개집합, 폐집합

개집합, 폐집합의 정의

정의 1(개집합, 폐집합).

  1. 위상공간 $(S,\mathfrak{O})$에 대하여, $O\in\mathfrak{O}$인 $O$를 위상공간 $(S,\mathfrak{O})$의 개집합open set이라고 한다.
  2. 위상공간 $(S,\mathfrak{O})$에 대하여, $A^\complement=S\setminus A\in\mathfrak{O}$인 $A$를 위상공간 $(S,\mathfrak{O})$의 폐집합closed set이라고 한다. —

명제 1. 위상공간 $(S,\mathfrak{O})$의 폐집합 전부의 집합을 $\mathfrak{A}$라고 하면, $\mathfrak{A}$는 다음 성질을 만족한다.

  1. $\emptyset, S\in\mathfrak{A}$.
  2. $A_1,A_2\in\mathfrak{A}$라면, $A_1\cup A_2\in\mathfrak{A}$.
  3. $\mathfrak{A}$의 원소로 이루어진 집합계 $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$에 대하여, $\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\in\mathfrak{A}$. —

증명. 각 위상의 공리에 De Morgan 법칙을 적용하면 된다. $\square$

반대로, 명제 1의 조건 1,2,3을 만족하는 $S$의 부분집합계 $\mathfrak{A}$ – 이를 폐집합계라고 하자 – 가 주어진다면, 같은 방법으로 De Morgan의 법칙을 적용하여, $\mathfrak{A}$의 원소의 여집합으로 이루어진 단 하나의 위상 $\mathfrak{O}$를 얻을 수 있다. 따라서, $S$ 상의 한 “위상공간”을 개집합계(즉, 위상)와 폐집합계의 두 가지 방법으로 정하는 것이 가능하다.

. “개”집합과 “폐”집합이라는 용어 탓에, 개집합과 폐집합은 서로의 반대되는 개념이라고 생각할 수 있으나, 실제로는 개집합인 동시에 폐집합인 집합이 존재한다1. 명제 1의 조건 1로부터 알 수 있듯이, 임의의 위상공간 $(S,\mathfrak{O})$에서 $\emptyset,S$는 개집합인 동시에 폐집합인 자명한 예이다. $\emptyset,S$ 이외에도 개집합인 동시에 폐집합인 집합이 존재할 수 있으며, 이는 특히 위상공간의 특징 중 하나인 “연결성connectedness”에 관여한다. —

이 포스트에서는…

  • 개집합폐집합을 정의했다.
  • 공집합이 아닌 집합 $S$ 상에서 특정 조건을 만족하는 “폐집합계”에 의하여, $S$ 상의 위상공간을 정하는 것이 가능함을 밝혔다.

참고문헌

  • 松坂 和夫,『集合・位相入門』,岩波書店,1968.
  • 内田 伏一,『集合と位相』,裳華房,1986.

  1. 이를 개폐집합clopen set이라고 하기도 한다.↩︎

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