체, 정역

정의 1. $A$를 자명하지 않은 가환환이라고 하자.

  1. $a\in A$에 대하여, $b\in A\setminus \left\{ 0 \right\}$가 존재하여 $ab = 0$라면, $a$는 $A$의 영인자(zero divisor)라고 한다1.
  2. $A$가 $0$ 이외의 영인자를 가지지 않는다면, $A$는 정역(integral domain)이라고 한다. —

따라서, 정역 $A$와 임의의 $a,b\in A$에 대하여, $a,b\neq 0$라면 $ab \neq 0$이다.

정의 2. $A$가 자명하지 않은 가환환이고, $0$ 이외의 원소가 모두 단원이라면, $A$를 체(field)라고 한다. —

명제 1. 단원은 영인자가 아니다. —

증명. $A$를 자명하지 않은 가환환, $a\in A$를 단원이라고 하자. 만약, $a\in A$가 영인자라고 하면, $b\neq 0$인 $b\in A$가 존재하여 $ab=0$이다. 하지만, $a$는 단원이므로, $b = a^{-1}ab = a^{-1}0 = 0$ 이므로 가정에 모순. $\square$

따름정리 2. 체는 정역이다. —

예 1. $A = \SetZ/4\SetZ$라고 하자. $\overline{0}\neq\overline{2}\in A$의 경우, $\overline{2}\times\overline{2} = \overline{0}$이므로 $\overline{2}$는 영인자이다. 따라서 $A$는 정역이 아니다. —

이 포스트에서는…

  • 자명하지 않은 가환환 $A$에 대하여, $b\in A\setminus \left\{ 0 \right\}$가 존재하여 $ab = 0$인 원소 $a\in A$를 $A$의 영인자로 정의했다.
  • $0$ 이외의 영인자를 가지지 않는, 자명하지 않은 가환환을 정역이라고 정의했다.
  • $0$ 이외의 원소가 모두 단원인, 자명하지 않은 가환환을 라고 정의했다.
  • 단원은 영인자가 아님을 보였다. 따라서, 체는 정역임을 보였다.

  1. $A$가 비가환환인 경우, $a\in A$에 대하여 $b\in A\setminus\left\{ 0 \right\}$가 존재하여 $ab = 0$라면, $a$를 왼쪽 영인자라고 한다. $c\in A\setminus\left\{ 0 \right\}$가 존재하여 $ca = 0$라면, $a$를 오른쪽 영인자라고 한다.↩︎

환의 정의

정의 1(환, 가환환). 집합 $A$에 두 연산 $+$와 $\times$가 주어졌다고 하자. ($a\times b$를 $ab$와 같이 쓰기도 한다.) 두 연산에 대하여 다음 조건 1,2,3,4를 만족한다면, $A$는 환(ring)이라고 한다1. 특히, 조건 5를 만족하는 환을 가환환(commutative ring), 그렇지 않은 환을 비가환환이라고 한다.

  1. 가법군 – $A$는 $+$에 관하여 가환군이다2.
  2. 곱의 결합법칙 – 임의의 $a,b,c\in A$에 대하여 $(ab)c = a(bc)$.
  3. 곱의 단위원의 존재 – $1\in A$가 존재하여, 임의의 $a\in A$에 대하여 $1a = a1 = a$3.
  4. 분배법칙 – 임의의 $a,b,c\in A$에 대하여 $a(b+c) = ab + ac$, $(a+b)c = ac +bc$.
  5. 곱의 가환법칙 – 임의의 $a,b\in A$에 대하여 $ab = ba$. —

$a\in A$에 대하여, $ab = ba = 1$인 $b\in A$가 존재한다면, $a$를 가역원 혹은 단원(unit)이라고 하고, $b$를 $a$의 역원이라고 한다4. $A$의 단원 전체를 $A^{\times}$ 라고 하면, $A^{\times}$는 $\times$에 대하여 $1$을 단위원으로 하는 군을 이루는 것을 확인할 수 있다(연습문제). 이를 $A$의 승법군이라고 한다.

예 1. $A = \left\{ 0 \right\}$에 연산을 $0+0 = 0$, $0\times 0 = 0$와 같이 부여하면 이는 원소 1개만을 가지는 환을 이룬다. 이러한 환을 자명환(trivial ring)이라고 한다. —

예 2. $\SetZ, \SetQ, \SetR, \SetC$는 통상적인 덧셈과 곱셈에 의하여 가환환을 이룬다. 덧셈의 단위원은 모두 $0$, 곱셈의 단위원은 $1$이다. —

문제 1. $\SetZ^{\times}, \SetQ^{\times}, \SetR^{\times}, \SetC^{\times}$ 각각의 원소를 모두 구하여라. —

예 3. 실수 성분의 $n\times n$ 행렬의 전체를 $\text{M}_n(\SetR)$이라고 하면, 일반적인 행렬의 덧셈과 곱셈에 의하여 $\text{M}_n(\SetR)$은 비가환환을 이룬다. 또한 정의에 의하여 $\text{M}_n(\SetR)^{\times} = \text{GL}_n(\SetR)$ 임을 알 수 있다. —

보조정리 1. $A$를 환이라고 하자. 임의의 $a\in A$에 대하여, $0a = a0 =0$이다. —

증명. 분배법칙에 의하여, $0a = (0+0)a = 0a + 0a$, $0a = 0$이다. $a0 = 0$도 마찬가지. $\square$

명제 2. $A$를 환이라고 하자. 다음은 모두 동치이다.

  1. $A$는 자명환이다.
  2. $1=0$이다. —

증명. 자명환이면, $A$의 요소가 1개 뿐이므로 $1=0$인 것은 분명하다. 역으로 $1=0$이라고 하면, 보조정리 1에 의하여, 임의의 $a\in A$에 대해 $a = 1a = 0a = 0$. 따라서 $A = \left\{ 0 \right\}$. $\square$

이 포스트에서는…

  • 가환환을 정의했다.
  • 환의 단원승법군을 정의했다.
  • 환 $A$에 대하여 $1 = 0$인 것이 $A$가 자명환인 것의 필요충분조건임을 보였다.

  1. 문헌에 따라서는 1,2,4를 만족하는 경우 $A$를 환이라고 하기도 한다. 여기에서는 1,2,3,4를 만족하는 경우만 $A$를 환이라고 하기로 한다.↩︎

  2. $A$의 $+$에 관한 단위원을 $0$ 혹은 $0_A$와 같이 쓰기로 한다. 또한, $a\in A$의 $+$에 관한 역원을 $-a$와 같이 쓰기로 한다. $+$ 기호와 동시에 사용하는 경우에는 $-$를 생략하여 $a + (-b)$를 $a-b$와 같이 쓰기도 한다.↩︎

  3. “군의 정의, 대칭군, 일반선형군”의 명제 1에서 보인 것처럼, $\times$에 관하여 단위원이 존재한다면 유일하다. 이에 따라, 환 $A$의 단위원을 $1$ 혹은 $1_A$ 와 같이 쓰기로 한다.↩︎

  4. 마찬가지로, 역원이 존재한다면 유일하다. 이에 따라, $a$가 역원이 존재한다면 이를 $a^{-1}$과 같이 쓰기로 한다.↩︎

위수 30인 군의 분류

문제 1.

  1. 위수 30인 군은 위수 15인 부분군을 가짐을 보여라.
  2. 위수 30인 군의 동형류를 분류하라. —

풀이.

1의 풀이.

$G$를 위수 30인 군이라고 하자. 그렇다면, $G$는 위수 3의 3-Sylow 부분군과, 위수 5의 5-Sylow 부분군을 갖는다. 3-Sylow 부분군의 개수는 1개 혹은 10개이고, 5-Sylow 부분군의 개수는 1개 혹은 6개임을 Sylow 정리에 의하여 알 수 있다. 3-Sylow 부분군이 10개, 동시에 5-Sylow 부분군이 6개 존재한다고 가정하면, 각 3-Sylow 부분군으로부터 위수 3인 원소가 2개씩, 20개가 존재하고1, 각 5-Sylow 부분군으로부터 위수 5인 원소가 4개씩, 24개가 존재한다. 하지만 $G$의 원소는 모두 30개이므로 이는 모순, 3-Sylow 부분군이 1개이거나 5-Sylow 부분군이 1개라는 것을 알 수 있다. 바꾸어 말하면 3-Sylow 부분군과 5-Sylow 부분군 중 적어도 하나는 정규부분군.

3-Sylow 부분군과 5-Sylow 부분군을 각각 $S_3$, $S_5$로 하나씩 택하면, $S_3\vartriangleleft G$이거나, $S_5\vartriangleleft G$이다. 또한, $S_3\cap S_5$의 위수는 $\text{gcd}(|S_3|, |S_5|) = 1$의 약수이므로 1이고, $S_3\cap S_5 =\left\{ 1_G \right\}$. 따라서, 군의 제2동형정리에 의하여, $S_3S_5$은 위수 $|S_3|\cdot|S_5| = 15$의 부분군임을 알 수 있다.

2의 풀이.

1의 결과에 의하여, 위수 30인 군 $G$는 위수 15인 부분군 $N$을 가진다. $N$은 $G$의 지수 2인 부분군이므로 정규부분군이다2. 그리고 $G$의 위수 2인 2-Sylow 부분군을 $H$라고 하면, 1에서 $S_3\cap S_5 = \left\{ 1_G \right\}$인 것을 보인 것처럼, $H\cap N = \left\{ 1_G \right\}$이고, $|H|\cdot|N| = 30 = |G|$이므로, 반직곱을 이용한 군의 분해에 의하여, $G$의 내부자기동형에 의하여 유도되는 준동형 $\Phi\colon H\ni h\mapsto\phi_h\in\text{Aut}(N)$이 존재하여, $G \cong N\rtimes H$임을 알 수 있다. 따라서 준동형 $\Phi$로 적합한 것들을 모두 구하면 된다.

$H$는 위수 2의 부분군이다. 따라서 $H = \left\{ 1_G, h \right\}$라고 할 때, $\Phi(h) = \phi_h \colon n\mapsto hnh^{-1}$를 $\text{Aut}(N)$으로부터 하나 정하면, $\Phi$가 특정된다. 이 때, $h$는 위수 2인 원소이므로, $\phi_h$의 위수는 1이거나 2이다. $N$은 위수 15인 순회군이므로, $\text{Aut}(N) \cong (\SetZ/15\SetZ)^\times$. 위수 1이거나 2인 $(\SetZ/15\SetZ)^\times$의 원소는 $\overline 1, \overline 4, \overline{11}, \overline{14}$이다.

$$ \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c:c:c:c:c} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} \\ \hline \overline{0} & \overline{0} & \overline{6} & \overline{12} & \overline{3} & \overline{9} \\ \hdashline \overline{1} & \overline{10} & \mathbf{\overline{1}} & \overline{7} & \overline{13} & \mathbf{\overline{4}} \\ \hdashline \overline{2} & \overline{5} & \mathbf{\overline{11}} & \overline{2} & \overline{8} & \mathbf{\overline{14}} \end{array} $$

동형에 따라, $\phi_h$는 다음 중 하나에 해당하는 것을 알 수 있다.

  1. $\phi_h(n) = n$.
  2. $\phi_h(n) = n^4$.
  3. $\phi_h(n) = n^{11}$.
  4. $\phi_h(n) = n^{14}$.

각각의 경우에 대응하는 동형류를 구하면:

  1. $\phi_h(n) = n$인 경우: $\Phi$는 자명한 준동형, 따라서 $G \cong N\rtimes H = N\times H \cong \SetZ/30\SetZ$.
  2. $\phi_h(n) = n^4$인 경우: $N = \SetZ/3\SetZ\times\SetZ/5\SetZ$로 보자. 이 때, $\SetZ/3\SetZ$과 $\SetZ/5\SetZ$는 각각 직곱에 의한 $N$의 정규부분군으로 생각할 수 있고, 특히, $N$의 생성원을 $x$라고 하면, $\SetZ/3\SetZ$의 생성원은 $x^5$, $\SetZ/3\SetZ$의 생성원은 $x^3$이라고 볼 수 있다. 여기서, $\phi_h(x^5) = (x^5)^4 = x^5$이고, $\phi_h(x^3) = (x^3)^4 = (x^3)^{-1}$이므로, 다음과 같은 동형이 성립한다3.

$$ N\rtimes H = (\SetZ/3\SetZ\times\SetZ/5\SetZ)\rtimes H = \SetZ/3\SetZ \times (\SetZ/5\SetZ\rtimes H) \cong \SetZ/3\SetZ \times D_{10}. $$

  1. $\phi_h(n) = n^{11}$인 경우: 2와 마찬가지로, $\phi_h(x^5) = (x^5)^{11} = (x^5)^{-1}$, $\phi_h(x^3) = (x^3)^{11} = x^3$이 성립하므로, 다음과 같은 동형이 성립.

$$ N\rtimes H = (\SetZ/3\SetZ\times\SetZ/5\SetZ)\rtimes H = \SetZ/5\SetZ \times (\SetZ/3\SetZ\rtimes H) \cong \SetZ/5\SetZ \times D_{6}. $$

  1. $\phi_h(n) = n^{14}$. 모든 $n\in N$에 대하여 $n^{15} = 1_G$이므로, $\phi_h(n) = n^{14} = n^{-1}$. 따라서, 다음과 같은 동형이 성립.

$$ N\rtimes H \cong D_{30}. $$

$\SetZ/30\SetZ, \SetZ/3\SetZ\times D_{10}, \SetZ/5\SetZ\times D_6, D_{30}$는 서로 동형이지 않은것을 확인하는 것은 쉽다.

  • 주어진 군 중에서 $\SetZ/30\SetZ$는 유일한 abelian군이므로, 나머지 셋과 동형이 아니다.
  • $\SetZ/3\SetZ\times D_{10}$의 중심에는 위수 3인 원소가 존재하지만 위수 5인 원소는 존재하지 않는다.
  • $\SetZ/5\SetZ\times D_6$의 중심에는 위수 5인 원소가 존재하지만 위수 3인 원소는 존재하지 않는다.
  • $D_{10}$의 중심에는 위수 3인 원소, 위수 5인 원소 모두 존재하지 않는다.

따라서, 위수 30인 군은 $\SetZ/30\SetZ, \SetZ/3\SetZ\times D_{10},\SetZ/5\SetZ\times D_6, D_{30}$ 중의 어느 하나와 동형이다. —

이 포스트에서는…

  • 위수 30인 군에는 위수 15인 부분군이 반드시 존재함을 보였다.
  • 위수 30인 군은 $\SetZ/30\SetZ, \SetZ/3\SetZ\times D_{10}, \SetZ/5\SetZ\times D_6, D_{30}$ 중의 어느 하나와 동형임을 보였다.

  1. 3은 소수이므로, 3-Sylow 부분군의 단위원을 제외한 원소는 위수 3이라는 것을 알 수 있다. 또한, $S_3$, $S_3’$을 $S_3\neq S_3’$인 3-Sylow 부분군이라고 할 때, $S_3 \cap S_3’\neq \left\{ 1_G \right\}$라고 가정하면, $x\neq 1_G$가 존재하여 $S_3 = \langle x \rangle = S_3’$이므로 모순. 따라서 $S_3 \cap S_3’= \left\{ 1_G \right\}$ 이므로, 이러한 결론을 얻는다. 5-Sylow 부분군에 대해서도 마찬가지.↩︎

  2. 정규부분군, 잉여군의 문제 1.↩︎

  3. $\SetZ/3\SetZ$과 $\SetZ/5\SetZ$가 $N$의 정규부분군이므로, $\phi_h$를 각각 제한하여 새로운 준동형 $\Phi_1\colon H\to\text{Aut}(\SetZ/3\SetZ)$, $\Phi_2\colon H\to\text{Aut}(\SetZ/5\SetZ)$를 유도할 수 있다. 이를 이용한 정의된 반직곱이라고 생각하면 2번째 등호가 성립하고 있음을 반직곱의 정의로부터 확인할 수 있다.↩︎