Young 부등식

Young 부등식

정리 1(Young 부등식). $1/p + 1/q = 1$을 만족하는 파라미터 $p,q\in (1,\infty)$와, 실수 $a,b\geq 0$에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.

$$ ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} $$

또한, 등호는 $a^p=b^q$인 경우에 한하여 성립한다. —

증명. $A \coloneqq a^p$, $B \coloneqq b^q$, $\theta \coloneqq 1/p$ 로 두자. 여기서, $A = 0$ 혹은 $B = 0$인 경우에 대해서는 부등식이 성립하는 것이 분명하므로, $A, B>0$인 경우만을 생각하자.

우선, 주어진 조건에 의하여 $1/q = 1-\theta$이다. 또한, $\theta = 1/p \in (0,1)$이므로, $A\neq B$라면, $\log x$는 좁은 의미로 오목한 함수이므로12,

$$ \log A^\theta B^{1-\theta} = \theta\log A + (1-\theta)\log B < \log (\theta A + (1-\theta)B ) $$

가 성립한다. 따라서,

$$ ab = A^\theta B^{1-\theta} < \theta A + (1-\theta)B = \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} $$

임을 알 수 있다. 또한, $A=B$일 때 $ab = a^p/p + b^q/q$가 성립하는 것은 자명하므로, 부등식의 등호가 성립하는 경우는 $a^p = A = B = b^q$일 때에 한하는 것을 알 수 있다. $\square$

별도의 증명. $b\geq 0$를 고정하여, $f(a) \coloneqq ({a^p}/{p}+{b^q}/{q})-ab$라고 정의하자. 그렇다면, $p>1$로부터, $f'(a) = a^{p-1}-b$를 얻으므로, $a=b^{{1}/(p-1)}$, 즉 $a^p = b^q$ 일 때 최솟값 $0$를 얻는다는 것을 알 수 있다. $\square$

. 사실, $p,q\in (1,\infty)$로 둘 때, $M,N>0$ 이 존재하여, 모든 $a,b\geq 0$ 에 대하여 $ab\leq Ma^p+ Nb^q$ 이 성립한다면, ${1}/{p}+{1}/{q} = 1$ 가 성립한다. 따라서, ${1}/{p}+{1}/{q}=1$ 은 $M,N>0$ 이 존재하여, 모든 $a,b\geq 0$ 에 대하여 $ab\leq Ma^p+ Nb^q$ 일 필요조건이다.

만약, $M,N>0$ 이 존재하여 모든 $a,b\geq 0$ 에 대하여 $ab\leq Ma^p+ Nb^q$ 인 동시에, ${1}/{p}+{1}/{q} \neq 1$ 이라고 가정한다면, $(p-1)(q-1)\neq 1$ 이 성립하는 것을 알 수 있다. 또한 모든 $a,b\geq 0$ 에 대하여 $Nb^q \geq ab-Ma^p$ 가 성립할 것이므로, $t>0$ 으로 두어, $a = t$, $b = pMt^{p-1}$ 을 대입하면, 임의의 $t>0$ 에 대하여 $N(pM)^q\cdot t^{(p-1)q} = N(pMt^{p-1})^q\geq pMt^p – Mt^p = (p-1)Mt^p$ 가 성립함을 알 수 있다. 여기서 $p-1>0$이므로, $\frac{N(pM)^q}{(p-1)M}\geq t^{p-(p-1)q} = t^{1-(p-1)(q-1)}$가 성립, $t^{1-(p-1)(q-1)}$이 $t>0$에서 위로 유계임을 알 수 있다. 하지만, 가정으로부터 $1-(p-1)(q-1) \neq 0$, $t^{1-(p-1)(q-1)}$은 $t>0$에서 유계이지 않으므로, 이는 모순이다. 따라서 ${1}/{p} + {1}/{q} = 1$. —

$p = q = 2$인 경우에 한정하면, 다음 따름정리를 얻는다.

따름정리 2. 실수 $a,b$에 대하여 $2ab \leq a^2 + b^2$가 성립한다. 또한 등호는 $a=b$에 한하여 성립한다. —

이 포스트에서는…

  • Young 부등식이 성립하는 것을 보였다.

참고문헌

  • 杉浦 光夫,『解析入門 I』,東京大学出版会,1980.
  • 松坂 和夫,『集合・位相入門』,岩波書店,1968.

  1. $\SetR$의 구간 $I$에서 정의된 실함수 $f(x)$가 오목한concave 함수란, 임의의 $a,b\in I$, $t\in (0,1)$에 대하여, $f(ta + (1-t)b) \geq tf(a) + (1-t)f(b)$가 성립하는 함수를 의미한다. 특히, $f(ta + (1-t)b) > tf(a) + (1-t)f(b)$가 성립한다면, $f(x)$는 좁은 의미로 오목strictly concave하다고 한다. 부등식의 방향이 반대인 경우, 각각 볼록한convex 함수, 좁은 의미로 볼록한strictly convex 함수라고 한다.↩︎

  2. $\log x$가 좁은 의미로 오목한 함수라는 것은, $x>0$일 때 $(\log x)”= -1/x^2 < 0$이 성립하는 것과, $\log x$의 2차까지의 Taylor 전개를 이용하여 쉽게 보일 수 있다.↩︎

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