순서단사, 순서동형

순서단사, 순서동형의 정의

정의 1(순서를 보존하는 사상). $(A,\leq)$, $(A’,\leq’)$를 순서집합이라고 하자. 사상 $f\colon A\to A’$가 임의의 $a\leq b$인 $a,b\in A$에 대하여 $f(a)\leq f(b)$ 이라면, $f$는 $A$에서 $A’$로의 순서를 보존하는 사상 혹은 단조사상monotone function이라고 한다. —

명제 1. $(A,\leq)$, $(A’,\leq’)$를 순서집합, $f\colon A\to A’$를 순서를 보존하는 사상이라고 할 때, 임의의 $a,b\in A$에 대하여 $f(a)\leq f(b)\Rarr a\leq b$가 성립한다면, $f$는 단사이다. —

증명. $f(a)=f(b)$라고 한다면, $f(a)\leq f(b)$, 따라서 $a\leq b$이다. 마찬가지로 $f(a)\geq f(b)$이므로, $a\geq b$. 따라서 $a=b$. $\square$

정의 2. $(A,\leq)$, $(A’,\leq’)$를 순서집합이라고 할 때, 명제 1과 같이 임의의 $a,b\in A$에 대하여 $f(a)\leq f(b)\Rarr a\leq b$가 성립하는 순서를 보존하는 사상 $f\colon A\to A’$를 순서단사order embedding라고 한다. —

정의 3. $(A,\leq)$, $(A’,\leq’)$를 순서집합, $f:A\to A’$를 순서단사라고 할 때, $f$가 전사라면 $f$는 순서동형order isomorphism이라고 한다. —

순서동형은 전단사이고, 그 역사상도 순서동형이다. $(A,\leq)$에서 $(A’,\leq’)$로의 순서동형이 하나 이상 존재한다면, $A\cong A’$와 같이 나타내어, $A$와 $A’$는 순서동형인 순서집합이라고 한다.

명제 2. 순서집합 $(A,\leq)$, $(A’,\leq’)$, $(A”,\leq”)$에 대하여 다음이 성립한다.

  1. $(A,\leq)\cong(A,\leq)$.
  2. $(A,\leq)\cong(A’,\leq’)$이라면, $(A’,\leq’)\cong(A,\leq)$.
  3. $(A,\leq)\cong(A’,\leq’)$이고 $ (A’,\leq’)\cong(A”,\leq”)$이라면, $(A,\leq)\cong(A”,\leq”)$. —

이 포스트에서는…

  • 순서를 보존하는 사상, 순서단사, 순서동형을 정의했다.

참고문헌

  • 松坂 和夫,『集合・位相入門』,岩波書店,1968.
  • 内田 伏一,『集合と位相』,裳華房,1986.