ν™˜μ˜ μ •μ˜

ν™˜, κ°€ν™˜ν™˜, 자λͺ…ν™˜

μ •μ˜ 1(ν™˜, κ°€ν™˜ν™˜). 집합 $A$에 두 μ—°μ‚° $+$와 $\times$κ°€ μ£Όμ–΄μ‘Œλ‹€κ³  ν•˜μž. ($a\times b$λ₯Ό $ab$와 같이 쓰기도 ν•œλ‹€.) 두 연산에 λŒ€ν•˜μ—¬ λ‹€μŒ 쑰건 1,2,3,4λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•œλ‹€λ©΄, $A$λŠ” ν™˜ring이라고 ν•œλ‹€1. 특히, 쑰건 5λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” ν™˜μ„ κ°€ν™˜ν™˜commutativeΒ ring, 그렇지 μ•Šμ€ ν™˜μ„ λΉ„κ°€ν™˜ν™˜μ΄λΌκ³  ν•œλ‹€.

  1. 가법ꡰ – $A$λŠ” $+$에 κ΄€ν•˜μ—¬ κ°€ν™˜κ΅°μ΄λ‹€2.
  2. 곱의 결합법칙 – μž„μ˜μ˜ $a,b,c\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $(ab)c = a(bc)$.
  3. 곱의 λ‹¨μœ„μ›μ˜ 쑴재 – $1\in A$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬, μž„μ˜μ˜ $a\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $1a = a1 = a$3.
  4. 뢄배법칙 – μž„μ˜μ˜ $a,b,c\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $a(b+c) = ab + ac$, $(a+b)c = ac +bc$.
  5. 곱의 κ°€ν™˜λ²•μΉ™ – μž„μ˜μ˜ $a,b\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $ab = ba$. β€”

$a\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $ab = ba = 1$인 $b\in A$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, $a$λ₯Ό 가역원 ν˜Ήμ€ 단원unit이라고 ν•˜κ³ , $b$λ₯Ό $a$의 역원이라고 ν•œλ‹€4. $A$의 단원 전체λ₯Ό $A^{\times}$ 라고 ν•˜λ©΄, $A^{\times}$λŠ” $\times$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $1$을 λ‹¨μœ„μ›μœΌλ‘œ ν•˜λŠ” ꡰ을 μ΄λ£¨λŠ” 것을 확인할 수 μžˆλ‹€(μ—°μŠ΅λ¬Έμ œ). 이λ₯Ό $A$의 μŠΉλ²•κ΅°μ΄λΌκ³  ν•œλ‹€.

예 1. $A = \left\{ 0 \right\}$에 연산을 $0+0 = 0$, $0\times 0 = 0$와 같이 λΆ€μ—¬ν•˜λ©΄ μ΄λŠ” μ›μ†Œ 1κ°œλ§Œμ„ κ°€μ§€λŠ” ν™˜μ„ 이룬닀. μ΄λŸ¬ν•œ ν™˜μ„ 자λͺ…ν™˜trivialΒ ring 이라고 ν•œλ‹€. β€”

예 2. $\SetZ, \SetQ, \SetR, \SetC$λŠ” 톡상적인 λ§μ…ˆκ³Ό κ³±μ…ˆμ— μ˜ν•˜μ—¬ κ°€ν™˜ν™˜μ„ 이룬닀. λ§μ…ˆμ˜ λ‹¨μœ„μ›μ€ λͺ¨λ‘ $0$, κ³±μ…ˆμ˜ λ‹¨μœ„μ›μ€ $1$이닀. β€”

문제 1. $\SetZ^{\times}, \SetQ^{\times}, \SetR^{\times}, \SetC^{\times}$ 각각의 μ›μ†Œλ₯Ό λͺ¨λ‘ κ΅¬ν•˜μ—¬λΌ. β€”

예 3. μ‹€μˆ˜ μ„±λΆ„μ˜ $n\times n$ ν–‰λ ¬μ˜ 전체λ₯Ό $\text{M}_n(\SetR)$이라고 ν•˜λ©΄, 일반적인 ν–‰λ ¬μ˜ λ§μ…ˆκ³Ό κ³±μ…ˆμ— μ˜ν•˜μ—¬ $\text{M}_n(\SetR)$은 λΉ„κ°€ν™˜ν™˜μ„ 이룬닀. λ˜ν•œ μ •μ˜μ— μ˜ν•˜μ—¬ $\text{M}_n(\SetR)^{\times} = \text{GL}_n(\SetR)$ μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. β€”

보쑰정리 1. $A$λ₯Ό ν™˜μ΄λΌκ³  ν•˜μž. μž„μ˜μ˜ $a\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $0a = a0 =0$이닀. β€”

증λͺ…. 뢄배법칙에 μ˜ν•˜μ—¬, $0a = (0+0)a = 0a + 0a$, $0a = 0$이닀. $a0 = 0$도 λ§ˆμ°¬κ°€μ§€. $\square$

λͺ…μ œ 2. $A$λ₯Ό ν™˜μ΄λΌκ³  ν•˜μž. λ‹€μŒμ€ λͺ¨λ‘ λ™μΉ˜μ΄λ‹€.

  1. $A$λŠ” 자λͺ…ν™˜μ΄λ‹€.
  2. $1=0$이닀. β€”

증λͺ…. 자λͺ…ν™˜μ΄λ©΄, $A$의 μš”μ†Œκ°€ 1개 λΏμ΄λ―€λ‘œ $1=0$인 것은 λΆ„λͺ…ν•˜λ‹€. μ—­μœΌλ‘œ $1=0$이라고 ν•˜λ©΄, 보쑰정리 1에 μ˜ν•˜μ—¬, μž„μ˜μ˜ $a\in A$에 λŒ€ν•΄ $a = 1a = 0a = 0$. λ”°λΌμ„œ $A = \left\{ 0 \right\}$. $\square$

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • ν™˜κ³Ό κ°€ν™˜ν™˜μ„ μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • ν™˜μ˜ 단원과 μŠΉλ²•κ΅°μ„ μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • ν™˜ $A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $1 = 0$인 것이 $A$κ°€ 자λͺ…ν™˜μΈ κ²ƒμ˜ ν•„μš”μΆ©λΆ„μ‘°κ±΄μž„μ„ λ³΄μ˜€λ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, β€œIntroduction to Commutative Algebra”, Addison-Wesley, 1969.
  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 1 ηΎ€θ«–ε…₯ι–€γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.
  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 2 η’°γ¨δ½“γ¨γ‚¬γƒ­γ‚’η†θ«–γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.

  1. λ¬Έν—Œμ— λ”°λΌμ„œλŠ” 1,2,4λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” 경우 $A$λ₯Ό ν™˜μ΄λΌκ³  ν•˜κΈ°λ„ ν•œλ‹€. μ—¬κΈ°μ—μ„œλŠ” 1,2,3,4λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” 경우만 $A$λ₯Ό ν™˜μ΄λΌκ³  ν•˜κΈ°λ‘œ ν•œλ‹€.β†©οΈŽ

  2. $A$의 $+$에 κ΄€ν•œ λ‹¨μœ„μ›μ„ $0$ ν˜Ήμ€ $0_A$와 같이 μ“°κΈ°λ‘œ ν•œλ‹€. λ˜ν•œ, $a\in A$의 $+$에 κ΄€ν•œ 역원을 $-a$와 같이 μ“°κΈ°λ‘œ ν•œλ‹€. $+$ κΈ°ν˜Έμ™€ λ™μ‹œμ— μ‚¬μš©ν•˜λŠ” κ²½μš°μ—λŠ” $-$λ₯Ό μƒλž΅ν•˜μ—¬ $a + (-b)$λ₯Ό $a-b$와 같이 쓰기도 ν•œλ‹€.β†©οΈŽ

  3. β€œκ΅°μ˜ μ •μ˜, λŒ€μΉ­κ΅°, μΌλ°˜μ„ ν˜•κ΅°β€μ˜ λͺ…μ œ 1μ—μ„œ 보인 κ²ƒμ²˜λŸΌ, $\times$에 κ΄€ν•˜μ—¬ λ‹¨μœ„μ›μ΄ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄ μœ μΌν•˜λ‹€. 이에 따라, ν™˜ $A$의 λ‹¨μœ„μ›μ„ $1$ ν˜Ήμ€ $1_A$ 와 같이 μ“°κΈ°λ‘œ ν•œλ‹€.β†©οΈŽ

  4. λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, 역원이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄ μœ μΌν•˜λ‹€. 이에 따라, $a$κ°€ 역원이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄ 이λ₯Ό $a^{-1}$κ³Ό 같이 μ“°κΈ°λ‘œ ν•œλ‹€.β†©οΈŽ