아이디얼 연산의 모듈러 법칙

아이디얼 연산의 모듈러 법칙

명제 1(아이디얼 연산의 모듈러 법칙modular law1). $I_1,I_2,J$를 가환환 $A$의 아이디얼이라고 하면, $(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap(I_2+J))+J=((I_1+J)\cap I_2)+J$가 성립한다. —

증명. $(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap(I_2+J))+J$가 보여지면, $I_1$과 $I_2$의 순서를 바꾸는 것에 의하여 $(I_1+J)\cap (I_2+J)=((I_1+J)\cap I_2)+J$ 역시 보여지므로, $(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap(I_2+J))+J$만을 보이자.

$I_1+J, I_2+J\supset I_1\cap (I_2+J), J$이므로, $(I_1+J)\cap(I_2+J)\supset I_1\cap (I_2+J)+J$가 성립하는 것은 분명하다. 반대로, $x\in (I_1+J)\cap(I_2+J)$라고 하면, $x=y+z$인 $y\in I_1$과 $z\in J$가 존재한다. $y=x-z\in I_1\cap(I_2+J)$이므로, $x=y+z\in I_1\cap(I_2+J)+J$. $\square$

명제 1에 의하면, 가환환 $A$의 아이디얼 $I,J,K$에 대하여, $J\subset K$가 성립할 때, $(I+J)\cap K = (I\cap K)+J$가 성립한다. 즉, $I\subset K$ 이거나 $J\subset K$라면, $(I+J)\cap K=(I\cap K)+(J\cap K)$.

“아이디얼을 포함하는 아이디얼”에서 보인 것과 같은 대응관계를 이용하여, 명제 1에 대해 보충설명을 하자면, $\pi\colon A\to A/J$를 자연스러운 준동형이라고 할 때, $I_1+J=\pi^{-1}(\pi(I_1))$이므로2, $A$의 $J$를 포함하는 아이디얼 $(I_1+J)\cap(I_2+J)$ 은 $A/J$의 아이디얼 $\pi(I_1)\cap\pi(I_2)$에 대응하는 아이디얼이라고 볼 수 있다. 따라서 명제 1에 의하여 $\pi(I_1)\cap\pi(I_2)$는 $\pi(I_1\cap(I_2+J))$와 일치하는 아이디얼이라는 것은 알 수 있지만, $(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap I_2)+J$가 성립하리라는 보장은 없기 때문에, $\pi(I_1)\cap\pi(I_2)=\pi(I_1\cap I_2)$가 성립하리라는 보장 역시 없다.

$(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap I_2)+J$가 성립하지 않는 반례로는, $A=\SetC[x,y]$, $I_1=(x)$, $I_2=(y)$, $J=(x+y)$로 두면 된다. 실제로, $I_1+J=I_2+J=(x,y)$이므로, $(I_1+J)\cap(I_2+J)=(x,y)$이고, $I_1\cap I_2=I_1I_2=(xy)$, $(I_1\cap I_2)+J=(xy,x+y)$이다. $y$에 관한 차수를 관찰하면 $x\notin(xy,x+y)$인 것을 알 수 있으므로, $(I_1+J)\cap(I_2+J)\neq(I_1\cap I_2)+J$.

이 포스트에서는…

  • 아이디얼의 연산 $+$와 $\cap$ 사이에 모듈러 법칙이 성립하는 것을 보였다.
  • 가환환 $A$의 아이디얼 $I_1,I_2,J$에 대하여 $(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap I_2)+J$가 성립하지 않는 반례를 제시했다.

참고문헌

  • M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, “Introduction to Commutative Algebra”, Addison-Wesley, 1969.

  1. 결합법칙의 약한 형태라고 볼 수도 있다.↩︎

  2. 일반적인 준동형에 의한 아이디얼의 역상은 아이디얼이다. 또한, 전사 준동형에 의한 아이디얼의 상은 아이디얼이다. 따라서 우변이 아이디얼이라는 것은 바로 알 수 있다. $I_1+J$가 $J$를 포함하는 아이디얼이므로 $I_1+J=\pi^{-1}(\pi(I_1+J))=\pi^{-1}(\pi(I_1))$로 등호가 성립하는 것 역시 비교적 쉽게 알 수 있다.↩︎

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