군의 작용, Cayley 정리

군의 작용의 정의

정의 1(군의 작용). $G$를 군, $X$를 집합이라고 할 때, 사상 $\phi: G\times X \to X$가 다음 조건을 만족한다면, $\phi$를 $G$의 왼쪽 작용(action)이라고 한다.

  1. 임의의 $x\in X$에 대하여, $\phi(1_G, x) = x$.
  2. 임의의 $x\in X$, $g,h\in G$에 대하여, $\phi(g, \phi(h, x)) = \phi(gh, x)$.

2의 조건에서 $\phi(g, \phi(h, x)) = \phi(gh, x)$ 대신 $\phi(g, \phi(h, x)) = \phi(hg, x)$를 만족한다면, $\phi$를 $G$의 오른쪽 작용이라고 한다. 또한, $\phi(g,x)$를 왼쪽 작용의 경우 $g\cdot x$, 오른쪽 작용의 경우 $x\cdot g$ 와 같이 쓰기도 한다. —

이후부터는 별도의 언급이 없는 한, 작용은 왼쪽 작용을 의미하는 것으로 한다.

예 1. 군 $G$에 대하여, $X=G$라 하고, $g\in G$, $x\in X$에 대하여 $g\cdot x= gx$라고 정의하면, 이는 작용을 이룬다. 실제로, $1_G\cdot x = 1_Gx = x$이고, $g,h\in G$에 대하여, $g\cdot(h\cdot x) = g\cdot(hx) = ghx = (gh)\cdot x$가 성립한다. —

예 2(공역작용). 군 $G$에 대하여 $X=G$라 하고, $g\in G$, $x\in X$에 대하여 $g\cdot x = gxg^{-1}$이라고 정의하면, 이는 작용을 이룬다. 실제로, $1_G\cdot x = 1_Gx1_G^{-1} = x$이고, $g,h\in G$에 대하여 $g\cdot (h\cdot x)= g\cdot(hxh^{-1}) = ghxh^{-1}g^{-1} = ghx(gh)^{-1} = (gh)\cdot x$ 가 성립한다. —

예 3(선형작용). $G = \text{GL}_n(\SetR)$, $X=\SetR^2$이라고 할 때, $A\in G$, $\vec x\in X$ 에 대하여 $A\cdot \vec x = A\vec x$로 정의하면, 이는 작용을 이룬다. —

충실한 작용

명제 1. 작용 $\phi\colon G\times X\to X$가 주어졌을 때, $g\in G$에 대하여, 사상 $\psi_g: X\ni x\mapsto \phi(g,x) \in X$은 전단사 사상이다. —

증명. $\psi_{g^{-1}}: X\ni x\mapsto \phi(g^{-1}, x) \in X$로 사상 $\psi_{g^{-1}}$을 정의하면, $\psi_{g^{-1}}\circ\psi_g = \text{id}_X$, 동시에 $\psi_g\circ \psi_{g^{-1}} = \text{id}_X$가 성립하는 것을 정의 1의 조건 2로부터 확인할 수 있다. 따라서 $\psi_{g^{-1}}$은 $\psi_g$의 역사상, $\psi_g$는 전단사 사상임을 알 수 있다. $\square$

위 명제에서 사용한 기호를 재활용하여, $\Phi: G\ni g\mapsto \psi_g\in\text{Bij}(X)$ 로 사상 $\Phi$를 정의하면, $\Phi$는 준동형이라는 것을 쉽게 확인할 수 있다. (연습문제) 역으로, 임의의 $G\to \text{Bij}(X)$인 준동형이 주어졌을 때, 이에 대응하는 $G$의 $X$에 대한 작용이 존재한다는 사실 역시 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 $G$의 $X$에 대한 작용과, $G\to\text{Bij}(X)$인 준동형 사이에는 일대일 대응의 관계가 존재함을 알 수 있다. 이는, 군의 작용을 $G\to\text{Bij}(X)$인 준동형을 이용하여 정의하는 것이 가능함을 의미하는데, 단사인 준동형 $\Phi: G\to\text{Bij}(X)$에 의하여 정의되는 $G$의 $X$에 대한 작용을 충실한 작용(faithful action)이라고 한다.

Cayley 정리

군 $G$가 유한집합인 $X = \left\{ x_1,\ldots, x_n\right\}$에 작용한다고 하면, $i=1,\ldots, n$에 대하여 $x_{\rho(g)(i)} = g\cdot x_i$ 를 만족하는 $\rho(g)\in\mathfrak S_n$가 유도된다는 것을 명제 1로부터 알 수 있다. 이로부터 얻어지는 $\rho: G\to \mathfrak S_n$을 작용의 치환표현이라고 한다.

문제 1. 치환표현 $\rho: G\to \mathfrak S_n$이 준동형임을 보여라. —

정리 2(Cayley). 위수 $n$인 유한군 $G$에 대해, 단사 준동형 $\rho: G \to\mathfrak S_n$ 이 존재한다. —

증명. 예 1의 작용을 예 4에 적용하면, (준동형인) 치환표현 $\rho: G\to\mathfrak S_n$을 얻는다. 여기서 $\rho(g) = \text{id}$이라고 하면, 임의의 $x\in G$에 대하여 $g\cdot x = x$, 따라서 $g = g\cdot 1_G = 1_G$, $\text{Ker}(\rho) =\left\{ 1_G \right\}$ 이므로 $\rho$는 단사. $\square$

이 포스트에서는…

  • 군 $G$와 집합 $X$가 주어졌을 때, 군의 (왼쪽, 오른쪽) 작용 $\phi: G\times X \to X$을 정의했다.
  • 작용을 $\Phi: G\to \text{Bij}(X)$의 형태를 이용하여 정의할 때, $\Phi$가 단사인 작용을 충실한 작용으로 정의했다.
  • 작용의 치환표현을 이용하여, 위수 $n$인 유한군 $G$에 대해, $G\to \mathfrak S_n$ 인 단사 준동형이 존재한다는 Cayley 정리를 증명했다.

부분군, 군의 생성

부분군의 정의

정의 1. $G$의 부분집합 $H\subset G$가, $G$의 연산 (정확히는 $G$의 연산의 제한)에 의하여 군을 이룰 때, $H$는 $G$의 부분군(subgroup)이라고 한다. —

명제 1(부분군의 판별). 군 $G$에 대하여 $H \subset G$가 부분군일 필요충분조건은 다음을 모두 만족하는 것이다.

  1. $1_G\in H$.
  2. $a,b\in H$ 이면, $ab\in H$.
  3. $a\in H$이면, $a^{-1}\in H$. —

증명. 군 $H$가 $G$의 부분군이라고 하면, 조건 2를 만족하는 것은 분명하다. 또한, $H$의 단위원은 당연히 $G$의 단위원이 되고, $G$의 단위원은 유일하므로, $1_G\in H$이다. 따라서 조건 1이 성립하고, 이에 따라, 조건 3도 성립.

역으로 $G$의 부분집합 $H$이 조건 1, 2, 3을 만족한다고 하자. $G$의 연산을 $\phi: G\times G\to G$라고 할 때, 조건 2에 의하여 $\phi(H\times H) \subset H$, $\phi|_{H\times H}$가 $H$의 연산으로서 올바르게 정의됨을 알 수 있다. 이 연산에 대해서 결합법칙, 단위원, 역원의 존재가 성립한다는 것은 남은 조건 1, 3으로부터 알 수 있으므로 $H$는 $G$의 부분군이다. $\square$

문제 1. 군 $G$와 그 부분군 $H,K\subset G$에 대하여 $H\cap K$ 역시 $G$의 부분군임을 보여라. —

부분집합에 의하여 생성되는 군

정의 2. 군 $G$와 그 부분집합 $S\subset G$에 대하여, $x_1^{\pm 1}\cdots x_n^{\pm 1}$ 의 형태(단, $n$은 임의.)로 나타내어지는 $G$의 원소 전체의 집합을 $\langle S \rangle$과 같이 쓴다. $S = \{x_1, \ldots, x_n\}$일 때, $\langle S\rangle$을 $\langle x_1,\ldots, x_n\rangle$과 같이 적기도 한다. —

명제 2. 군 $G$와 $S\subset G$에 대하여:

  1. $\langle S\rangle$은 $G$의 부분군이다.
  2. $H\subset G$가 $G$의 부분군, 동시에 $S\subset H$라면, $\langle S \rangle\subset H$. 바꾸어 말하면, $\langle S\rangle$은 $S$를 부분집합으로 하는 $G$의 최소의 부분군이다. —

증명.

  1. 위의 명제 1로부터 간단하게 확인할 수 있다. (연습문제)
  2. 역시 $\langle S \rangle$가 $H$의 부분군임을 명제 1을 이용하여 확인하면 된다. (연습문제) $\square$

이에 따라, 군 $G$와 $S\subset G$에 대하여 $\langle S \rangle$를 $S$에 의하여 생성되는$G$의 부분군이라고 한다.

따름정리 3. 군 $G$에 대하여 $S_1\subset S_2\subset G$라면, $\langle S_1\rangle \subset \langle S_2\rangle$ 이다. —

증명. $S_1 \subset S_2 \subset \langle S_2 \rangle$이고, 명제 2에 의하여, $\langle S_1 \rangle\subset \langle S_2 \rangle$. $\square$

정의 3. 하나의 원소에 의하여 생성되는 군을 순회군(cyclic group)이라고 한다. 즉, 군 $G$에 대하여 $x\in G$가 존재하여 $G = \langle x\rangle = \left\{x^n \mid n\in\mathbb{Z} \right\}$이라면, $G$는 순회군이다. —

예 1. 덧셈에 대하여 $\mathbb{Z} = \left\{ n\cdot 1 \mid n\in \mathbb{Z}\right\} = \langle 1 \rangle$이므로, $\mathbb{Z}$는 순회군이다. 마찬가지로, $n\mathbb{Z} = \langle n \rangle$이므로, $n\mathbb{Z}$ 역시 순회군. —

이 포스트에서는…

  • 군의 부분군을 정의했다.
  • 군의 부분집합이 주어졌을 때, 그 부분집합에 의하여 생성되는 부분군을 정의했다. 또한 그 부분집합으로부터 생성된 군이 해당하는 부분집합을 포함하는 최소의 부분군임을 보였다.
  • 하나의 원소로부터 생성되는 군으로 순회군을 정의했다.

군의 정의, 대칭군, 일반선형군

군의 공리

$X$를 집합이라고 하자. 여기서 $\phi: X\times X\to X$와 같이 주어진 사상 $\phi$를 $X$의 연산이라고 하며, 의미상 혼돈의 여지가 없다면 $\phi(a,b)$를 $ab$로 쓰기도 한다. 일반적인 정수, 유리수, 실수의 덧셈이나 곱셈은 각 집합에 주어진 연산의 하나라고 생각할 수 있다.

정의 1(군, abelian 군). 공집합이 아닌 집합 $G$에 연산이 주어지고, 그 연산이 다음 조건 1,2,3을 만족한다면, $G$는 군(group)이라고 한다. 특히, 조건 4를 만족하는 군을 가환군, 혹은 abelian 군이라고 한다.

  1. 결합법칙 – 임의의 $a,b,c\in G$에 대하여 $(ab)c = a(bc)$.
  2. 단위원의 존재 – $e\in G$가 존재하여, 임의의 $a\in G$에 대하여 $ea = ae = a$. 이 때, $e$를 단위원(identity element)라고 한다.
  3. 역원의 존재 – 임의의 $b\in G$에 대하여, $b\in G$가 존재하여 $ab = ba = e$. 이 때, $b$를 $a$의 역원(inverse element)라고 한다.
  4. 교환법칙 – 임의의 $a,b\in G$에 대하여, $ab = ba$. —

명제 1. $G$를 군이라고 하자.

  1. $G$의 단위원은 유일하다.
  2. $G$의 각 원소의 역원은 유일하다. —

증명.

  1. $e, e’$이 $G$의 단위원이라고 하면, $e = ee’ = e’$.
  2. $b, b’$가 $a\in G$의 역원이라고 하면, $b = bab’ = b’$. $\square$

이 명제에 따라서, 앞으로 별 다른 언급이 없는 한, $1_G$를 $G$의 단위원, 그리고 $a^{-1}$을 $a\in G$의 역원으로 쓰기로 한다. 또한, 편의상, $a\in G$에 대하여 $a^0 = 1_G$, 그리고, $n\in \SetZ_{>0}$ 에 대하여, $a^{n} = a\cdots a$ ($a$는 $n$개), $a^{-n} = (a^n)^{-1}$으로 쓰기로 한다. 이 경우, 임의의 $m,n\in\SetZ$에 대하여, $a^ma^n = a^{m+n} = a^na^m$, $(a^m)^n = a^{mn} = (a^n)^m$이 성립한다.

문제. $G$를 군이라고 하자.

  1. $a,b\in G$에 대하여 $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$임을 보여라.
  2. $a\in G$에 대하여 $(a^{-1})^{-1} = a$임을 보여라. —

정의 2. 군 $G$에 대하여, 그 군의 크기 혹은 농도 $|G|$를 $G$의 위수(order)라고 한다. 위수가 유한인 군을 유한군, 그렇지 않은 군을 무한군이라고 한다. —

군의 예 – 대칭군, 일반선형군

예 1. $G = \left\{ e \right\}$에 연산을 $\phi: (e,e)\mapsto e$와 같이 부여하면, 이는 원소 1개만을 가지는 군을 이룬다. 이러한 군을 자명한 군(trivial group)이라고 한다. —

예 2. $\SetZ$, $\SetQ$, $\SetR$, $\SetC$는 통상적인 덧셈에 의하여 가환군을 이룬다. 단위원은 $0$, 각 집합의 원소 $x$의 역원은 $-x$가 된다. —

예 3. $\SetQ\setminus \left\{ 0 \right\}$, $\SetR\setminus \left\{ 0 \right\}$, $\SetC\setminus \left\{ 0 \right\}$는 통상적인 곱셈에 의하여 가환군을 이룬다. 단위원은 $1$, 각 집합의 원소 $x$의 역원은 $1/x$가 된다. 그러나 $\SetZ\setminus \left\{ 0 \right\}$는 통상적인 곱셈에 의하여 군을 이루지 않는다. 예를 들어, $2\in\SetZ$에 대해서는 역원이 존재하지 않는다. —

예 4. $X$를 집합이라고 할 때, 전단사 사상 $\sigma: X\to X$를 $X$의 치환이라고 한다. $\mathfrak S$를 $X$의 치환 전체의 집합이라고 하고, $\sigma,\tau\in\mathfrak S$ 에 대하여, $\sigma\tau = \sigma\circ\tau$로 연산을 정의하면, $\mathfrak S$는 군의 정의를 만족하는 것을 알 수 있다. 여기서 $\mathfrak S$를 $X$의 치환군이라고 하며, 특히 $X_n = \left\{ 1, 2,\dots, n\right\}$ 이라고 할 때, $X_n$의 치환군 $\mathfrak S_n$을 $n$차의 대칭군(symmetry group)이라고 한다. $\mathfrak S_n$은 위수 $n!$의 유한군임을 간단한 계산으로부터 확인할 수 있다. —

$1\leq i_1, \ldots, i_m\leq n$을 서로 다른 정수라고 하고, $\sigma(i_1) = i_2,\sigma(i_2) = i_3, \ldots, \sigma(i_{m-1}) = i_m, \sigma(i_m) = i_1$ 을 만족, $\left\{ i_1,\ldots,i_m \right\}$에 속하지 않는 $j$에 대해서는 $\sigma(j) =j$인 $\sigma \in \mathfrak S_n$을 길이 $m$의 순회치환이라고 하며, $\sigma = (i_1i_2\cdots i_m)$과 같이 나타낸다. 특히 길이가 $2$인 순회치환을 호환이라고 한다.

예 5. 실수 성분의 $n\times n$ 가역행렬 전체의 집합을 $\text{GL}_n(\SetR)$이라고 하자. 그렇다면, $\text{GL}_n(\SetR)$은 행렬의 곱을 연산으로 하여 군을 이루는 것을 확인할 수 있다. 실수 성분이 아닌, 복소수 성분의 $n\times n$ 가역행렬 전체의 집합 $\text{GL}_n(\SetC)$ 역시 군을 이루며, $\text{GL}_n(\SetR)$, $\text{GL}_n(\SetC)$ 를 일반선형군이라고 한다. —

이 포스트에서는…

  • 군의 공리 – 결합법칙, 단위원의 존재, 역원의 존재 – 를 이용하여 을, 가환법칙이 성립하는 군으로 abelian 군을 정의했다.
  • 군 $G$의 위수를 군의 크기 혹은 농도 $|G|$로 정의했다.
  • 군의 대표적인 예로 대칭군일반선형군을 제시했다.