정규부분군, 잉여군

정규부분군의 정의

정의 1. $G$를 , $N$을 $G$의 부분군이라고 하자. 다음 조건은 모두 동치이며(연습문제), 이를 만족하는 부분군 $N$을 $G$의 정규부분군(normal subgroup)이라고 한다. $N$이 $G$의 정규부분군이라는 것을 $N \vartriangleleft G$와 같이 나타낸다.

  1. 임의의 $g\in G$, $n\in N$에 대하여 $gng^{-1} \in N$.
  2. 임의의 $g\in G$에 대하여 $gNg^{-1} \subset N$.
  3. 임의의 $g\in G$에 대하여 $gNg^{-1} = N$.
  4. 임의의 $g\in G$에 대하여 $gN = Ng$. 즉, 왼쪽 잉여류와 오른쪽 잉여류가 일치한다. —

예 1. $G$의 부분군 $\{1_G\}$와 $G$는 정규부분군이다. —

예 2. $G$가 abelian 군이라면, $G$의 임의의 부분군은 정규부분군이다. —

문제 1. $G$의 지수 2인 부분군 $H$는 정규부분군임을 보여라. (따라서, $A_n \vartriangleleft\mathfrak S_n$이다.) —

문제 2. 준동형 $\phi:G\to H$가 주어졌을 때, $\text{Ker}(\phi) \vartriangleleft G$ 임을 보여라. (따라서, $\text{SL}_n(\SetR) \vartriangleleft \text{GL}_n(\SetR)$이다.) —

잉여군의 정의

명제 1. 군 $G$와 그 정규부분군 $N$이 주어졌을 때, $\phi: G/N \times G/N \ni (g_1N, g_2N) \mapsto g_1g_2N \in G/N$은 well-defined인 사상이다. 또한, $\phi$를 연산으로 하여, $G/N$은 군을 이룬다. —

증명. $g_1N = g_1’N$, $g_2N = g_2’N$이라고 하자. $g_1’= g_1n_1$, $g_2’= g_2n_2$라고 하면, $g_1’g_2’= g_1n_1g_2n_2 = g_1g_2g_2^{-1}n_1g_2n_2$, 여기서, $N$은 정규부분군이므로, $g_2^{-1}n_1g_2n_2 \in N$. 따라서, $g_1g_2N = g_1g_2g_2^{-1}n_1g_2n_2N = g_1’g_2’N$, $\phi$는 well-defined인 사상이다.

$\phi$를 $G/N$ 상의 연산으로 보면,

  1. 임의의 $a,b,c\in G$에 의한, $aN, bN, cN\in G/N$에 대하여, $aN(bNcN) = aN(bcN) = (a(bc))N = ((ab)c)N = (abN) = cN = (aNbN)cN$.
  2. $N$은 $G/N$의 단위원이다.
  3. 임의의 $g\in G$에 의한, $gN\in G/N$에 대하여, $g^{-1}N$은 $gN$의 역원이다.

이상에 의하여 $G/N$은 군을 이룬다. $\square$

정의 2. 명제 1의 군 $G/N$을 $G$의 $N$에 의한 잉여군, 혹은 몫군(quotient group)이라고 한다. —

정의 3. 사상 $\pi: G \ni g \mapsto gN \in G/N$이 전사인 준동형인 것은 바로 알 수 있다. 이를 자연스러운 준동형 혹은 자연스러운 전사이라고 한다. —

이 포스트에서는…

  • 군 $G$와 그 부분군 $N$에 대하여, 임의의 $g\in G$, $n\in N$에 대해, $gng^{-1}\in N$ 일 때, $N$은 $G$의 정규부분군, $N\vartriangleleft G$와 같이 나타낸다고 정의했다.
  • 특히 $N\vartriangleleft G$일 때, 그 잉여류 $G/N$ 상에서 $g_1Ng_2N = g_1g_2N$과 같이 연산을 정의하여, $G/N$이 군을 이루는 것을 보였다.

정규부분군을 포함하는 부분군

정리 1. $N$을 $G$의 정규부분군이라고 하자. $\pi: G\to G/N$을 자연스러운 준동형, $X$를 $G/N$의 부분군의 집합, $Y$를 $N$을 포함하는 $G$의 부분군 전체의 집합이라고 두면, 다음 두 사상 $\phi$와 $\psi$가 존재하며,

  • $\phi: X \ni H \mapsto \pi^{-1}(H) \in Y$
  • $\psi: Y \ni K \mapsto \pi(K) \in X$

$\phi$와 $\psi$는 서로의 역사상이다. 따라서 $X$와 $Y$간에는 일대일 대응이 존재한다. —

증명. 먼저 $H\in X$에 대하여, $\pi^{-1}(H)\in Y$임을 보이자. $1_{G/N} \in H$ 이므로, $N = \pi^{-1}(\left\{ 1_{G/N} \right\}) \subset \pi^{-1}(H)$이다. 또한, $\pi$는 준동형, $H$는 $G/N$의 부분군이므로, $\pi^{-1}(H)$ 역시 $G$의 부분군임을 간단히 확인할 수 있다. (연습문제) 따라서 $\pi^{-1}(H) \in Y$, $\phi$는 올바르게 정의된 사상이다.

다음으로, $\psi$가 사상임을 보이자. $\phi$와 마찬가지로, 군 $G$의 $N$을 포함하는 부분군 $K\subset G$에 대하여 $\pi(K)\in X$, 즉 $\pi(K)$가 $G/N$의 부분군임을 보이면 된다. 실제로, $\pi|_K: K \to G/N$은 준동형이므로, $\pi(K) = \text{Im}(\pi|_K)$는 $G/N$의 부분군, 따라서 $\pi(K)\in X$임을 알 수 있다.

마지막으로, $\phi$와 $\psi$가 서로의 역사상임을 보이자.

  • 임의의 $H\in X$에 대하여 $(\psi\circ\phi)(H) = H$. i.e. $\pi(\pi^{-1}(H)) = H$. $\pi$가 전사이므로 등호가 성립한다.
  • 임의의 $K\in Y$에 대하여 $(\phi\circ\psi)(K) = K$. i.e. $K = \pi^{-1}(\pi(K))$.
    • $K\subset \pi^{-1}(\pi(K))$: 사상의 상과 역상의 기본적 성질.
    • $K\supset \pi^{-1}(\pi(K))$: $g\in\pi^{-1}(\pi(K))$라고 하면, $gN\pi(g)\in\pi(K)=K/N$, $k\in K$가 존재하여 $gN = kN$, $k^{-1}g\in N\subset K$. 따라서 $g = k(k^{-1}g)\in K$. $\square$

이 포스트에서는…

  • 군 $G$에 대하여 $N\vartriangleleft G$라고 하면, 잉여군 $G/N$의 부분군 전체의 집합 $X$와 $G$의 $N$을 포함하는 부분군 전체의 집합 $Y$ 간에 일대일 대응이 존재함을 보였다.
    • 구체적으로는, $\phi: X\ni H\mapsto \pi^{-1}(H) \in Y$, $\psi: Y\ni K \mapsto \pi(K) \in X$ 와 같은 사상이 존재하여, 두 사상이 서로의 역사상이므로 전단사라는 것을 보였다.

군의 제3동형정리, 준동형의 분해

정리 1(군의 제3동형정리). $G$에 대하여, $H\vartriangleleft G$, $N\vartriangleleft G$, $H\supset N$이라면, $\left( G/N \right)/ \left( H/N \right) \cong G/H$이다. —

증명.

  • 사상 $\phi: G/N \ni gN \mapsto gH \in G/H$ 가 well-defined인 사상임을 보이도록 하자. $g,g’\in G$에 대하여, $gN = g’N$일 때 $\phi(gN) = \phi(g’N)$이 성립하는지를 확인하면 된다. $gN=g’N$이라면, $g^{-1}g’\in N\subset H$이므로, $\phi(gN) = gH = g’H = \phi(g’N)$이 성립, $\phi$는 well-defined이다.
  • 다음으로, $\phi$가 준동형이라는 것을 보이자. $g_1, g_2\in G$, $g_1N, g_2N\in G/N$에 대하여, $\phi((g_1N)(g_2N)) = \phi(g_1g_2N) = g_1g_2H = (g_1H)(g_2H) = \phi(g_1N)\phi(g_2N)$ 이므로 $\phi$는 준동형이다.
  • 임의의 $gH \in G/H$에 대하여 $gN\in G/N$이 존재하여 $\phi(gN) = gH = X$이라는 것은 쉽게 알 수 있으므로, $\text{Im}(\phi) = G/H$.
  • 또한, $hN\in H/N$에 대하여 $\phi(hN) = hH = H$이므로, $H/N \subset \text{Ker}(\phi)$. 역으로 $g\in G$, $gN\in \text{Ker}(\phi)$라고 하면 $gH = \phi(gN) = H$이므로 $g\in H$, $gN\in H/N$, 따라서 $\text{Ker}(\phi) = H/N$이다. 이상과 준동형정리에 따라, $(G/N)/(H/N) = (G/N)/ \text{Ker}(\phi) \cong \text{Im}(\phi) = G/H$가 성립하는 것을 알 수 있다. $\square$

예 1. 제3동형정리에 의하여, $(\SetZ/12\SetZ)/(3\SetZ/12\SetZ)\cong \SetZ/3\SetZ$ 임을 쉽게 확인할 수 있다. —

준동형의 분해

명제 2. $\phi: G\to H$를 군의 준동형, $N\vartriangleleft G$이고 $\pi_N: G\to G/N$을 자연스러운 준동형이라고 할 때, 다음 두 조건은 동치이다.

  1. $N\subset \text{Ker}(\phi)$.
  2. $\phi = \psi_N\circ\pi_N$를 만족하는 준동형 $\psi_N: G/N\to H$가 존재한다. —

증명.

  • 1이면 2. 제3동형정리에서 사용한 준동형사상과 같은 준동형 $f: G/N\to G/\text{Ker}(\phi)$가 존재하는 것을 알 수 있다. 또한 준동형정리에 의하여 자연스러운 준동형 $\pi: G\to G/\text{Ker}(\phi)$이 주어졌을 때, $\phi = \psi\circ\pi$를 만족하는 (단사인) 준동형 $\psi: G/\text{Ker}(\phi)\to H$이 존재한다. 여기서 $\pi = f\circ\pi_N$가 성립하는 것은 정의로부터 알 수 있고, $\phi = \psi\circ\pi = \psi\circ f\circ\pi_N$ 가 성립하므로 $\psi_N = \psi\circ f$로 두면 된다.
  • 2이면 1. $\phi = \psi_N\circ\pi_N$를 만족하는 준동형 $\psi_N$가 존재한다고 가정하면, $N = \text{Ker}(\pi_N) \subset \text{Ker}(\phi)$. $\square$

이 포스트에서는…

  • 군 $G$와 $H, N \vartriangleleft G$, $H\supset N$을 만족하는 부분군 $H, N$이 주어질 때, 준동형 사상 $\phi: G/N \ni gN\mapsto gH \in G/H$에 준동형정리를 적용하여 제3동형정리, 즉 $(G/N)/(H/N) \cong G/H$가 성립함을 보였다.
  • 제3동형정리의 증명에서 사용한 것과 같은 사상을 이용하여, 준동형 $\phi: G\to H$와 $G$의 정규부분군 $N$, 그리고 자연스러운 준동형 $\pi_N: G\to G/N$이 주어질 때, $\phi = \psi_N\circ\pi_N$을 만족하는 준동형 $\psi_N$이 존재할 필요충분조건이 $N\subset \text{Ker}(\phi)$임을 보였다.