Ring Theory – Archive

아이디얼 연산의 모듈러 법칙

명제 1(아이디얼 연산의 모듈러 법칙^modular law¹). $I_1,I_2,J$를 가환환 $A$의 아이디얼이라고 하면, $(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap(I_2+J))+J=((I_1+J)\cap I_2)+J$가 성립한다. —

증명. $(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap(I_2+J))+J$가 보여지면, $I_1$과 $I_2$의 순서를 바꾸는 것에 의하여 $(I_1+J)\cap (I_2+J)=((I_1+J)\cap I_2)+J$ 역시 보여지므로, $(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap(I_2+J))+J$만을 보이자.

$I_1+J, I_2+J\supset I_1\cap (I_2+J), J$이므로, $(I_1+J)\cap(I_2+J)\supset I_1\cap (I_2+J)+J$가 성립하는 것은 분명하다. 반대로, $x\in (I_1+J)\cap(I_2+J)$라고 하면, $x=y+z$인 $y\in I_1$과 $z\in J$가 존재한다. $y=x-z\in I_1\cap(I_2+J)$이므로, $x=y+z\in I_1\cap(I_2+J)+J$. $\square$

명제 1에 의하면, 가환환 $A$의 아이디얼 $I,J,K$에 대하여, $J\subset K$가 성립할 때, $(I+J)\cap K = (I\cap K)+J$가 성립한다. 즉, $I\subset K$ 이거나 $J\subset K$라면, $(I+J)\cap K=(I\cap K)+(J\cap K)$.

“아이디얼을 포함하는 아이디얼”에서 보인 것과 같은 대응관계를 이용하여, 명제 1에 대해 보충설명을 하자면, $\pi\colon A\to A/J$를 자연스러운 준동형이라고 할 때, $I_1+J=\pi^{-1}(\pi(I_1))$이므로², $A$의 $J$를 포함하는 아이디얼 $(I_1+J)\cap(I_2+J)$ 은 $A/J$의 아이디얼 $\pi(I_1)\cap\pi(I_2)$에 대응하는 아이디얼이라고 볼 수 있다. 따라서 명제 1에 의하여 $\pi(I_1)\cap\pi(I_2)$는 $\pi(I_1\cap(I_2+J))$와 일치하는 아이디얼이라는 것은 알 수 있지만, $(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap I_2)+J$가 성립하리라는 보장은 없기 때문에, $\pi(I_1)\cap\pi(I_2)=\pi(I_1\cap I_2)$가 성립하리라는 보장 역시 없다.

$(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap I_2)+J$가 성립하지 않는 반례로는, $A=\SetC[x,y]$, $I_1=(x)$, $I_2=(y)$, $J=(x+y)$로 두면 된다. 실제로, $I_1+J=I_2+J=(x,y)$이므로, $(I_1+J)\cap(I_2+J)=(x,y)$이고, $I_1\cap I_2=I_1I_2=(xy)$, $(I_1\cap I_2)+J=(xy,x+y)$이다. $y$에 관한 차수를 관찰하면 $x\notin(xy,x+y)$인 것을 알 수 있으므로, $(I_1+J)\cap(I_2+J)\neq(I_1\cap I_2)+J$.

이 포스트에서는…

아이디얼의 연산 $+$와 $\cap$ 사이에 모듈러 법칙이 성립하는 것을 보였다.
가환환 $A$의 아이디얼 $I_1,I_2,J$에 대하여 $(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap I_2)+J$가 성립하지 않는 반례를 제시했다.

참고문헌

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, “Introduction to Commutative Algebra”, Addison-Wesley, 1969.

결합법칙의 약한 형태라고 볼 수도 있다.↩︎
일반적인 준동형에 의한 아이디얼의 역상은 아이디얼이다. 또한, 전사 준동형에 의한 아이디얼의 상은 아이디얼이다. 따라서 우변이 아이디얼이라는 것은 바로 알 수 있다. $I_1+J$가 $J$를 포함하는 아이디얼이므로 $I_1+J=\pi^{-1}(\pi(I_1+J))=\pi^{-1}(\pi(I_1))$로 등호가 성립하는 것 역시 비교적 쉽게 알 수 있다.↩︎

아이디얼을 포함하는 아이디얼

정리 1. $A$를 비자명한 가환환, $I\subsetneq A$를 $A$의 아이디얼이라고 하자. $\pi\colon A\to A/I$를 자연스러운 준동형, $X$를 $A/I$의 아이디얼 전체의 집합, $Y$를 $I$를 포함하는 $A$의 아이디얼 전체의 집합이라고 하면, 다음 두 사상 $\phi$와 $\psi$가 존재하며,

$\phi\colon X\ni J\mapsto \pi^{-1}(J)\in Y$
$\psi\colon Y\ni K\mapsto \pi(K)\in X$

$\phi$와 $\psi$는 서로의 역사상이다. 따라서 $X$와 $Y$간에는 일대일 대응이 존재한다. —

증명. $A$를 abelian 군, $I$를 그 정규부분군으로 보면, “정규부분군을 포함하는 부분군”에서 보였듯이, $J\in X$에 대하여 $\pi^{-1}(J)$는 $A$의 $I$를 포함하는 부분군이라는 것을 알 수 있다. 또한, $K\in Y$에 대하여 $\pi(K)$ 역시 잉여군 $A/I$의 부분군이라는 것도 알 수 있으므로, $\pi^{-1}(J)$와 $\pi(K)$가 각각 $A$, $A/I$의 아이디얼이라는 것만 보이면 $\phi$, $\psi$에 의하여 $X$와 $Y$ 사이에 일대일 대응이 존재한다는 것을 확인할 수 있다.

$a\in A$, $x\in\pi^{-1}(J)$라고 하면, $\pi(ax)=\pi(a)\pi(x)\in J$이므로 $ax\in\pi^{-1}(J)$. 따라서 $\pi^{-1}(J)$은 아이디얼.
$\overline a\in A/I$, $\overline x\in\pi(K)$라고 하면, $\pi$는 전사이므로 $a\in A$, $x\in K$가 존재하여 $\pi(a)=\overline a$, $\pi(x)=\overline x$이다. $ax\in K$이므로 $\overline a\overline x=\pi(ax)\in\pi(K)$. 따라서 $\pi(K)$는 아이디얼. $\square$

이 포스트에서는…

비자명한 가환환 $A$와 그 아이디얼 $I\subsetneq A$에 대하여, $A/I$의 아이디얼 전체의 집합 $X$와 $A$의 $I$를 포함하는 아이디얼 전체의 집합 $Y$ 간에 일대일 대응이 존재함을 보였다.
- 구체적으로는, $\phi\colon X\ni J\mapsto \pi^{-1}(J)\in Y$, $\psi\colon Y\ni K\mapsto\pi(K)\in X$ 와 같은 사상이 존재하여, 두 사상이 서로의 역사상이므로, 전단사라는 것을 보였다.

참고문헌

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, “Introduction to Commutative Algebra”, Addison-Wesley, 1969.
雪江明彦，『代数学 2 環と体とガロア理論』，日本評論社，2010．

아이디얼, 잉여환

아이디얼의 정의

정의 1(아이디얼). $A$가 비자명한 가환환이라고 하자. $I\subset A$가 다음 조건 1,2를 만족한다면, $I$는 $A$의 아이디얼^ideal이라고 한다.

$I$는 $+$ 연산에 의하여 $A$의 부분군을 이룬다.
임의의 $a\in A$, $x\in I$에 대하여 $ax\in I$¹ ². —

예 1(생성되는 아이디얼). $A$가 비자명한 가환환이고, $a\in A$라고 할 때, $(a)\coloneqq \left\{ ax \mid x\in A \right\}$는 $A$의 아이디얼이다. 이를 $a$에 의하여 생성되는 아이디얼이라고 한다. 마찬가지로, $A$의 유한부분집합 $S\subset A$가 $S=\left\{ a_1,\ldots,a_n \right\}$과 같이 주어졌을 때, $(S)=(a_1,\ldots,a_n)\coloneqq\left\{ a_1x_1+\cdots+a_nx_n\mid x_1,\ldots,x_n \in A\right\}$ 는 $A$의 아이디얼이고, 이를 $S$에 의하여 생성되는 아이디얼이라고 한다. $S$가 $A$의 무한부분집합인 경우에는, $S$의 유한부분집합에 의하여 생성되는 아이디얼 전체의 합집합 $I$ 역시 아이디얼이며, 이 경우에도 $I$를 $S$에 의하여 생성되는 아이디얼이라고 한다. 유한집합 $S$에 의하여 생성되는 아이디얼을 유한생성 아이디얼^{finitely generated ideal}이라고 하며, 특히 원소 하나에 의하여 생성되는 아이디얼을 단항 아이디얼^{principal ideal}이라고 한다. —

예 2(자명한 아이디얼). 비자명한 가환환 $A$에 대하여, $A$와 $\left\{ 0 \right\}$는 아이디얼이다. 이는 각각 $1$과 $0$에 의해 생성되는 아이디얼이므로, $(1)$, $(0)$으로 나타내기도 하며, 이를 자명한 아이디얼^{trivial ideal}이라고 한다. 특히 $(0)$를 영 아이디얼^zero ideal이라고 한다. —

명제 1. $a\in A^\times$인 것과 $(a)=A$인 것은 서로 필요충분조건이다. —

명제 2. 환의 준동형 $\phi\colon A\to B$가 주어졌을 때, $\text{Ker}(\phi)$는 $A$의 아이디얼인 동시에, $\text{Ker}(\phi)\neq A$이다. —

명제 3. $A$를 비자명한 가환환이라고 할 때, 다음 두 조건은 동치이다.

$A$는 체.
$A$는 자명한 아이디얼 이외의 아이디얼을 가지지 않는다. —

증명. $A$를 체라고 하고, $I$를 $A$의 $(0)$이 아닌 아이디얼이라고 하면, $x\neq 0$인 $x\in I$가 존재한다. 이 때, $A$가 체이므로 $x$는 단원이고, $A=(x)\subset I$. 따라서 $I=A$이다. 반대로, $A$가 자명하지 않은 아이디얼을 가지지 않는다고 하면, $0\neq x\in A$라고 할 때, $(x)=A$일 수 밖에 없으므로, $x$는 단원, $A$는 체이다. $\square$

따름정리 2. $k$를 체라고 할 때, 환의 준동형 $\phi\colon k\to A$는 단사이다. —

증명. 문제 2에서 보인대로, $\text{Ker}(\phi)$는 $k$가 아닌 $k$의 아이디얼이다. $k$는 체이므로, 그러한 아이디얼은 $(0)$밖에 없다. 따라서 $\phi$는 자명. $\square$

잉여환의 정의

군에서 정규부분군에 의하여 잉여군을 정의했듯이, 환에서도 아이디얼을 이용하여 잉여환을 정의할 수 있다. 실제로, 비자명한 가환환 $A$는 $+$연산에 의하여 abelian 군을 이루고 있으므로, 그 부분군인 아이디얼 $I$는 정규부분군, 자연스럽게 $+$연산에 대한 잉여군으로서 $A/I$가 정의된다. $x\in A$의 동치류를 $x+I$와 같이 나타낼 때³, $A/I$ 상의 $\times$ 연산을 $(x+I)(y+I)=(xy+I)$와 같이 정의하면 이 연산은 well-defined인 연산이며⁴, $A/I$는 환의 구조를 가지고 있음을 확인할 수 있다.

정의 2. 비자명한 가환환 $A$와 그 아이디얼 $I\subsetneq A$에 대하여, $A/I$를 $A$의 $I$에 의한 잉여환, 혹은 몫환^{quotient ring}이라고 한다. —

정의 3. 사상 $\pi\colon A\ni x\mapsto x+I\in A/I$이 전사인 환의 준동형인 것은 바로 알 수 있다. 이를 자연스러운 준동형 혹은 자연스러운 전사라고 한다. —

이 포스트에서는…

비자명한 가환환의 아이디얼을 정의했다.
유한생성 아이디얼과 단항 아이디얼을 아이디얼의 예로 제시했다.
잉여환을 정의했다.

참고문헌

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, “Introduction to Commutative Algebra”, Addison-Wesley, 1969.
雪江明彦，『代数学 2 環と体とガロア理論』，日本評論社，2010．

$AI=\left\{ ax\mid a\in A, x\in I \right\}$라고 하여, 이 조건을 $AI\subset I$와 같이 나타내기도 한다.↩︎
$A$가 비가환환인 경우에, 1,2를 만족하는 $I$를 왼쪽 아이디얼이라고 하며, 2 대신 “임의의 $a\in A$, $x\in I$에 대하여 $xa\in I$”를 만족하는 경우 $I$는 오른쪽 아이디얼이라고 한다. $I$가 왼쪽 아이디얼인 동시에 오른쪽 아이디얼이라면, $I$는 양쪽 아이디얼이라고 한다.↩︎
동치류를 $x\mod I$와 같이 나타내기도 한다. 이 경우 $x+I=y+I$를 $x\equiv y\mod I$와 같이 나타낸다.↩︎
$x’\in x+I$, $y’\in y+I$라고 할 때, $x’=x+z$, $y’=y+w$인 $z,w\in I$가 존재하므로, $x’y’=(x+z)(y+w)=xy+zy+xw+zw$. $I$는 아이디얼이므로, $zy,xw,zw\in I$이다. 따라서 $(x+I)(y+I)=(x’+I)(y’+I)$.↩︎

중국인의 나머지 정리

정리 1(중국인의 나머지 정리^{Chinese Remainder Theorem, CRT}¹). $A$를 비자명한 가환환, $I_1,\ldots,I_n\subsetneq A$를 $A$의 아이디얼이라고 하자. $I_1,\ldots,I_n$ 중 어느 두 개를 선택해도 서로소²라면, 다음이 성립한다.

$i=1,\ldots,n$에 대하여, $I_i$와 $\prod_{j\neq i}I_j$는 서로소.
$I_1\cap\cdots\cap I_n = I_1\cdots I_n$.
$A/(I_1\cap\cdots\cap I_n) \cong A/I_1\times\cdots\times A/I_n$. —

증명.

1의 증명. $i=1$이라고 해도 일반성을 잃지 않으므로, $I_1 + I_2\cdots I_n = A$임을 보이자. 각 $j=2,\ldots,n$에 대하여 $x_j + y_j = 1$인 $x_j\in I_1$, $y_j\in I_j$을 취할 수 있다. 여기서 $(x_2+y_2)\cdots(x_n+y_n) = 1$이고, 좌변을 전개했을 때, $y_2\cdots y_n\in I_2\cdots I_n$을 제외한 항은 모두 $I_1$의 원소이므로, $I_1 + I_2\cdots I_n = A$인 것을 알 수 있다.

2의 증명. $n$에 관한 귀납법으로 보이자.

$n = 2$인 경우: $I_1I_2\subset I_1\cap I_2$이 성립하는 것은 당연. $x+y=1$이 되도록 $x\in I_1$, $y\in I_2$를 취하면, $a\in I_1\cap I_2$라고 할 때, $a=ax+ay\in I_1I_2$. 따라서 $I_1\cap I_2\subset I_1I_2$.
$I_1\cap\cdots\cap I_{n-1} = I_1\cdots I_{n-1}$($= J$)가 성립한다고 하면, 1에서 보인대로 $J + I_n = A$. 따라서, $n=2$인 경우에서 보인대로, $I_1\cap\cdots\cap I_{n} = J \cap I_n = JI_n = I_1\cdots I_n$.

3의 증명. 환의 준동형정리를 이용한다.

$n=2$인 경우를 먼저 보이자. $\phi\colon A\ni a\mapsto (a+I_1, a+I_2)\in A/I_1\times A/I_2$와 같은 준동형을 생각할 때, $\text{Ker}(\phi) = I_1\cap I_2$인 것은 환의 직곱의 정의로부터 당연하다. 또한, $I_1+I_2=A$이므로, $x+y=1$인 $x\in I_1$, $y\in I_2$ 를 취하면, 임의의 $a,b\in A$에 대하여 $\phi(ay+bx)=(a+I_1,b+I_2)$ 이므로 $\phi$는 전사이다³. 따라서 환의 준동형정리에 의하여, $A/(I_1\cap I_2) \cong A/I_1 \times A/I_2$이다.
$n>2$인 경우 역시, $J = I_1\cdots I_{n-1}$으로 두면, 2에서 보인대로 $J=I_1\cap\cdots\cap I_{n-1}$ 이고, 1에서 보인대로 $J+I_n=A$이므로, $n=2$일 때와 마찬가지로 $A/(I_1\cap\cdots\cap I_n) = A/(J\cap I_n) \cong A/J\times A/I_n$. 이와 같은 작업을 반복하면 $A/J= A/I_1\times\cdots\times A/I_n$임을 알 수 있으므로, 동형이 보여진다. $\square$

보조정리 2. $I, J$가 비자명한 가환환 $A$의 서로소인 아이디얼이고, $a,b\in\SetZ_{>0}$라면, $I^a$와 $J^b$ 역시 서로소이다. —

증명. $x+y = 1$이도록 $x\in I$, $y\in J$를 취하면, $1 = (x+y)^{a+b} \in I^a+J^b$임을 이항정리로부터 확인할 수 있다. $\square$

예 1. $300 = 2^2\cdot3\cdot5^2$이고, $2,3,5$는 (어느 두 개를 택해도) 서로소이므로, 정리 1과 보조정리 2에 의하여 $\SetZ/300\SetZ \cong \SetZ/4\SetZ\times\SetZ/3\SetZ\times\SetZ/25\SetZ$. —

예 2. 예 1과 마찬가지로, $\SetC[x]/(x(x-1)^2(x+2)^3)\cong\SetC[x]/(x)\times\SetC[x]/((x-1)^2)\times\SetC[x]/((x+2)^3)$. —

연습문제

문제 1. $x\equiv 1\mod 2$, $x\equiv 2\mod 5$, $x\equiv 8\mod 13$을 모두 만족하는 정수를 모두 구하여라. —

풀이.

Euclidean 호제법을 이용하면, $-4\in 2\SetZ$, $5\in 5\SetZ$, $-4+5=1$와 같이 $x\in 2\SetZ$, $y\in 5\SetZ$, $x+y=1$를 만족하는 쌍 $(x,y)$를 찾을 수 있다. CRT에 의하여 $\SetZ/10\SetZ \cong \SetZ/2\SetZ\times\SetZ/5\SetZ$이고, 이 동형사상을 $\phi$라고 하면, $\phi(7+10\SetZ)=\phi(1\cdot 5+2\cdot(-4) + 10\SetZ)=(1+2\SetZ, 2+5\SetZ)$ 인 것을 알 수 있다. 따라서 $x\equiv 1\mod 2$, $x\equiv 2\mod 5$일 필요충분조건은 $x\equiv 7\mod 10$.
같은 방법으로 $x\equiv 7\mod 10$인 동시에 $x\equiv 8\mod 13$을 만족하는 정수 $x$를 구하면 된다. $40\in 10\SetZ$, $-39\in 13\SetZ$, $40+(-39)=1$이고, $\SetZ/130\SetZ \cong \SetZ/10\SetZ\times\SetZ/13\SetZ$이므로, 이 동형사상을 $\psi$라고 하면, $\psi(47+130\SetZ)=\psi(7\cdot(-39)+8\cdot40+130\SetZ)=(7+10\SetZ,8+13\SetZ)$ 이다. 따라서 $x\equiv 47\mod 130$인 정수 $x$가 문제의 모든 조건을 만족하는 정수의 전부이다. —

문제 2. $I_1=(x^2+1,3)$, $I_2=(x+1)$을 $\SetZ[x]$의 아이디얼이라고 하자. $f\equiv x\mod I_1$, $f\equiv 1\mod I_2$인 $f(x)\in\SetZ[x]$를 하나 찾아라. —

풀이. $2-x^2\in I_1$, $x^2-1\in I_2$이고, $(2-x^2)+(x^2-1)=1$이다. 풀이 1과 같은 논리로, $f(x)=x(x^2-1)+1(2-x^2)=x^3-x^2-x+2$는 문제의 조건을 만족하며, 직접 확인할 수도 있다. —

문제 3. $\SetZ[\sqrt{-5}]/(3) \cong \SetZ/3\SetZ\times\SetZ/3\SetZ$을 보여라. —

풀이. $\SetZ[x]$의 아이디얼 $(x-1,3)$과 $(x-2,3)$은 서로소이다. 동시에 $(x-1,3)(x-2,3)=(x^2+5,3)$이 성립하므로, CRT에 의하여,

$$ \begin{aligned} \SetZ[\sqrt{-5}]/(3)&\cong\SetZ[x]/(x^2+5,3) \\ &\cong\SetZ[x]/(x-1,3)\times\SetZ[x]/(x-2,3) \\ &\cong\SetZ/3\SetZ\times\SetZ/3\SetZ \end{aligned} $$

이 성립한다. —

이 포스트에서는…

환에서의 중국인의 나머지 정리를 증명했다.
환에서의 중국인의 나머지 정리를 이용한 동형의 예시를 제시했다.

참고문헌

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, “Introduction to Commutative Algebra”, Addison-Wesley, 1969.
雪江明彦，『代数学 1 群論入門』，日本評論社，2010．
雪江明彦，『代数学 2 環と体とガロア理論』，日本評論社，2010．

Sun-tzu(孫子, 손자) 정리라고도 한다. 관련 글.↩︎
환 $A$의 두 아이디얼 $I,J$가 아이디얼로서 서로소라는 것은, $I+J=A$임을 의미한다.↩︎
실제로, $I_1$과 $I_2$가 서로소이지 않다면, 전사이지 않다. $\phi$가 전사라고 한다면, $\phi(a)=(I_1,1+I_2)$인 $a\in A$가 존재한다. $a\in I_1$, $1-a\in I_2$이므로, $1=a+(1-a)\in I_1+I_2$, $I_1$과 $I_2$는 서로소이다.↩︎

정역, 체

영인자, 정역, 체

정의 1. $A$를 비자명한 가환환이라고 하자.

$a\in A$에 대하여, $b\neq 0$인 $b\in A$가 존재하여 $ab = 0$라면, $a$는 $A$의 영인자^{zero divisor}라고 한다¹.
$A$가 $0$ 이외의 영인자를 가지지 않는다면, $A$는 정역^{integral domain}이라고 한다². —

따라서, 정역 $A$와 임의의 $a,b\in A$에 대하여, $a,b\neq 0$라면 $ab \neq 0$이다.

정의 2. $A$가 비자명한 가환환이고, $0$ 이외의 원소가 모두 단원이라면, $A$를 체^field라고 한다³. —

명제 1. 단원은 영인자가 아니다. —

증명. $A$를 자명하지 않은 가환환, $a\in A$를 단원이라고 하자. 만약, $a\in A$가 영인자라고 하면, $b\neq 0$인 $b\in A$가 존재하여 $ab=0$이다. 하지만, $a$는 단원이므로, $b = a^{-1}ab = a^{-1}0 = 0$ 이므로 가정에 모순. $\square$

따름정리 2. 체는 정역이다. —

예 1. $A = \SetZ/4\SetZ$라고 하자. $\overline{0}\neq\overline{2}\in A$의 경우, $\overline{2}\times\overline{2} = \overline{0}$이므로 $\overline{2}$는 영인자이다. 따라서 $A$는 정역이 아니다. —

이 포스트에서는…

자명하지 않은 가환환 $A$에 대하여, $b\in A\setminus \left\{ 0 \right\}$가 존재하여 $ab = 0$인 원소 $a\in A$를 $A$의 영인자로 정의했다.
$0$ 이외의 영인자를 가지지 않는, 자명하지 않은 가환환을 정역이라고 정의했다.
$0$ 이외의 원소가 모두 단원인, 자명하지 않은 가환환을 체라고 정의했다.
단원은 영인자가 아님을 보였다. 따라서, 체는 정역임을 보였다.

참고문헌

M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, “Introduction to Commutative Algebra”, Addison-Wesley, 1969.
雪江明彦，『代数学 2 環と体とガロア理論』，日本評論社，2010．

$A$가 비가환환인 경우, $a\in A$에 대하여 $b\in A\setminus\left\{ 0 \right\}$가 존재하여 $ab = 0$라면, $a$를 왼쪽 영인자라고 한다. $c\in A\setminus\left\{ 0 \right\}$가 존재하여 $ca = 0$라면, $a$를 오른쪽 영인자라고 한다.↩︎
$A$가 비가환환의 경우 역시 왼쪽 영인자와 오른쪽 영인자가 $0$ 이외에 존재하지 않는다면, 정역인 비가환환이라고 한다.↩︎
$A$가 비자명한 비가환환의 경우, $0$ 이외의 원소가 모두 단원이라면, $A$는 사체^skew field라고 한다.↩︎