아이디얼을 포함하는 아이디얼

아이디얼을 포함하는 아이디얼

정리 1. $A$를 비자명한 가환환, $I\subsetneq A$를 $A$의 아이디얼이라고 하자. $\pi\colon A\to A/I$를 자연스러운 준동형, $X$를 $A/I$의 아이디얼 전체의 집합, $Y$를 $I$를 포함하는 $A$의 아이디얼 전체의 집합이라고 하면, 다음 두 사상 $\phi$와 $\psi$가 존재하며,

  • $\phi\colon X\ni J\mapsto \pi^{-1}(J)\in Y$
  • $\psi\colon Y\ni K\mapsto \pi(K)\in X$

$\phi$와 $\psi$는 서로의 역사상이다. 따라서 $X$와 $Y$간에는 일대일 대응이 존재한다. —

증명. $A$를 abelian 군, $I$를 그 정규부분군으로 보면, “정규부분군을 포함하는 부분군”에서 보였듯이, $J\in X$에 대하여 $\pi^{-1}(J)$는 $A$의 $I$를 포함하는 부분군이라는 것을 알 수 있다. 또한, $K\in Y$에 대하여 $\pi(K)$ 역시 잉여군 $A/I$의 부분군이라는 것도 알 수 있으므로, $\pi^{-1}(J)$와 $\pi(K)$가 각각 $A$, $A/I$의 아이디얼이라는 것만 보이면 $\phi$, $\psi$에 의하여 $X$와 $Y$ 사이에 일대일 대응이 존재한다는 것을 확인할 수 있다.

  • $a\in A$, $x\in\pi^{-1}(J)$라고 하면, $\pi(ax)=\pi(a)\pi(x)\in J$이므로 $ax\in\pi^{-1}(J)$. 따라서 $\pi^{-1}(J)$은 아이디얼.
  • $\overline a\in A/I$, $\overline x\in\pi(K)$라고 하면, $\pi$는 전사이므로 $a\in A$, $x\in K$가 존재하여 $\pi(a)=\overline a$, $\pi(x)=\overline x$이다. $ax\in K$이므로 $\overline a\overline x=\pi(ax)\in\pi(K)$. 따라서 $\pi(K)$는 아이디얼. $\square$

이 포스트에서는…

  • 비자명한 가환환 $A$와 그 아이디얼 $I\subsetneq A$에 대하여, $A/I$의 아이디얼 전체의 집합 $X$와 $A$의 $I$를 포함하는 아이디얼 전체의 집합 $Y$ 간에 일대일 대응이 존재함을 보였다.
    • 구체적으로는, $\phi\colon X\ni J\mapsto \pi^{-1}(J)\in Y$, $\psi\colon Y\ni K\mapsto\pi(K)\in X$ 와 같은 사상이 존재하여, 두 사상이 서로의 역사상이므로, 전단사라는 것을 보였다.

참고문헌

  • M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, “Introduction to Commutative Algebra”, Addison-Wesley, 1969.
  • 雪江 明彦,『代数学 2 環と体とガロア理論』,日本評論社,2010.