노름공간의 정의

노름의 공리

정의 1(노름의 공리). $\SetR$ 혹은 $\SetC$ 상의 벡터공간 $V$에 대하여, 사상 $\|\cdot\|\colon V\to \SetR$이 다음 조건 1,2,3을 만족한다면, 사상 $\|\cdot\|$을 노름norm이라고 한다.

  1. 임의의 $\vec x\in V$에 대하여 $\|\vec x\|\geq 0$가 성립한다. 또한 등호는 $\vec x = \vec 0$일 때에 한하여 성립한다.
  2. 임의의 $\vec x\in V$와 $\lambda\in \SetR$ (혹은 $\lambda\in\SetC$)에 대하여, $\|\lambda\vec x\| = |\lambda|\|\vec x\|$가 성립한다.
  3. 삼각부등식 – 임의의 $\vec x, \vec y\in V$에 대하여 $\|\vec x+ \vec y\|\leq \|\vec x\| + \|\vec y\|$가 성립한다. —

$\SetR$ 혹은 $\SetC$ 상의 벡터공간 $V$에 대하여 노름 $\|\cdot\|$이 주어질 때, 함수 $d: V\times V\ni (\vec x,\vec y) \mapsto \|\vec x-\vec y\|\in\SetR$를 정의하면, $d$는 $V$ 상의 거리함수임을 확인할 수 있다. 이를 노름 $\|\cdot\|$에 의한 자연스러운 거리라고 한다. 따라서, 노름공간은 자연스러운 거리에 의하여 거리공간으로 생각할 수 있다.

보조정리 1(Cauchy-Schwarz 부등식). 벡터공간 $\SetR^n$과, $\vec a = (a_1,\ldots, a_n), \vec b = (b_1\ldots, b_n) \in\SetR^n$에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.

$$ \left( \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right). $$

또한, 등호는 $\vec a$와 $\vec b$가 선형종속일 때에 한하여 성립한다. —

증명. $\vec a = \vec b = \vec 0$ 일 때, 부등식이 성립하는 것은 자명하니, 어느 한 쪽은 $\vec 0$이 아닌 경우만을 생각하자. 이 경우, $\vec a \neq \vec 0$ 라고 해도 일반성을 잃지 않으니 $\vec a\neq \vec 0$라고 하자.

$$ f(x) \coloneqq \sum_{i=1}^{n} (a_ix-b_i)^2 = \left( \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right)x^2-2\left( \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)x + \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) $$

라고 $f(x)$를 정의하면, $a_i\neq 0$인 $i=1,\ldots,n$이 존재하므로, $\sum_{i=1}^n a_i^2 \neq 0$. $f(x)$는 2차의 다항식이다. 중간의 식으로부터 알 수 있듯이, 임의의 $x\in\SetR$에 대하여 $f(x)\geq 0$이므로, $f(x)$의 판별식 $D$에 대하여,

$$ D/4 = \left( \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)^2-\left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \leq 0 $$

임을 알 수 있다. 또한, “$\vec a\neq\vec 0$와 $\vec b$가 선형종속인 것”과 “$\lambda\vec a = \vec b$이도록 하는 $\lambda\in\SetR$이 존재하는 것”은 동치, 이 경우에 한하여 $f(\lambda)= 0$로 $f(x)$는 중근 $\lambda$를 가지므로, $D=0$. $\vec a$와 $\vec b$가 선형종속인 것과 등호 성립은 동치임을 알 수 있다. $\square$

별도의 증명. 다음과 같은 간단한 식 변형을 통해 부등식이 성립하는 것을 알 수 있다.

$$ \begin{aligned} \left( \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \right) -\left( \sum_{i=1}^{n}a_ib_i \right)^2 &= \sum_{i\neq j} a_i^2b_j^2-2\sum_{i<j}^{} a_ib_ia_jb_j \\ &= \sum_{i<j} (a_ib_j -a_jb_i)^2 \geq 0. \end{aligned} $$

여기서 등호는 임의의 $i<j$에 대하여 $a_ib_j-a_jb_i=0$일 때에 한하여 성립한다는 것을 알 수 있다. 이 조건이 $\vec a$와 $\vec b$가 선형종속인 것과 동치인 것은 간단히 확인할 수 있다. $\square$

이외에도, Hölder 부등식이나, 내적의 공리로부터 Cauchy-Schwarz 부등식이 얻어진다.

예 1(Euclidean 공간). 점 $\vec a = (a_1, \ldots, a_n)\in \SetR^n$에 대하여, $\|\vec a\|_2 \coloneqq \sqrt{(a_1^2+\cdots+a_n^2)}$와 같이 사상 $\|\cdot\|: \SetR^n\to\SetR$을 정의하면, 정의 1의 노름의 공리 1,2를 만족하고 있는 것은 쉽게 확인할 수 있다. 또한, $\vec a = (a_1,\ldots,a_n), \vec b = (b_1,\ldots,b_n)\in\SetR^n$에 대해, 보조정리 1에 의하여

$$ \begin{aligned} \|\vec a+\vec b\|_2^2 &=\sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i)^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2\sum_{i=1}^n a_ib_i \\ &\leq \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2 {\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)^{1/2} \left( \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \right)^{1/2}} \\ &= \left( \|\vec a\|_2 + \|\vec b\|_2 \right)^2. \end{aligned} $$

따라서 $\|\cdot\|$은 $\SetR^n$ 상의 노름이다. 이를 Euclidean 노름이라고 하며, 이 노름(혹은 이 노름에 의한 자연스러운 거리)이 부여된 벡터공간 $\SetR^n$을 Euclidean 공간이라고 한다. —

예 2(Minkowski 공간). $p\in [1,\infty)$라고 하자. 점 $\vec a = (a_1, \ldots, a_n)\in \SetR^n$에 대하여, $\|\vec a\|_p\coloneqq (|a_1|^p + \cdots + |a_n|^p)^{1/p}$와 같이 사상 $\|\cdot\|: \SetR^n\to\SetR$을 정의하면, 정의 1의 노름의 공리 1,2를 만족하고 있는 것은 쉽게 확인할 수 있다. 또한, $\vec a = (a_1,\ldots,a_n), \vec b = (b_1,\ldots,b_n)\in\SetR^n$에 대해, $\|\vec a + \vec b\|_p\leq \|\vec a\|_p + \|\vec b\|_p$가 성립하는 것은 Minkowski 부등식으로부터 확인할 수 있다. 따라서 $\|\cdot\|_p$은 $\SetR^n$ 상의 노름이다. 이를 Minkowski 노름이라고 하며, 이 노름(혹은 이 노름에 의한 자연스러운 거리)이 부여된 벡터공간 $\SetR^n$을 Minkowski 공간이라고 한다. —

예 3(최댓값 노름). 점 $\vec a = (a_1, \ldots, a_n)\in \SetR^n$에 대하여 $\|\vec a\|_\infty \coloneqq \max_{1\leq i\leq n} |a_i|$ 와 같이 사상 $\|\cdot\|_\infty: \SetR^n\to \SetR$을 정의하면, 이는 노름이다. (연습문제) 이를 $\SetR^n$ 상의 최댓값 노름이라고 한다. —

이 포스트에서는…

  • 노름노름공간을 정의했다.
  • Cauchy-Schwarz 부등식을 이용하여, 노름공간의 예로 Euclidean 공간을 들었다.
  • Minkowski 부등식을 이용하여, 노름공간의 예로 Minkowski 공간을 들었다.
  • 노름의 예로 최댓값 노름을 들었다.

참고문헌

  • 松坂 和夫,『集合・位相入門』,岩波書店,1968.

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