Minkowski λΆλ±μ
μ 리 1(Minkowski λΆλ±μ). μμ΄ $(a_n)_{n\in\SetN}$, $(b_n)_{n\in\SetN}$κ³Ό, $p\in [1,\infty)$μ λνμ¬, $\sum_{i=0}^{\infty} |a_i|^p, \sum_{i=0}^{\infty} |b_i|^p < \infty$ λΌκ³ νλ©΄, λ€μ λΆλ±μμ΄ μ±λ¦½νλ€.
$$ \left( \sum_{i=0}^{\infty} |a_i + b_i|^p \right)^{1/p} \leq \left( \sum_{i=0}^{\infty} |a_i|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{i=0}^{\infty} |b_i|^p \right)^{1/p}. $$
λν, λ±νΈλ $\exists(\lambda,\mu)\in \SetR^2_{\geq0}\setminus\left\{ (0,0) \right\},\forall n\in\SetN; \lambda a_n = \mu b_n$μΌ λμ ννμ¬ μ±λ¦½νλ€. β
μ¦λͺ . $\|a_n\|_p \coloneqq (\sum_{n=0}^{\infty} |a_n|^p)^{1/p}$, $\|b_n\|_p \coloneqq (\sum_{n=0}^{\infty} |b_n|^p)^{1/p}$ λΌκ³ νμ. $\| a_n + b_n \|_p \leq \|a_n\|_p + \|b_n\|_p$κ° μ±λ¦½νλ κ²μ 보μ΄λ©΄ λλ€.
μ°μ , $p=1$μ΄λΌλ©΄, $\|a_n\|_p = \sum_{i=0}^{\infty} |a_i|$μ΄λ―λ‘,
$$ \|a_n + b_n\|_p = \sum_{i=0}^{\infty} |a_i + b_i| \leq \sum_{i=0}^{\infty} |a_i| + \sum_{i=0}^{\infty} |b_i| = \|a_n\|_p + \|b_n\|_p $$
κ° μ±λ¦½νλ κ²μ μ½κ² νμΈν μ μλ€.
λ€μμΌλ‘, $p>1$μΈ κ²½μ°λ₯Ό μκ°νμ. μ°μ , $\|a_n + b_n\|_p^p = \sum_{i=0}^{\infty} |a_i+b_i|^p < 0$μΈ κ²μ 보μ΄μ. $f(x) = x^p$λ, $x\in\SetR_{> 0}$μμ λ³Όλ‘ν ν¨μμΈ κ²μ λ°λ‘ νμΈν μ μμΌλ―λ‘, κ° $i\in\SetN$μ λνμ¬,
$$ \left|\frac{a_i + b_i}{2}\right|^p \leq \left|\frac{|a_i|+|b_i|}{2}\right|^p \leq \frac{|a_i|^p}{2} + \frac{|b_i|^p}{2}. $$
λ°λΌμ, $|a_i+b_i|^p\leq2^{p-1}(|a_i|^p+|b_i|^p)$, $\|a_n + b_n\|_p^p\leq 2^{p-1} (\|a_n\|_p^p + \|b_n\|_p^p) < \infty$μ΄λ€.
$\|a_n + b_n\|_p = 0$μΈ κ²½μ°, λΆλ±μμ΄ μ±λ¦½νλ κ²μ μλͺ νλ―λ‘, $\|a_n + b_n\|_p>0$μΈ κ²½μ°λ§μ μκ°νμ. $1/p + 1/q = 1$μ΄ λλλ‘ $q\in [1,\infty)$λ₯Ό μ νλ©΄, HΓΆlder λΆλ±μμ μνμ¬
$$ \begin{aligned} \| a_n + b_n\|_p^p &= \sum_{i=0}^{\infty} |a_i + b_i|^p = \sum_{i=0}^{\infty} |a_i+b_i|\cdot|a_i+b_i|^{p-1} \\ &\leq\sum_{i=0}^{\infty} |a_i|\cdot|a_i+b_i|^{p-1} + \sum_{i=0}^{\infty}|b_i|\cdot|a_i+b_i|^{p-1} \\ &\leq\left\{ \left(\sum_{i=0}^{\infty}|a_i|^p \right)^{1/p} +\left(\sum_{i=0}^{\infty}|b_i|^p\right)^{1/p}\right\}\left(\sum_{i=0}^{\infty}|a_i+b_i|^{q(p-1)}\right)^{1/q}\\ &=\left(\|a_n\|_p + \|b_n\|_p\right)\left(\sum_{i=0}^{\infty}|a_i+b_i|^{p}\right)^{1-1/p}\\ &=\left(\|a_n\|_p + \|b_n\|_p\right)\frac{\|a_n+b_n\|_p^p}{\|a_n+b_n\|_p} \end{aligned} $$
κ° μ±λ¦½νλ κ²μ μ μ μμΌλ―λ‘, $\|a_n+b_n\|_p \leq \|a_n\|_p+\|b_n\|_p$λ₯Ό μ»λλ€.
$\exists(\lambda,\mu)\in \SetR^2_{\geq0}\setminus\left\{ (0,0) \right\},\forall n\in\SetN; \lambda a_n = \mu b_n$ μ΄ μ±λ¦½νλ€λ©΄, λ±νΈκ° μ±λ¦½νλ κ²μ μ½κ² νμΈν μ μλ€. μμΌλ‘, λ±νΈκ° μ±λ¦½νλ€λ©΄, μμ 첫λ²μ§Έ λΆλ±μ($|a_i+b_i|\leq |a_i| + |b_i|$λ₯Ό μ΄μ©νλ λΆλΆ)μμ λ±νΈκ° μ±λ¦½ν΄μΌ νλ―λ‘, κ° $i\in\SetN$μ λνμ¬ $a_i$μ $b_i$μ μ μ΄λ ν μͺ½μ΄ $0$μ΄κ±°λ, $a_i$μ $b_i$μ λΆνΈκ° κ°μμΌ νλ€. λν, λλ²μ§Έ λΆλ±μμμλ λ±νΈκ° μ±λ¦½νμ¬μΌ νλ―λ‘, HΓΆlder λΆλ±μμ λ±νΈμ±λ¦½μ‘°κ±΄μ μνμ¬, $\exists(\lambda’,\mu’)\in \SetR^2_{\geq0}\setminus\left\{ (0,0) \right\},\forall n\in\SetN; \lambda’ |a_n|^p = \mu’ |a_n+b_n|^p$. μ΄λ₯Ό μ’ ν©νλ©΄, $\lambda = \lambda’-\mu’$, $\mu = \mu’$λ‘ λμ΄, μμμ μ μν μ‘°κ±΄μ΄ λ±νΈκ° μ±λ¦½ν νμ쑰건μ΄λΌλ κ²κΉμ§ νμΈν μ μλ€. $\square$
μ΄ ν¬μ€νΈμμλβ¦
- Minkowski λΆλ±μμ΄ μ±λ¦½νλ κ²μ 보μλ€.