위상의 정의

위상의 공리

정의 1(위상의 공리). $S$를 공집합이 아닌 집합이라고 하자. $S$의 부분집합계, 즉 $2^S$의 부분집합 $\mathfrak{O}$가 다음 조건 1,2,3을 만족할 때, $\mathfrak{O}$는 “$S$의 위상구조topological structure를 정한다”, 혹은 “$S$ 상의 하나의 위상topology이다”라고 한다.

  1. $\emptyset, S\in \mathfrak{O}$.
  2. $O_1,O_2\in\mathfrak{O}$라면, $O_1\cap O_2\in\mathfrak{O}$.1
  3. $\mathfrak{O}$의 원소로 이루어진 집합계 $(O_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$에 대하여, $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathfrak{O}$2. —

집합 $S$와, 그 위상 $\mathfrak O$를 함께 $(S,\mathfrak{O})$와 같이 표시하여, 이를 위상공간topological space이라고 한다. $S$ 상에서는 서로 다른 위상 $\mathfrak O_1$과 $\mathfrak O_2$가 존재할 수 있으며, 당연히 $(S,\mathfrak O_1)$과 $(S,\mathfrak O_2)$는 서로 다른 위상공간으로 취급한다.

예 1(밀착위상, 이산위상). 공집합이 아닌 집합 $S$ 상의 위상의 가장 간단한 예로는 2개의 원소로 이루어진 집합 $\mathfrak O_*\coloneqq\{\emptyset,S\}$을 생각할 수 있다. 이가 위상의 공리를 만족하고 있다는 것을 보이는 것은 간단하며, 이를 $S$ 상의 밀착위상indiscrete topology이라고 한다. 또한 $\mathfrak{O}^*\coloneqq 2^S$ 와 같이 $S$의 부분집합계를 주어도, 이는 자명하게 위상의 공리를 만족한다. 이를 $S$ 상의 이산위상discrete topology이라고 한다. $S$ 상의 임의의 위상 $\mathfrak{O}$에 대하여 $\mathfrak{O_*}\subset\mathfrak O\subset\mathfrak{O^*}$가 성립한다. —

이 포스트에서는…

  • 위상의 공리를 이용하여 위상, 위상공간을 정의했다.
  • 밀착위상, 이산위상을 정의했다.

참고문헌

  • 松坂 和夫,『集合・位相入門』,岩波書店,1968.
  • 内田 伏一,『集合と位相』,裳華房,1986.

  1. 이는 $O_1,\ldots,O_n\in\mathfrak{O}$과 같이 유한개의 $\mathfrak{O}$의 원소가 주어진다면, $O_1\cap\cdots\cap O_n\in\mathfrak{O}$임을 귀납적으로 함의한다.↩︎

  2. 임의의 농도를 갖는 집합계의 인덱스 $\Lambda$에 대하여 성립한다는 점이, 조건 2의 전제와 다른 부분이라고 할 수 있다.↩︎