아이디얼 μ—°μ‚°μ˜ λͺ¨λ“ˆλŸ¬ 법칙

아이디얼 μ—°μ‚°μ˜ λͺ¨λ“ˆλŸ¬ 법칙

λͺ…μ œ 1(아이디얼 μ—°μ‚°μ˜ λͺ¨λ“ˆλŸ¬ 법칙modularΒ law1). $I_1,I_2,J$λ₯Ό κ°€ν™˜ν™˜ $A$의 아이디얼이라고 ν•˜λ©΄, $(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap(I_2+J))+J=((I_1+J)\cap I_2)+J$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

증λͺ…. $(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap(I_2+J))+J$κ°€ 보여지면, $I_1$κ³Ό $I_2$의 μˆœμ„œλ₯Ό λ°”κΎΈλŠ” 것에 μ˜ν•˜μ—¬ $(I_1+J)\cap (I_2+J)=((I_1+J)\cap I_2)+J$ μ—­μ‹œ λ³΄μ—¬μ§€λ―€λ‘œ, $(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap(I_2+J))+J$λ§Œμ„ 보이자.

$I_1+J, I_2+J\supset I_1\cap (I_2+J), J$μ΄λ―€λ‘œ, $(I_1+J)\cap(I_2+J)\supset I_1\cap (I_2+J)+J$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 λΆ„λͺ…ν•˜λ‹€. λ°˜λŒ€λ‘œ, $x\in (I_1+J)\cap(I_2+J)$라고 ν•˜λ©΄, $x=y+z$인 $y\in I_1$κ³Ό $z\in J$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€. $y=x-z\in I_1\cap(I_2+J)$μ΄λ―€λ‘œ, $x=y+z\in I_1\cap(I_2+J)+J$. $\square$

λͺ…μ œ 1에 μ˜ν•˜λ©΄, κ°€ν™˜ν™˜ $A$의 아이디얼 $I,J,K$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $J\subset K$κ°€ 성립할 λ•Œ, $(I+J)\cap K = (I\cap K)+J$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. 즉, $I\subset K$ μ΄κ±°λ‚˜ $J\subset K$라면, $(I+J)\cap K=(I\cap K)+(J\cap K)$.

β€œμ•„μ΄λ””μ–Όμ„ ν¬ν•¨ν•˜λŠ” μ•„μ΄λ””μ–Όβ€μ—μ„œ 보인 것과 같은 λŒ€μ‘κ΄€κ³„λ₯Ό μ΄μš©ν•˜μ—¬, λͺ…μ œ 1에 λŒ€ν•΄ 보좩섀λͺ…을 ν•˜μžλ©΄, $\pi\colon A\to A/J$λ₯Ό μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ μ€€λ™ν˜•μ΄λΌκ³  ν•  λ•Œ, $I_1+J=\pi^{-1}(\pi(I_1))$μ΄λ―€λ‘œ2, $A$의 $J$λ₯Ό ν¬ν•¨ν•˜λŠ” 아이디얼 $(I_1+J)\cap(I_2+J)$ 은 $A/J$의 아이디얼 $\pi(I_1)\cap\pi(I_2)$에 λŒ€μ‘ν•˜λŠ” 아이디얼이라고 λ³Ό 수 μžˆλ‹€. λ”°λΌμ„œ λͺ…μ œ 1에 μ˜ν•˜μ—¬ $\pi(I_1)\cap\pi(I_2)$λŠ” $\pi(I_1\cap(I_2+J))$와 μΌμΉ˜ν•˜λŠ” μ•„μ΄λ””μ–Όμ΄λΌλŠ” 것은 μ•Œ 수 μžˆμ§€λ§Œ, $(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap I_2)+J$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λ¦¬λΌλŠ” 보μž₯은 μ—†κΈ° λ•Œλ¬Έμ—, $\pi(I_1)\cap\pi(I_2)=\pi(I_1\cap I_2)$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λ¦¬λΌλŠ” 보μž₯ μ—­μ‹œ μ—†λ‹€.

$(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap I_2)+J$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ” λ°˜λ‘€λ‘œλŠ”, $A=\SetC[x,y]$, $I_1=(x)$, $I_2=(y)$, $J=(x+y)$둜 두면 λœλ‹€. μ‹€μ œλ‘œ, $I_1+J=I_2+J=(x,y)$μ΄λ―€λ‘œ, $(I_1+J)\cap(I_2+J)=(x,y)$이고, $I_1\cap I_2=I_1I_2=(xy)$, $(I_1\cap I_2)+J=(xy,x+y)$이닀. $y$에 κ΄€ν•œ 차수λ₯Ό κ΄€μ°°ν•˜λ©΄ $x\notin(xy,x+y)$인 것을 μ•Œ 수 μžˆμœΌλ―€λ‘œ, $(I_1+J)\cap(I_2+J)\neq(I_1\cap I_2)+J$.

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • μ•„μ΄λ””μ–Όμ˜ μ—°μ‚° $+$와 $\cap$ 사이에 λͺ¨λ“ˆλŸ¬ 법칙이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 λ³΄μ˜€λ‹€.
  • κ°€ν™˜ν™˜ $A$의 아이디얼 $I_1,I_2,J$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $(I_1+J)\cap (I_2+J)=(I_1\cap I_2)+J$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ” λ°˜λ‘€λ₯Ό μ œμ‹œν–ˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, β€œIntroduction to Commutative Algebra”, Addison-Wesley, 1969.

  1. κ²°ν•©λ²•μΉ™μ˜ μ•½ν•œ ν˜•νƒœλΌκ³  λ³Ό μˆ˜λ„ μžˆλ‹€.β†©οΈŽ

  2. 일반적인 μ€€λ™ν˜•μ— μ˜ν•œ μ•„μ΄λ””μ–Όμ˜ 역상은 아이디얼이닀. λ˜ν•œ, 전사 μ€€λ™ν˜•μ— μ˜ν•œ μ•„μ΄λ””μ–Όμ˜ 상은 아이디얼이닀. λ”°λΌμ„œ μš°λ³€μ΄ μ•„μ΄λ””μ–Όμ΄λΌλŠ” 것은 λ°”λ‘œ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. $I_1+J$κ°€ $J$λ₯Ό ν¬ν•¨ν•˜λŠ” μ•„μ΄λ””μ–Όμ΄λ―€λ‘œ $I_1+J=\pi^{-1}(\pi(I_1+J))=\pi^{-1}(\pi(I_1))$둜 λ“±ν˜Έκ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것 μ—­μ‹œ 비ꡐ적 μ‰½κ²Œ μ•Œ 수 μžˆλ‹€.β†©οΈŽ

아이디얼을 ν¬ν•¨ν•˜λŠ” 아이디얼

아이디얼을 ν¬ν•¨ν•˜λŠ” 아이디얼

정리 1. $A$λ₯Ό λΉ„μžλͺ…ν•œ κ°€ν™˜ν™˜, $I\subsetneq A$λ₯Ό $A$의 아이디얼이라고 ν•˜μž. $\pi\colon A\to A/I$λ₯Ό μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ μ€€λ™ν˜•, $X$λ₯Ό $A/I$의 아이디얼 μ „μ²΄μ˜ 집합, $Y$λ₯Ό $I$λ₯Ό ν¬ν•¨ν•˜λŠ” $A$의 아이디얼 μ „μ²΄μ˜ 집합이라고 ν•˜λ©΄, λ‹€μŒ 두 사상 $\phi$와 $\psi$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜λ©°,

  • $\phi\colon X\ni J\mapsto \pi^{-1}(J)\in Y$
  • $\psi\colon Y\ni K\mapsto \pi(K)\in X$

$\phi$와 $\psi$λŠ” μ„œλ‘œμ˜ 역사상이닀. λ”°λΌμ„œ $X$와 $Y$κ°„μ—λŠ” μΌλŒ€μΌ λŒ€μ‘μ΄ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€. β€”

증λͺ…. $A$λ₯Ό abelian κ΅°, $I$λ₯Ό κ·Έ μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μœΌλ‘œ 보면, β€œμ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ„ ν¬ν•¨ν•˜λŠ” λΆ€λΆ„κ΅°β€μ—μ„œ λ³΄μ˜€λ“―μ΄, $J\in X$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\pi^{-1}(J)$λŠ” $A$의 $I$λ₯Ό ν¬ν•¨ν•˜λŠ” λΆ€λΆ„κ΅°μ΄λΌλŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ˜ν•œ, $K\in Y$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\pi(K)$ μ—­μ‹œ μž‰μ—¬κ΅° $A/I$의 λΆ€λΆ„κ΅°μ΄λΌλŠ” 것도 μ•Œ 수 μžˆμœΌλ―€λ‘œ, $\pi^{-1}(J)$와 $\pi(K)$κ°€ 각각 $A$, $A/I$의 μ•„μ΄λ””μ–Όμ΄λΌλŠ” κ²ƒλ§Œ 보이면 $\phi$, $\psi$에 μ˜ν•˜μ—¬ $X$와 $Y$ 사이에 μΌλŒ€μΌ λŒ€μ‘μ΄ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λŠ” 것을 확인할 수 μžˆλ‹€.

  • $a\in A$, $x\in\pi^{-1}(J)$라고 ν•˜λ©΄, $\pi(ax)=\pi(a)\pi(x)\in J$μ΄λ―€λ‘œ $ax\in\pi^{-1}(J)$. λ”°λΌμ„œ $\pi^{-1}(J)$은 아이디얼.
  • $\overline a\in A/I$, $\overline x\in\pi(K)$라고 ν•˜λ©΄, $\pi$λŠ” μ „μ‚¬μ΄λ―€λ‘œ $a\in A$, $x\in K$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬ $\pi(a)=\overline a$, $\pi(x)=\overline x$이닀. $ax\in K$μ΄λ―€λ‘œ $\overline a\overline x=\pi(ax)\in\pi(K)$. λ”°λΌμ„œ $\pi(K)$λŠ” 아이디얼. $\square$

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • λΉ„μžλͺ…ν•œ κ°€ν™˜ν™˜ $A$와 κ·Έ 아이디얼 $I\subsetneq A$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $A/I$의 아이디얼 μ „μ²΄μ˜ 집합 $X$와 $A$의 $I$λ₯Ό ν¬ν•¨ν•˜λŠ” 아이디얼 μ „μ²΄μ˜ 집합 $Y$ 간에 μΌλŒ€μΌ λŒ€μ‘μ΄ μ‘΄μž¬ν•¨μ„ λ³΄μ˜€λ‹€.
    • κ΅¬μ²΄μ μœΌλ‘œλŠ”, $\phi\colon X\ni J\mapsto \pi^{-1}(J)\in Y$, $\psi\colon Y\ni K\mapsto\pi(K)\in X$ 와 같은 사상이 μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬, 두 사상이 μ„œλ‘œμ˜ μ—­μ‚¬μƒμ΄λ―€λ‘œ, μ „λ‹¨μ‚¬λΌλŠ” 것을 λ³΄μ˜€λ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, β€œIntroduction to Commutative Algebra”, Addison-Wesley, 1969.
  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 2 η’°γ¨δ½“γ¨γ‚¬γƒ­γ‚’η†θ«–γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.

아이디얼, μž‰μ—¬ν™˜

μ•„μ΄λ””μ–Όμ˜ μ •μ˜

μ •μ˜ 1(아이디얼). $A$κ°€ λΉ„μžλͺ…ν•œ κ°€ν™˜ν™˜μ΄λΌκ³  ν•˜μž. $I\subset A$κ°€ λ‹€μŒ 쑰건 1,2λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•œλ‹€λ©΄, $I$λŠ” $A$의 아이디얼ideal이라고 ν•œλ‹€.

  1. $I$λŠ” $+$ 연산에 μ˜ν•˜μ—¬ $A$의 뢀뢄ꡰ을 이룬닀.
  2. μž„μ˜μ˜ $a\in A$, $x\in I$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $ax\in I$12. β€”

예 1(μƒμ„±λ˜λŠ” 아이디얼). $A$κ°€ λΉ„μžλͺ…ν•œ κ°€ν™˜ν™˜μ΄κ³ , $a\in A$라고 ν•  λ•Œ, $(a)\coloneqq \left\{ ax \mid x\in A \right\}$λŠ” $A$의 아이디얼이닀. 이λ₯Ό $a$에 μ˜ν•˜μ—¬ μƒμ„±λ˜λŠ” 아이디얼이라고 ν•œλ‹€. λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, $A$의 μœ ν•œλΆ€λΆ„μ§‘ν•© $S\subset A$κ°€ $S=\left\{ a_1,\ldots,a_n \right\}$κ³Ό 같이 μ£Όμ–΄μ‘Œμ„ λ•Œ, $(S)=(a_1,\ldots,a_n)\coloneqq\left\{ a_1x_1+\cdots+a_nx_n\mid x_1,\ldots,x_n \in A\right\}$ λŠ” $A$의 아이디얼이고, 이λ₯Ό $S$에 μ˜ν•˜μ—¬ μƒμ„±λ˜λŠ” 아이디얼이라고 ν•œλ‹€. $S$κ°€ $A$의 λ¬΄ν•œλΆ€λΆ„μ§‘ν•©μΈ κ²½μš°μ—λŠ”, $S$의 μœ ν•œλΆ€λΆ„μ§‘ν•©μ— μ˜ν•˜μ—¬ μƒμ„±λ˜λŠ” 아이디얼 μ „μ²΄μ˜ 합집합 $I$ μ—­μ‹œ 아이디얼이며, 이 κ²½μš°μ—λ„ $I$λ₯Ό $S$에 μ˜ν•˜μ—¬ μƒμ„±λ˜λŠ” 아이디얼이라고 ν•œλ‹€. μœ ν•œμ§‘ν•© $S$에 μ˜ν•˜μ—¬ μƒμ„±λ˜λŠ” 아이디얼을 μœ ν•œμƒμ„± 아이디얼finitelyΒ generatedΒ ideal이라고 ν•˜λ©°, 특히 μ›μ†Œ ν•˜λ‚˜μ— μ˜ν•˜μ—¬ μƒμ„±λ˜λŠ” 아이디얼을 단항 아이디얼principalΒ ideal이라고 ν•œλ‹€. β€”

예 2(자λͺ…ν•œ 아이디얼). λΉ„μžλͺ…ν•œ κ°€ν™˜ν™˜ $A$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $A$와 $\left\{ 0 \right\}$λŠ” 아이디얼이닀. μ΄λŠ” 각각 $1$κ³Ό $0$에 μ˜ν•΄ μƒμ„±λ˜λŠ” μ•„μ΄λ””μ–Όμ΄λ―€λ‘œ, $(1)$, $(0)$으둜 λ‚˜νƒ€λ‚΄κΈ°λ„ ν•˜λ©°, 이λ₯Ό 자λͺ…ν•œ 아이디얼trivialΒ ideal이라고 ν•œλ‹€. 특히 $(0)$λ₯Ό 영 아이디얼zeroΒ ideal이라고 ν•œλ‹€. β€”

λͺ…μ œ 1. $a\in A^\times$인 것과 $(a)=A$인 것은 μ„œλ‘œ ν•„μš”μΆ©λΆ„μ‘°κ±΄μ΄λ‹€. β€”

λͺ…μ œ 2. ν™˜μ˜ μ€€λ™ν˜• $\phi\colon A\to B$κ°€ μ£Όμ–΄μ‘Œμ„ λ•Œ, $\text{Ker}(\phi)$λŠ” $A$의 아이디얼인 λ™μ‹œμ—, $\text{Ker}(\phi)\neq A$이닀. β€”

λͺ…μ œ 3. $A$λ₯Ό λΉ„μžλͺ…ν•œ κ°€ν™˜ν™˜μ΄λΌκ³  ν•  λ•Œ, λ‹€μŒ 두 쑰건은 λ™μΉ˜μ΄λ‹€.

  1. $A$λŠ” 체.
  2. $A$λŠ” 자λͺ…ν•œ 아이디얼 μ΄μ™Έμ˜ 아이디얼을 가지지 μ•ŠλŠ”λ‹€. β€”

증λͺ…. $A$λ₯Ό 체라고 ν•˜κ³ , $I$λ₯Ό $A$의 $(0)$이 μ•„λ‹Œ 아이디얼이라고 ν•˜λ©΄, $x\neq 0$인 $x\in I$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€. 이 λ•Œ, $A$κ°€ μ²΄μ΄λ―€λ‘œ $x$λŠ” 단원이고, $A=(x)\subset I$. λ”°λΌμ„œ $I=A$이닀. λ°˜λŒ€λ‘œ, $A$κ°€ 자λͺ…ν•˜μ§€ μ•Šμ€ 아이디얼을 가지지 μ•ŠλŠ”λ‹€κ³  ν•˜λ©΄, $0\neq x\in A$라고 ν•  λ•Œ, $(x)=A$일 수 밖에 μ—†μœΌλ―€λ‘œ, $x$λŠ” 단원, $A$λŠ” 체이닀. $\square$

따름정리 2. $k$λ₯Ό 체라고 ν•  λ•Œ, ν™˜μ˜ μ€€λ™ν˜• $\phi\colon k\to A$λŠ” 단사이닀. β€”

증λͺ…. 문제 2μ—μ„œ λ³΄μΈλŒ€λ‘œ, $\text{Ker}(\phi)$λŠ” $k$κ°€ μ•„λ‹Œ $k$의 아이디얼이닀. $k$λŠ” μ²΄μ΄λ―€λ‘œ, κ·ΈλŸ¬ν•œ 아이디얼은 $(0)$밖에 μ—†λ‹€. λ”°λΌμ„œ $\phi$λŠ” 자λͺ…. $\square$

μž‰μ—¬ν™˜μ˜ μ •μ˜

κ΅°μ—μ„œ μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ— μ˜ν•˜μ—¬ μž‰μ—¬κ΅°μ„ μ •μ˜ν–ˆλ“―μ΄, ν™˜μ—μ„œλ„ 아이디얼을 μ΄μš©ν•˜μ—¬ μž‰μ—¬ν™˜μ„ μ •μ˜ν•  수 μžˆλ‹€. μ‹€μ œλ‘œ, λΉ„μžλͺ…ν•œ κ°€ν™˜ν™˜ $A$λŠ” $+$연산에 μ˜ν•˜μ—¬ abelian ꡰ을 이루고 μžˆμœΌλ―€λ‘œ, κ·Έ 뢀뢄ꡰ인 아이디얼 $I$λŠ” μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°, μžμ—°μŠ€λŸ½κ²Œ $+$연산에 λŒ€ν•œ μž‰μ—¬κ΅°μœΌλ‘œμ„œ $A/I$κ°€ μ •μ˜λœλ‹€. $x\in A$의 λ™μΉ˜λ₯˜λ₯Ό $x+I$와 같이 λ‚˜νƒ€λ‚Ό λ•Œ3, $A/I$ μƒμ˜ $\times$ 연산을 $(x+I)(y+I)=(xy+I)$와 같이 μ •μ˜ν•˜λ©΄ 이 연산은 well-defined인 연산이며4, $A/I$λŠ” ν™˜μ˜ ꡬ쑰λ₯Ό 가지고 μžˆμŒμ„ 확인할 수 μžˆλ‹€.

μ •μ˜ 2. λΉ„μžλͺ…ν•œ κ°€ν™˜ν™˜ $A$와 κ·Έ 아이디얼 $I\subsetneq A$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $A/I$λ₯Ό $A$의 $I$에 μ˜ν•œ μž‰μ—¬ν™˜, ν˜Ήμ€ λͺ«ν™˜quotientΒ ring이라고 ν•œλ‹€. β€”

μ •μ˜ 3. 사상 $\pi\colon A\ni x\mapsto x+I\in A/I$이 전사인 ν™˜μ˜ μ€€λ™ν˜•μΈ 것은 λ°”λ‘œ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. 이λ₯Ό μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ μ€€λ™ν˜• ν˜Ήμ€ μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ 전사라고 ν•œλ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • λΉ„μžλͺ…ν•œ κ°€ν™˜ν™˜μ˜ 아이디얼을 μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • μœ ν•œμƒμ„± 아이디얼과 단항 아이디얼을 μ•„μ΄λ””μ–Όμ˜ 예둜 μ œμ‹œν–ˆλ‹€.
  • μž‰μ—¬ν™˜μ„ μ •μ˜ν–ˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, β€œIntroduction to Commutative Algebra”, Addison-Wesley, 1969.
  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 2 η’°γ¨δ½“γ¨γ‚¬γƒ­γ‚’η†θ«–γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.

  1. $AI=\left\{ ax\mid a\in A, x\in I \right\}$라고 ν•˜μ—¬, 이 쑰건을 $AI\subset I$와 같이 λ‚˜νƒ€λ‚΄κΈ°λ„ ν•œλ‹€.β†©οΈŽ

  2. $A$κ°€ λΉ„κ°€ν™˜ν™˜μΈ κ²½μš°μ—, 1,2λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” $I$λ₯Ό μ™Όμͺ½ 아이디얼이라고 ν•˜λ©°, 2 λŒ€μ‹  β€œμž„μ˜μ˜ $a\in A$, $x\in I$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $xa\in I$”λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” 경우 $I$λŠ” 였λ₯Έμͺ½ 아이디얼이라고 ν•œλ‹€. $I$κ°€ μ™Όμͺ½ 아이디얼인 λ™μ‹œμ— 였λ₯Έμͺ½ 아이디얼이라면, $I$λŠ” μ–‘μͺ½ 아이디얼이라고 ν•œλ‹€.β†©οΈŽ

  3. λ™μΉ˜λ₯˜λ₯Ό $x\mod I$와 같이 λ‚˜νƒ€λ‚΄κΈ°λ„ ν•œλ‹€. 이 경우 $x+I=y+I$λ₯Ό $x\equiv y\mod I$와 같이 λ‚˜νƒ€λ‚Έλ‹€.β†©οΈŽ

  4. $x’\in x+I$, $y’\in y+I$라고 ν•  λ•Œ, $x’=x+z$, $y’=y+w$인 $z,w\in I$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜λ―€λ‘œ, $x’y’=(x+z)(y+w)=xy+zy+xw+zw$. $I$λŠ” μ•„μ΄λ””μ–Όμ΄λ―€λ‘œ, $zy,xw,zw\in I$이닀. λ”°λΌμ„œ $(x+I)(y+I)=(x’+I)(y’+I)$.β†©οΈŽ

μ€‘κ΅­μΈμ˜ λ‚˜λ¨Έμ§€ 정리

μ€‘κ΅­μΈμ˜ λ‚˜λ¨Έμ§€ 정리

정리 1(μ€‘κ΅­μΈμ˜ λ‚˜λ¨Έμ§€ 정리ChineseΒ RemainderΒ Theorem,Β CRT1). $A$λ₯Ό λΉ„μžλͺ…ν•œ κ°€ν™˜ν™˜, $I_1,\ldots,I_n\subsetneq A$λ₯Ό $A$의 아이디얼이라고 ν•˜μž. $I_1,\ldots,I_n$ 쀑 μ–΄λŠ 두 개λ₯Ό 선택해도 μ„œλ‘œμ†Œ2라면, λ‹€μŒμ΄ μ„±λ¦½ν•œλ‹€.

  1. $i=1,\ldots,n$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $I_i$와 $\prod_{j\neq i}I_j$λŠ” μ„œλ‘œμ†Œ.
  2. $I_1\cap\cdots\cap I_n = I_1\cdots I_n$.
  3. $A/(I_1\cap\cdots\cap I_n) \cong A/I_1\times\cdots\times A/I_n$. β€”

증λͺ….

1의 증λͺ…. $i=1$이라고 해도 μΌλ°˜μ„±μ„ μžƒμ§€ μ•ŠμœΌλ―€λ‘œ, $I_1 + I_2\cdots I_n = A$μž„μ„ 보이자. 각 $j=2,\ldots,n$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $x_j + y_j = 1$인 $x_j\in I_1$, $y_j\in I_j$을 μ·¨ν•  수 μžˆλ‹€. μ—¬κΈ°μ„œ $(x_2+y_2)\cdots(x_n+y_n) = 1$이고, μ’Œλ³€μ„ μ „κ°œν–ˆμ„ λ•Œ, $y_2\cdots y_n\in I_2\cdots I_n$을 μ œμ™Έν•œ 항은 λͺ¨λ‘ $I_1$의 μ›μ†Œμ΄λ―€λ‘œ, $I_1 + I_2\cdots I_n = A$인 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€.

2의 증λͺ…. $n$에 κ΄€ν•œ κ·€λ‚©λ²•μœΌλ‘œ 보이자.

  • $n = 2$인 경우: $I_1I_2\subset I_1\cap I_2$이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 λ‹Ήμ—°. $x+y=1$이 λ˜λ„λ‘ $x\in I_1$, $y\in I_2$λ₯Ό μ·¨ν•˜λ©΄, $a\in I_1\cap I_2$라고 ν•  λ•Œ, $a=ax+ay\in I_1I_2$. λ”°λΌμ„œ $I_1\cap I_2\subset I_1I_2$.
  • $I_1\cap\cdots\cap I_{n-1} = I_1\cdots I_{n-1}$($= J$)κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€κ³  ν•˜λ©΄, 1μ—μ„œ λ³΄μΈλŒ€λ‘œ $J + I_n = A$. λ”°λΌμ„œ, $n=2$인 κ²½μš°μ—μ„œ λ³΄μΈλŒ€λ‘œ, $I_1\cap\cdots\cap I_{n} = J \cap I_n = JI_n = I_1\cdots I_n$.

3의 증λͺ…. ν™˜μ˜ μ€€λ™ν˜•μ •λ¦¬λ₯Ό μ΄μš©ν•œλ‹€.

  • $n=2$인 경우λ₯Ό λ¨Όμ € 보이자. $\phi\colon A\ni a\mapsto (a+I_1, a+I_2)\in A/I_1\times A/I_2$와 같은 μ€€λ™ν˜•μ„ 생각할 λ•Œ, $\text{Ker}(\phi) = I_1\cap I_2$인 것은 ν™˜μ˜ 직곱의 μ •μ˜λ‘œλΆ€ν„° λ‹Ήμ—°ν•˜λ‹€. λ˜ν•œ, $I_1+I_2=A$μ΄λ―€λ‘œ, $x+y=1$인 $x\in I_1$, $y\in I_2$ λ₯Ό μ·¨ν•˜λ©΄, μž„μ˜μ˜ $a,b\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\phi(ay+bx)=(a+I_1,b+I_2)$ μ΄λ―€λ‘œ $\phi$λŠ” 전사이닀3. λ”°λΌμ„œ ν™˜μ˜ μ€€λ™ν˜•μ •λ¦¬μ— μ˜ν•˜μ—¬, $A/(I_1\cap I_2) \cong A/I_1 \times A/I_2$이닀.
  • $n>2$인 경우 μ—­μ‹œ, $J = I_1\cdots I_{n-1}$으둜 두면, 2μ—μ„œ λ³΄μΈλŒ€λ‘œ $J=I_1\cap\cdots\cap I_{n-1}$ 이고, 1μ—μ„œ λ³΄μΈλŒ€λ‘œ $J+I_n=A$μ΄λ―€λ‘œ, $n=2$일 λ•Œμ™€ λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ $A/(I_1\cap\cdots\cap I_n) = A/(J\cap I_n) \cong A/J\times A/I_n$. 이와 같은 μž‘μ—…μ„ λ°˜λ³΅ν•˜λ©΄ $A/J= A/I_1\times\cdots\times A/I_n$μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆμœΌλ―€λ‘œ, λ™ν˜•μ΄ 보여진닀. $\square$

보쑰정리 2. $I, J$κ°€ λΉ„μžλͺ…ν•œ κ°€ν™˜ν™˜ $A$의 μ„œλ‘œμ†ŒμΈ 아이디얼이고, $a,b\in\SetZ_{>0}$라면, $I^a$와 $J^b$ μ—­μ‹œ μ„œλ‘œμ†Œμ΄λ‹€. β€”

증λͺ…. $x+y = 1$이도둝 $x\in I$, $y\in J$λ₯Ό μ·¨ν•˜λ©΄, $1 = (x+y)^{a+b} \in I^a+J^b$μž„μ„ μ΄ν•­μ •λ¦¬λ‘œλΆ€ν„° 확인할 수 μžˆλ‹€. $\square$

예 1. $300 = 2^2\cdot3\cdot5^2$이고, $2,3,5$λŠ” (μ–΄λŠ 두 개λ₯Ό 택해도) μ„œλ‘œμ†Œμ΄λ―€λ‘œ, 정리 1κ³Ό 보쑰정리 2에 μ˜ν•˜μ—¬ $\SetZ/300\SetZ \cong \SetZ/4\SetZ\times\SetZ/3\SetZ\times\SetZ/25\SetZ$. β€”

예 2. 예 1κ³Ό λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, $\SetC[x]/(x(x-1)^2(x+2)^3)\cong\SetC[x]/(x)\times\SetC[x]/((x-1)^2)\times\SetC[x]/((x+2)^3)$. β€”

μ—°μŠ΅λ¬Έμ œ

문제 1. $x\equiv 1\mod 2$, $x\equiv 2\mod 5$, $x\equiv 8\mod 13$을 λͺ¨λ‘ λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” μ •μˆ˜λ₯Ό λͺ¨λ‘ κ΅¬ν•˜μ—¬λΌ. β€”

풀이.

  • Euclidean ν˜Έμ œλ²•μ„ μ΄μš©ν•˜λ©΄, $-4\in 2\SetZ$, $5\in 5\SetZ$, $-4+5=1$와 같이 $x\in 2\SetZ$, $y\in 5\SetZ$, $x+y=1$λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” 쌍 $(x,y)$λ₯Ό 찾을 수 μžˆλ‹€. CRT에 μ˜ν•˜μ—¬ $\SetZ/10\SetZ \cong \SetZ/2\SetZ\times\SetZ/5\SetZ$이고, 이 λ™ν˜•μ‚¬μƒμ„ $\phi$라고 ν•˜λ©΄, $\phi(7+10\SetZ)=\phi(1\cdot 5+2\cdot(-4) + 10\SetZ)=(1+2\SetZ, 2+5\SetZ)$ 인 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ”°λΌμ„œ $x\equiv 1\mod 2$, $x\equiv 2\mod 5$일 ν•„μš”μΆ©λΆ„μ‘°κ±΄μ€ $x\equiv 7\mod 10$.
  • 같은 λ°©λ²•μœΌλ‘œ $x\equiv 7\mod 10$인 λ™μ‹œμ— $x\equiv 8\mod 13$을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” μ •μˆ˜ $x$λ₯Ό κ΅¬ν•˜λ©΄ λœλ‹€. $40\in 10\SetZ$, $-39\in 13\SetZ$, $40+(-39)=1$이고, $\SetZ/130\SetZ \cong \SetZ/10\SetZ\times\SetZ/13\SetZ$μ΄λ―€λ‘œ, 이 λ™ν˜•μ‚¬μƒμ„ $\psi$라고 ν•˜λ©΄, $\psi(47+130\SetZ)=\psi(7\cdot(-39)+8\cdot40+130\SetZ)=(7+10\SetZ,8+13\SetZ)$ 이닀. λ”°λΌμ„œ $x\equiv 47\mod 130$인 μ •μˆ˜ $x$κ°€ 문제의 λͺ¨λ“  쑰건을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” μ •μˆ˜μ˜ 전뢀이닀. β€”

문제 2. $I_1=(x^2+1,3)$, $I_2=(x+1)$을 $\SetZ[x]$의 아이디얼이라고 ν•˜μž. $f\equiv x\mod I_1$, $f\equiv 1\mod I_2$인 $f(x)\in\SetZ[x]$λ₯Ό ν•˜λ‚˜ 찾아라. β€”

풀이. $2-x^2\in I_1$, $x^2-1\in I_2$이고, $(2-x^2)+(x^2-1)=1$이닀. 풀이 1κ³Ό 같은 λ…Όλ¦¬λ‘œ, $f(x)=x(x^2-1)+1(2-x^2)=x^3-x^2-x+2$λŠ” 문제의 쑰건을 λ§Œμ‘±ν•˜λ©°, 직접 확인할 μˆ˜λ„ μžˆλ‹€. β€”

문제 3. $\SetZ[\sqrt{-5}]/(3) \cong \SetZ/3\SetZ\times\SetZ/3\SetZ$을 보여라. β€”

풀이. $\SetZ[x]$의 아이디얼 $(x-1,3)$κ³Ό $(x-2,3)$은 μ„œλ‘œμ†Œμ΄λ‹€. λ™μ‹œμ— $(x-1,3)(x-2,3)=(x^2+5,3)$이 μ„±λ¦½ν•˜λ―€λ‘œ, CRT에 μ˜ν•˜μ—¬,

$$ \begin{aligned} \SetZ[\sqrt{-5}]/(3)&\cong\SetZ[x]/(x^2+5,3) \\ &\cong\SetZ[x]/(x-1,3)\times\SetZ[x]/(x-2,3) \\ &\cong\SetZ/3\SetZ\times\SetZ/3\SetZ \end{aligned} $$

이 μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • ν™˜μ—μ„œμ˜ μ€‘κ΅­μΈμ˜ λ‚˜λ¨Έμ§€ 정리λ₯Ό 증λͺ…ν–ˆλ‹€.
  • ν™˜μ—μ„œμ˜ μ€‘κ΅­μΈμ˜ λ‚˜λ¨Έμ§€ 정리λ₯Ό μ΄μš©ν•œ λ™ν˜•μ˜ μ˜ˆμ‹œλ₯Ό μ œμ‹œν–ˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, β€œIntroduction to Commutative Algebra”, Addison-Wesley, 1969.
  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 1 ηΎ€θ«–ε…₯ι–€γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.
  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 2 η’°γ¨δ½“γ¨γ‚¬γƒ­γ‚’η†θ«–γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.

  1. Sun-tzu(孫子, μ†μž) 정리라고도 ν•œλ‹€. κ΄€λ ¨ κΈ€.β†©οΈŽ

  2. ν™˜ $A$의 두 아이디얼 $I,J$κ°€ μ•„μ΄λ””μ–Όλ‘œμ„œ μ„œλ‘œμ†ŒλΌλŠ” 것은, $I+J=A$μž„μ„ μ˜λ―Έν•œλ‹€.β†©οΈŽ

  3. μ‹€μ œλ‘œ, $I_1$κ³Ό $I_2$κ°€ μ„œλ‘œμ†Œμ΄μ§€ μ•Šλ‹€λ©΄, 전사이지 μ•Šλ‹€. $\phi$κ°€ 전사라고 ν•œλ‹€λ©΄, $\phi(a)=(I_1,1+I_2)$인 $a\in A$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€. $a\in I_1$, $1-a\in I_2$μ΄λ―€λ‘œ, $1=a+(1-a)\in I_1+I_2$, $I_1$κ³Ό $I_2$λŠ” μ„œλ‘œμ†Œμ΄λ‹€.β†©οΈŽ

μ •μ—­, 체

영인자, μ •μ—­, 체

μ •μ˜ 1. $A$λ₯Ό λΉ„μžλͺ…ν•œ κ°€ν™˜ν™˜μ΄λΌκ³  ν•˜μž.

  1. $a\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $b\neq 0$인 $b\in A$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬ $ab = 0$라면, $a$λŠ” $A$의 영인자zeroΒ divisor라고 ν•œλ‹€1.
  2. $A$κ°€ $0$ μ΄μ™Έμ˜ 영인자λ₯Ό 가지지 μ•ŠλŠ”λ‹€λ©΄, $A$λŠ” μ •μ—­integralΒ domain이라고 ν•œλ‹€2. β€”

λ”°λΌμ„œ, μ •μ—­ $A$와 μž„μ˜μ˜ $a,b\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $a,b\neq 0$라면 $ab \neq 0$이닀.

μ •μ˜ 2. $A$κ°€ λΉ„μžλͺ…ν•œ κ°€ν™˜ν™˜μ΄κ³ , $0$ μ΄μ™Έμ˜ μ›μ†Œκ°€ λͺ¨λ‘ 단원이라면, $A$λ₯Ό 체field라고 ν•œλ‹€3. β€”

λͺ…μ œ 1. 단원은 μ˜μΈμžκ°€ μ•„λ‹ˆλ‹€. β€”

증λͺ…. $A$λ₯Ό 자λͺ…ν•˜μ§€ μ•Šμ€ κ°€ν™˜ν™˜, $a\in A$λ₯Ό 단원이라고 ν•˜μž. λ§Œμ•½, $a\in A$κ°€ 영인자라고 ν•˜λ©΄, $b\neq 0$인 $b\in A$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬ $ab=0$이닀. ν•˜μ§€λ§Œ, $a$λŠ” λ‹¨μ›μ΄λ―€λ‘œ, $b = a^{-1}ab = a^{-1}0 = 0$ μ΄λ―€λ‘œ 가정에 λͺ¨μˆœ. $\square$

따름정리 2. μ²΄λŠ” 정역이닀. β€”

예 1. $A = \SetZ/4\SetZ$라고 ν•˜μž. $\overline{0}\neq\overline{2}\in A$의 경우, $\overline{2}\times\overline{2} = \overline{0}$μ΄λ―€λ‘œ $\overline{2}$λŠ” μ˜μΈμžμ΄λ‹€. λ”°λΌμ„œ $A$λŠ” 정역이 μ•„λ‹ˆλ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • 자λͺ…ν•˜μ§€ μ•Šμ€ κ°€ν™˜ν™˜ $A$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $b\in A\setminus \left\{ 0 \right\}$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬ $ab = 0$인 μ›μ†Œ $a\in A$λ₯Ό $A$의 영인자둜 μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • $0$ μ΄μ™Έμ˜ 영인자λ₯Ό 가지지 μ•ŠλŠ”, 자λͺ…ν•˜μ§€ μ•Šμ€ κ°€ν™˜ν™˜μ„ 정역이라고 μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • $0$ μ΄μ™Έμ˜ μ›μ†Œκ°€ λͺ¨λ‘ 단원인, 자λͺ…ν•˜μ§€ μ•Šμ€ κ°€ν™˜ν™˜μ„ 체라고 μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • 단원은 μ˜μΈμžκ°€ μ•„λ‹˜μ„ λ³΄μ˜€λ‹€. λ”°λΌμ„œ, μ²΄λŠ” μ •μ—­μž„μ„ λ³΄μ˜€λ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, β€œIntroduction to Commutative Algebra”, Addison-Wesley, 1969.
  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 2 η’°γ¨δ½“γ¨γ‚¬γƒ­γ‚’η†θ«–γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.

  1. $A$κ°€ λΉ„κ°€ν™˜ν™˜μΈ 경우, $a\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $b\in A\setminus\left\{ 0 \right\}$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬ $ab = 0$라면, $a$λ₯Ό μ™Όμͺ½ 영인자라고 ν•œλ‹€. $c\in A\setminus\left\{ 0 \right\}$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬ $ca = 0$라면, $a$λ₯Ό 였λ₯Έμͺ½ 영인자라고 ν•œλ‹€.β†©οΈŽ

  2. $A$κ°€ λΉ„κ°€ν™˜ν™˜μ˜ 경우 μ—­μ‹œ μ™Όμͺ½ μ˜μΈμžμ™€ 였λ₯Έμͺ½ μ˜μΈμžκ°€ $0$ 이외에 μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€λ©΄, 정역인 λΉ„κ°€ν™˜ν™˜μ΄λΌκ³  ν•œλ‹€.β†©οΈŽ

  3. $A$κ°€ λΉ„μžλͺ…ν•œ λΉ„κ°€ν™˜ν™˜μ˜ 경우, $0$ μ΄μ™Έμ˜ μ›μ†Œκ°€ λͺ¨λ‘ 단원이라면, $A$λŠ” 사체skewΒ field라고 ν•œλ‹€.β†©οΈŽ