아이디얼, 잉여환

아이디얼의 정의

정의 1(아이디얼). $A$가 비자명한 가환환이라고 하자. $I\subset A$가 다음 조건 1,2를 만족한다면, $I$는 $A$의 아이디얼ideal이라고 한다.

  1. $I$는 $+$ 연산에 의하여 $A$의 부분군을 이룬다.
  2. 임의의 $a\in A$, $x\in I$에 대하여 $ax\in I$12. —

예 1(생성되는 아이디얼). $A$가 비자명한 가환환이고, $a\in A$라고 할 때, $(a)\coloneqq \left\{ ax \mid x\in A \right\}$는 $A$의 아이디얼이다. 이를 $a$에 의하여 생성되는 아이디얼이라고 한다. 마찬가지로, $A$의 유한부분집합 $S\subset A$가 $S=\left\{ a_1,\ldots,a_n \right\}$과 같이 주어졌을 때, $(S)=(a_1,\ldots,a_n)\coloneqq\left\{ a_1x_1+\cdots+a_nx_n\mid x_1,\ldots,x_n \in A\right\}$ 는 $A$의 아이디얼이고, 이를 $S$에 의하여 생성되는 아이디얼이라고 한다. $S$가 $A$의 무한부분집합인 경우에는, $S$의 유한부분집합에 의하여 생성되는 아이디얼 전체의 합집합 $I$ 역시 아이디얼이며, 이 경우에도 $I$를 $S$에 의하여 생성되는 아이디얼이라고 한다. 유한집합 $S$에 의하여 생성되는 아이디얼을 유한생성 아이디얼finitely generated ideal이라고 하며, 특히 원소 하나에 의하여 생성되는 아이디얼을 단항 아이디얼principal ideal이라고 한다. —

예 2(자명한 아이디얼). 비자명한 가환환 $A$에 대하여, $A$와 $\left\{ 0 \right\}$는 아이디얼이다. 이는 각각 $1$과 $0$에 의해 생성되는 아이디얼이므로, $(1)$, $(0)$으로 나타내기도 하며, 이를 자명한 아이디얼trivial ideal이라고 한다. 특히 $(0)$를 영 아이디얼zero ideal이라고 한다. —

명제 1. $a\in A^\times$인 것과 $(a)=A$인 것은 서로 필요충분조건이다. —

명제 2. 환의 준동형 $\phi\colon A\to B$가 주어졌을 때, $\text{Ker}(\phi)$는 $A$의 아이디얼인 동시에, $\text{Ker}(\phi)\neq A$이다. —

명제 3. $A$를 비자명한 가환환이라고 할 때, 다음 두 조건은 동치이다.

  1. $A$는 체.
  2. $A$는 자명한 아이디얼 이외의 아이디얼을 가지지 않는다. —

증명. $A$를 체라고 하고, $I$를 $A$의 $(0)$이 아닌 아이디얼이라고 하면, $x\neq 0$인 $x\in I$가 존재한다. 이 때, $A$가 체이므로 $x$는 단원이고, $A=(x)\subset I$. 따라서 $I=A$이다. 반대로, $A$가 자명하지 않은 아이디얼을 가지지 않는다고 하면, $0\neq x\in A$라고 할 때, $(x)=A$일 수 밖에 없으므로, $x$는 단원, $A$는 체이다. $\square$

따름정리 2. $k$를 체라고 할 때, 환의 준동형 $\phi\colon k\to A$는 단사이다. —

증명. 문제 2에서 보인대로, $\text{Ker}(\phi)$는 $k$가 아닌 $k$의 아이디얼이다. $k$는 체이므로, 그러한 아이디얼은 $(0)$밖에 없다. 따라서 $\phi$는 자명. $\square$

잉여환의 정의

에서 정규부분군에 의하여 잉여군을 정의했듯이, 환에서도 아이디얼을 이용하여 잉여환을 정의할 수 있다. 실제로, 비자명한 가환환 $A$는 $+$연산에 의하여 abelian 군을 이루고 있으므로, 그 부분군인 아이디얼 $I$는 정규부분군, 자연스럽게 $+$연산에 대한 잉여군으로서 $A/I$가 정의된다. $x\in A$의 동치류를 $x+I$와 같이 나타낼 때3, $A/I$ 상의 $\times$ 연산을 $(x+I)(y+I)=(xy+I)$와 같이 정의하면 이 연산은 well-defined인 연산이며4, $A/I$는 환의 구조를 가지고 있음을 확인할 수 있다.

정의 2. 비자명한 가환환 $A$와 그 아이디얼 $I\subsetneq A$에 대하여, $A/I$를 $A$의 $I$에 의한 잉여환, 혹은 몫환quotient ring이라고 한다. —

정의 3. 사상 $\pi\colon A\ni x\mapsto x+I\in A/I$이 전사인 환의 준동형인 것은 바로 알 수 있다. 이를 자연스러운 준동형 혹은 자연스러운 전사라고 한다. —

이 포스트에서는…

  • 비자명한 가환환의 아이디얼을 정의했다.
  • 유한생성 아이디얼단항 아이디얼을 아이디얼의 예로 제시했다.
  • 잉여환을 정의했다.

참고문헌

  • M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, “Introduction to Commutative Algebra”, Addison-Wesley, 1969.
  • 雪江 明彦,『代数学 2 環と体とガロア理論』,日本評論社,2010.

  1. $AI=\left\{ ax\mid a\in A, x\in I \right\}$라고 하여, 이 조건을 $AI\subset I$와 같이 나타내기도 한다.↩︎

  2. $A$가 비가환환인 경우에, 1,2를 만족하는 $I$를 왼쪽 아이디얼이라고 하며, 2 대신 “임의의 $a\in A$, $x\in I$에 대하여 $xa\in I$”를 만족하는 경우 $I$는 오른쪽 아이디얼이라고 한다. $I$가 왼쪽 아이디얼인 동시에 오른쪽 아이디얼이라면, $I$는 양쪽 아이디얼이라고 한다.↩︎

  3. 동치류를 $x\mod I$와 같이 나타내기도 한다. 이 경우 $x+I=y+I$를 $x\equiv y\mod I$와 같이 나타낸다.↩︎

  4. $x’\in x+I$, $y’\in y+I$라고 할 때, $x’=x+z$, $y’=y+w$인 $z,w\in I$가 존재하므로, $x’y’=(x+z)(y+w)=xy+zy+xw+zw$. $I$는 아이디얼이므로, $zy,xw,zw\in I$이다. 따라서 $(x+I)(y+I)=(x’+I)(y’+I)$.↩︎