

1의 증명. $i=1$이라고 해도 일반성을 잃지 않으므로, $I_1 + I_2\cdots I_n = A$임을 보이자. 각 $j=2,\ldots,n$에 대하여 $x_j + y_j = 1$인 $x_j\in I_1$, $y_j\in I_j$을 취할 수 있다. 여기서 $(x_2+y_2)\cdots(x_n+y_n) = 1$이고, 좌변을 전개했을 때, $y_2\cdots y_n\in I_2\cdots I_n$을 제외한 항은 모두 $I_1$의 원소이므로, $I_1 + I_2\cdots I_n = A$인 것을 알 수 있다.

2의 증명. $n$에 관한 귀납법으로 보이자.

  • $n = 2$인 경우: $I_1I_2\subset I_1\cap I_2$이 성립하는 것은 당연. $x+y=1$이 되도록 $x\in I_1$, $y\in I_2$를 취하면, $a\in I_1\cap I_2$라고 할 때, $a=ax+ay\in I_1I_2$. 따라서 $I_1\cap I_2\subset I_1I_2$.
  • $I_1\cap\cdots\cap I_{n-1} = I_1\cdots I_{n-1}$($= J$)가 성립한다고 하면, 1에서 보인대로 $J + I_n = A$. 따라서, $n=2$인 경우에서 보인대로, $I_1\cap\cdots\cap I_{n} = J \cap I_n = JI_n = I_1\cdots I_n$.

3의 증명. 환의 준동형정리를 이용한다.

  • $n=2$인 경우를 먼저 보이자. $\phi\colon A\ni a\mapsto (a+I_1, a+I_2)\in A/I_1\times A/I_2$와 같은 준동형을 생각할 때, $\text{Ker}(\phi) = I_1\cap I_2$인 것은 환의 직곱의 정의로부터 당연하다. 또한, $I_1+I_2=A$이므로, $x+y=1$인 $x\in I_1$, $y\in I_2$ 를 취하면, 임의의 $a,b\in A$에 대하여 $\phi(ay+bx)=(a+I_1,b+I_2)$ 이므로 $\phi$는 전사이다3. 따라서 환의 준동형정리에 의하여, $A/(I_1\cap I_2) \cong A/I_1 \times A/I_2$이다.
  • $n>2$인 경우 역시, $J = I_1\cdots I_{n-1}$으로 두면, 2에서 보인대로 $J=I_1\cap\cdots\cap I_{n-1}$ 이고, 1에서 보인대로 $J+I_n=A$이므로, $n=2$일 때와 마찬가지로 $A/(I_1\cap\cdots\cap I_n) = A/(J\cap I_n) \cong A/J\times A/I_n$. 이와 같은 작업을 반복하면 $A/J= A/I_1\times\cdots\times A/I_n$임을 알 수 있으므로, 동형이 보여진다. $\square$

보조정리 2. $I, J$가 비자명한 가환환 $A$의 서로소인 아이디얼이고, $a,b\in\SetZ_{>0}$라면, $I^a$와 $J^b$ 역시 서로소이다. —

증명. $x+y = 1$이도록 $x\in I$, $y\in J$를 취하면, $1 = (x+y)^{a+b} \in I^a+J^b$임을 이항정리로부터 확인할 수 있다. $\square$

예 1. $300 = 2^2\cdot3\cdot5^2$이고, $2,3,5$는 (어느 두 개를 택해도) 서로소이므로, 정리 1과 보조정리 2에 의하여 $\SetZ/300\SetZ \cong \SetZ/4\SetZ\times\SetZ/3\SetZ\times\SetZ/25\SetZ$. —

예 2. 예 1과 마찬가지로, $\SetC[x]/(x(x-1)^2(x+2)^3)\cong\SetC[x]/(x)\times\SetC[x]/((x-1)^2)\times\SetC[x]/((x+2)^3)$. —

연습문제

문제 1. $x\equiv 1\mod 2$, $x\equiv 2\mod 5$, $x\equiv 8\mod 13$을 모두 만족하는 정수를 모두 구하여라. —

풀이.

  • Euclidean 호제법을 이용하면, $-4\in 2\SetZ$, $5\in 5\SetZ$, $-4+5=1$와 같이 $x\in 2\SetZ$, $y\in 5\SetZ$, $x+y=1$를 만족하는 쌍 $(x,y)$를 찾을 수 있다. CRT에 의하여 $\SetZ/10\SetZ \cong \SetZ/2\SetZ\times\SetZ/5\SetZ$이고, 이 동형사상을 $\phi$라고 하면, $\phi(7+10\SetZ)=\phi(1\cdot 5+2\cdot(-4) + 10\SetZ)=(1+2\SetZ, 2+5\SetZ)$ 인 것을 알 수 있다. 따라서 $x\equiv 1\mod 2$, $x\equiv 2\mod 5$일 필요충분조건은 $x\equiv 7\mod 10$.
  • 같은 방법으로 $x\equiv 7\mod 10$인 동시에 $x\equiv 8\mod 13$을 만족하는 정수 $x$를 구하면 된다. $40\in 10\SetZ$, $-39\in 13\SetZ$, $40+(-39)=1$이고, $\SetZ/130\SetZ \cong \SetZ/10\SetZ\times\SetZ/13\SetZ$이므로, 이 동형사상을 $\psi$라고 하면, $\psi(47+130\SetZ)=\psi(7\cdot(-39)+8\cdot40+130\SetZ)=(7+10\SetZ,8+13\SetZ)$ 이다. 따라서 $x\equiv 47\mod 130$인 정수 $x$가 문제의 모든 조건을 만족하는 정수의 전부이다. —

문제 2. $I_1=(x^2+1,3)$, $I_2=(x+1)$을 $\SetZ[x]$의 아이디얼이라고 하자. $f\equiv x\mod I_1$, $f\equiv 1\mod I_2$인 $f(x)\in\SetZ[x]$를 하나 찾아라. —

풀이. $2-x^2\in I_1$, $x^2-1\in I_2$이고, $(2-x^2)+(x^2-1)=1$이다. 풀이 1과 같은 논리로, $f(x)=x(x^2-1)+1(2-x^2)=x^3-x^2-x+2$는 문제의 조건을 만족하며, 직접 확인할 수도 있다. —

문제 3. $\SetZ[\sqrt{-5}]/(3) \cong \SetZ/3\SetZ\times\SetZ/3\SetZ$을 보여라. —

풀이. $\SetZ[x]$의 아이디얼 $(x-1,3)$과 $(x-2,3)$은 서로소이다. 동시에 $(x-1,3)(x-2,3)=(x^2+5,3)$이 성립하므로, CRT에 의하여,

$$ \begin{aligned} \SetZ[\sqrt{-5}]/(3)&\cong\SetZ[x]/(x^2+5,3) \\ &\cong\SetZ[x]/(x-1,3)\times\SetZ[x]/(x-2,3) \\ &\cong\SetZ/3\SetZ\times\SetZ/3\SetZ \end{aligned} $$

이 성립한다. —

이 포스트에서는…

  • 환에서의 중국인의 나머지 정리를 증명했다.
  • 환에서의 중국인의 나머지 정리를 이용한 동형의 예시를 제시했다.

참고문헌

  • M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, “Introduction to Commutative Algebra”, Addison-Wesley, 1969.
  • 雪江 明彦,『代数学 1 群論入門』,日本評論社,2010.
  • 雪江 明彦,『代数学 2 環と体とガロア理論』,日本評論社,2010.

  1. Sun-tzu(孫子, 손자) 정리라고도 한다. 관련 글.↩︎

  2. 환 $A$의 두 아이디얼 $I,J$가 아이디얼로서 서로소라는 것은, $I+J=A$임을 의미한다.↩︎

  3. 실제로, $I_1$과 $I_2$가 서로소이지 않다면, 전사이지 않다. $\phi$가 전사라고 한다면, $\phi(a)=(I_1,1+I_2)$인 $a\in A$가 존재한다. $a\in I_1$, $1-a\in I_2$이므로, $1=a+(1-a)\in I_1+I_2$, $I_1$과 $I_2$는 서로소이다.↩︎

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