정의 1. $A$를 자명하지 않은 가환환이라고 하자.
- $a\in A$에 대하여, $b\in A\setminus \left\{ 0 \right\}$가 존재하여 $ab = 0$라면, $a$는 $A$의 영인자(zero divisor)라고 한다1.
- $A$가 $0$ 이외의 영인자를 가지지 않는다면, $A$는 정역(integral domain)이라고 한다. —
따라서, 정역 $A$와 임의의 $a,b\in A$에 대하여, $a,b\neq 0$라면 $ab \neq 0$이다.
정의 2. $A$가 자명하지 않은 가환환이고, $0$ 이외의 원소가 모두 단원이라면, $A$를 체(field)라고 한다. —
명제 1. 단원은 영인자가 아니다. —
증명. $A$를 자명하지 않은 가환환, $a\in A$를 단원이라고 하자. 만약, $a\in A$가 영인자라고 하면, $b\neq 0$인 $b\in A$가 존재하여 $ab=0$이다. 하지만, $a$는 단원이므로, $b = a^{-1}ab = a^{-1}0 = 0$ 이므로 가정에 모순. $\square$
따름정리 2. 체는 정역이다. —
예 1. $A = \SetZ/4\SetZ$라고 하자. $\overline{0}\neq\overline{2}\in A$의 경우, $\overline{2}\times\overline{2} = \overline{0}$이므로 $\overline{2}$는 영인자이다. 따라서 $A$는 정역이 아니다. —
이 포스트에서는…
- 자명하지 않은 가환환 $A$에 대하여, $b\in A\setminus \left\{ 0 \right\}$가 존재하여 $ab = 0$인 원소 $a\in A$를 $A$의 영인자로 정의했다.
- $0$ 이외의 영인자를 가지지 않는, 자명하지 않은 가환환을 정역이라고 정의했다.
- $0$ 이외의 원소가 모두 단원인, 자명하지 않은 가환환을 체라고 정의했다.
- 단원은 영인자가 아님을 보였다. 따라서, 체는 정역임을 보였다.
$A$가 비가환환인 경우, $a\in A$에 대하여 $b\in A\setminus\left\{ 0 \right\}$가 존재하여 $ab = 0$라면, $a$를 왼쪽 영인자라고 한다. $c\in A\setminus\left\{ 0 \right\}$가 존재하여 $ca = 0$라면, $a$를 오른쪽 영인자라고 한다.↩︎