Minkowski 뢀등식

Minkowski 뢀등식

정리 1(Minkowski 뢀등식). μˆ˜μ—΄ $(a_n)_{n\in\SetN}$, $(b_n)_{n\in\SetN}$κ³Ό, $p\in [1,\infty)$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\sum_{i=0}^{\infty} |a_i|^p, \sum_{i=0}^{\infty} |b_i|^p < \infty$ 라고 ν•˜λ©΄, λ‹€μŒ 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•œλ‹€.

$$ \left( \sum_{i=0}^{\infty} |a_i + b_i|^p \right)^{1/p} \leq \left( \sum_{i=0}^{\infty} |a_i|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{i=0}^{\infty} |b_i|^p \right)^{1/p}. $$

λ˜ν•œ, λ“±ν˜ΈλŠ” $\exists(\lambda,\mu)\in \SetR^2_{\geq0}\setminus\left\{ (0,0) \right\},\forall n\in\SetN; \lambda a_n = \mu b_n$일 λ•Œμ— ν•œν•˜μ—¬ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

증λͺ…. $\|a_n\|_p \coloneqq (\sum_{n=0}^{\infty} |a_n|^p)^{1/p}$, $\|b_n\|_p \coloneqq (\sum_{n=0}^{\infty} |b_n|^p)^{1/p}$ 라고 ν•˜μž. $\| a_n + b_n \|_p \leq \|a_n\|_p + \|b_n\|_p$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 보이면 λœλ‹€.

μš°μ„ , $p=1$이라면, $\|a_n\|_p = \sum_{i=0}^{\infty} |a_i|$μ΄λ―€λ‘œ,

$$ \|a_n + b_n\|_p = \sum_{i=0}^{\infty} |a_i + b_i| \leq \sum_{i=0}^{\infty} |a_i| + \sum_{i=0}^{\infty} |b_i| = \|a_n\|_p + \|b_n\|_p $$

κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 μ‰½κ²Œ 확인할 수 μžˆλ‹€.

λ‹€μŒμœΌλ‘œ, $p>1$인 경우λ₯Ό μƒκ°ν•˜μž. μš°μ„ , $\|a_n + b_n\|_p^p = \sum_{i=0}^{\infty} |a_i+b_i|^p < 0$인 것을 보이자. $f(x) = x^p$λŠ”, $x\in\SetR_{> 0}$μ—μ„œ λ³Όλ‘ν•œ ν•¨μˆ˜μΈ 것을 λ°”λ‘œ 확인할 수 μžˆμœΌλ―€λ‘œ, 각 $i\in\SetN$에 λŒ€ν•˜μ—¬,

$$ \left|\frac{a_i + b_i}{2}\right|^p \leq \left|\frac{|a_i|+|b_i|}{2}\right|^p \leq \frac{|a_i|^p}{2} + \frac{|b_i|^p}{2}. $$

λ”°λΌμ„œ, $|a_i+b_i|^p\leq2^{p-1}(|a_i|^p+|b_i|^p)$, $\|a_n + b_n\|_p^p\leq 2^{p-1} (\|a_n\|_p^p + \|b_n\|_p^p) < \infty$이닀.

$\|a_n + b_n\|_p = 0$인 경우, 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 자λͺ…ν•˜λ―€λ‘œ, $\|a_n + b_n\|_p>0$인 κ²½μš°λ§Œμ„ μƒκ°ν•˜μž. $1/p + 1/q = 1$이 λ˜λ„λ‘ $q\in [1,\infty)$λ₯Ό μ •ν•˜λ©΄, HΓΆlder 뢀등식에 μ˜ν•˜μ—¬

$$ \begin{aligned} \| a_n + b_n\|_p^p &= \sum_{i=0}^{\infty} |a_i + b_i|^p = \sum_{i=0}^{\infty} |a_i+b_i|\cdot|a_i+b_i|^{p-1} \\ &\leq\sum_{i=0}^{\infty} |a_i|\cdot|a_i+b_i|^{p-1} + \sum_{i=0}^{\infty}|b_i|\cdot|a_i+b_i|^{p-1} \\ &\leq\left\{ \left(\sum_{i=0}^{\infty}|a_i|^p \right)^{1/p} +\left(\sum_{i=0}^{\infty}|b_i|^p\right)^{1/p}\right\}\left(\sum_{i=0}^{\infty}|a_i+b_i|^{q(p-1)}\right)^{1/q}\\ &=\left(\|a_n\|_p + \|b_n\|_p\right)\left(\sum_{i=0}^{\infty}|a_i+b_i|^{p}\right)^{1-1/p}\\ &=\left(\|a_n\|_p + \|b_n\|_p\right)\frac{\|a_n+b_n\|_p^p}{\|a_n+b_n\|_p} \end{aligned} $$

κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆμœΌλ―€λ‘œ, $\|a_n+b_n\|_p \leq \|a_n\|_p+\|b_n\|_p$λ₯Ό μ–»λŠ”λ‹€.

$\exists(\lambda,\mu)\in \SetR^2_{\geq0}\setminus\left\{ (0,0) \right\},\forall n\in\SetN; \lambda a_n = \mu b_n$ 이 μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, λ“±ν˜Έκ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 μ‰½κ²Œ 확인할 수 μžˆλ‹€. μ—­μœΌλ‘œ, λ“±ν˜Έκ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, μœ„μ˜ 첫번째 뢀등식($|a_i+b_i|\leq |a_i| + |b_i|$λ₯Ό μ΄μš©ν•˜λŠ” λΆ€λΆ„)μ—μ„œ λ“±ν˜Έκ°€ 성립해야 ν•˜λ―€λ‘œ, 각 $i\in\SetN$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $a_i$와 $b_i$의 적어도 ν•œ μͺ½μ΄ $0$μ΄κ±°λ‚˜, $a_i$와 $b_i$의 λΆ€ν˜Έκ°€ κ°™μ•„μ•Ό ν•œλ‹€. λ˜ν•œ, λ‘λ²ˆμ§Έ λΆ€λ“±μ‹μ—μ„œλ„ λ“±ν˜Έκ°€ μ„±λ¦½ν•˜μ—¬μ•Ό ν•˜λ―€λ‘œ, HΓΆlder λΆ€λ“±μ‹μ˜ λ“±ν˜Έμ„±λ¦½μ‘°κ±΄μ— μ˜ν•˜μ—¬, $\exists(\lambda’,\mu’)\in \SetR^2_{\geq0}\setminus\left\{ (0,0) \right\},\forall n\in\SetN; \lambda’ |a_n|^p = \mu’ |a_n+b_n|^p$. 이λ₯Ό μ’…ν•©ν•˜λ©΄, $\lambda = \lambda’-\mu’$, $\mu = \mu’$둜 두어, μœ„μ—μ„œ μ œμ‹œν•œ 쑰건이 λ“±ν˜Έκ°€ 성립할 ν•„μš”μ‘°κ±΄μ΄λΌλŠ” κ²ƒκΉŒμ§€ 확인할 수 μžˆλ‹€. $\square$

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • Minkowski 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 λ³΄μ˜€λ‹€.

HΓΆlder 뢀등식

HΓΆlder 뢀등식

정리 1(HΓΆlder 뢀등식). μˆ˜μ—΄ $(a_n)_{n\in\SetN}$, $(b_n)_{n\in\SetN}$κ³Ό, ${1}/{p}+{1}/{q} = 1$λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” νŒŒλΌλ―Έν„° $p,q\in (1,\infty)$에 λŒ€ν•˜μ—¬, μš°λ³€μ˜ κΈ‰μˆ˜κ°€ μˆ˜λ ΄ν•˜λŠ” ν•œ, λ‹€μŒ 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•œλ‹€.

$$ \sum_{n=0}^{\infty} |a_nb_n| \leq \left( \sum_{n=0}^{\infty} |a_n|^p \right)^{{1}/{p}}\left( \sum_{n=0}^{\infty} |b_n|^q \right)^{{1}/{q}}. $$

λ˜ν•œ, λ“±ν˜ΈλŠ” $\exists (\lambda,\mu)\in\SetR_{\geq 0}^2\setminus \left\{ (0,0) \right\}, \forall n\in\SetN; \lambda|a_n|^p = \mu|b_n|^q$ 일 λ•Œμ— ν•œν•˜μ—¬ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

증λͺ…. μš°λ³€μ˜ κΈ‰μˆ˜κ°€ μˆ˜λ ΄ν•˜λ―€λ‘œ, $\|a_n\|_p \coloneqq \left(\sum_{n=0}^{\infty} |a_n|^p\right)^{{1}/{p}}$, $\|b_n\|_q \coloneqq \left( \sum_{n=0}^{\infty} |b_n|^q \right)^{{1}/{q}}$둜 두도둝 ν•˜μž. $\|a_n\|_p=0$ ν˜Ήμ€ $\|b_n\|_q=0$ 인 경우, 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 λΆ„λͺ…ν•˜λ―€λ‘œ, $\|a_n\|_p, \|b_n\|_q>0$인 κ²½μš°λ§Œμ„ μƒκ°ν•˜λ„λ‘ ν•˜μž. Young 뢀등식에 μ˜ν•˜μ—¬ 각 $i\in\SetN$에 λŒ€ν•˜μ—¬

$$ \frac{|a_i|}{\|a_n\|_p}\cdot \frac{|b_i|}{\|b_n\|_q} \leq \frac{1}{p} \left( \frac{|a_i|}{\|a_n\|_p} \right)^p + \frac{1}{q} \left( \frac{|b_i|}{\|b_n\|_q} \right)^q $$

κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. λ”°λΌμ„œ,

$$ \begin{aligned} \frac{ \sum_{i=0}^{\infty} |a_ib_i| }{\|a_n\|_p\cdot\|b_n\|_q} &= \sum_{i=0}^{\infty} \frac{|a_i|}{\|a_n\|_p}\cdot \frac{|b_i|}{\|b_n\|_q} \\ &\leq \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{p} \left( \frac{|a_i|}{\|a_n\|_p} \right)^p + \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{q} \left( \frac{|b_i|}{\|b_n\|_q} \right)^q \\ &= \frac{1}{p}\cdot\frac{1}{\|a_n\|^p_p} \sum_{i=0}^{\infty} |a_i|^p + \frac{1}{q}\cdot\frac{1}{\|b_n\|^q_q} \sum_{i=0}^{\infty} |b_i|^q \\ &= \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. \end{aligned} $$

$\sum_{n=0}^{\infty} |a_nb_n| \leq \|a_n\|_p\cdot\|b_n\|_q= \left( \sum_{n=0}^{\infty} |a_n|^p \right)^{{1}/{p}}\left( \sum_{n=0}^{\infty} |b_n|^q \right)^{{1}/{q}}$ 이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€.

$\lambda \coloneqq \|b_n\|_q^q \geq 0$, $\mu \coloneqq \|a_n\|_p^p\geq 0$으둜 두어, λͺ¨λ“  $n\in\SetN$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\lambda|a_n|^p = \mu|b_n|^q$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, Young λΆ€λ“±μ‹μ˜ λ“±ν˜Έμ„±λ¦½μ‘°κ±΄μ— μ˜ν•˜μ—¬ λ“±ν˜Έκ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. μ—­μœΌλ‘œ, μ–΄λ–€ $n_0\in\SetN$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬, $\lambda |a_{n_0}|^p \neq \mu |b_{n_0}|^q$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€κ³  ν•˜λ©΄, Young λΆ€λ“±μ‹μ˜ λ“±ν˜Έμ„±λ¦½μ‘°κ±΄μ— μ˜ν•˜μ—¬

$$ \frac{|a_{n_0}|}{\|a_n\|_p}\cdot \frac{|b_{n_0}|}{\|b_n\|_q} < \frac{1}{p} \left( \frac{|a_{n_0}|}{\|a_n\|_p} \right)^p + \frac{1}{q} \left( \frac{|b_{n_0}|}{\|b_n\|_q} \right)^q $$

μ΄λ―€λ‘œ, λ“±ν˜Έκ°€ μ„±λ¦½ν•˜μ§€ μ•ŠμŒμ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. $\square$

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • HΓΆlder 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 λ³΄μ˜€λ‹€.

Young 뢀등식

Young 뢀등식

정리 1(Young 뢀등식). $1/p + 1/q = 1$을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” νŒŒλΌλ―Έν„° $p,q\in (1,\infty)$와, μ‹€μˆ˜ $a,b\geq 0$에 λŒ€ν•˜μ—¬, λ‹€μŒ 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•œλ‹€.

$$ ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} $$

λ˜ν•œ, λ“±ν˜ΈλŠ” $a^p=b^q$인 κ²½μš°μ— ν•œν•˜μ—¬ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

증λͺ…. $A \coloneqq a^p$, $B \coloneqq b^q$, $\theta \coloneqq 1/p$ 둜 λ‘μž. μ—¬κΈ°μ„œ, $A = 0$ ν˜Ήμ€ $B = 0$인 κ²½μš°μ— λŒ€ν•΄μ„œλŠ” 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것이 λΆ„λͺ…ν•˜λ―€λ‘œ, $A, B>0$인 κ²½μš°λ§Œμ„ μƒκ°ν•˜μž.

μš°μ„ , 주어진 쑰건에 μ˜ν•˜μ—¬ $1/q = 1-\theta$이닀. λ˜ν•œ, $\theta = 1/p \in (0,1)$μ΄λ―€λ‘œ, $A\neq B$라면, $\log x$λŠ” 쒁은 의미둜 였λͺ©ν•œ ν•¨μˆ˜μ΄λ―€λ‘œ12,

$$ \log A^\theta B^{1-\theta} = \theta\log A + (1-\theta)\log B < \log (\theta A + (1-\theta)B ) $$

κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. λ”°λΌμ„œ,

$$ ab = A^\theta B^{1-\theta} < \theta A + (1-\theta)B = \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} $$

μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ˜ν•œ, $A=B$일 λ•Œ $ab = a^p/p + b^q/q$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 자λͺ…ν•˜λ―€λ‘œ, λΆ€λ“±μ‹μ˜ λ“±ν˜Έκ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” κ²½μš°λŠ” $a^p = A = B = b^q$일 λ•Œμ— ν•œν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. $\square$

λ³„λ„μ˜ 증λͺ…. $b\geq 0$λ₯Ό κ³ μ •ν•˜μ—¬, $f(a) \coloneqq ({a^p}/{p}+{b^q}/{q})-ab$라고 μ •μ˜ν•˜μž. κ·Έλ ‡λ‹€λ©΄, $p>1$λ‘œλΆ€ν„°, $f'(a) = a^{p-1}-b$λ₯Ό μ–»μœΌλ―€λ‘œ, $a=b^{{1}/(p-1)}$, 즉 $a^p = b^q$ 일 λ•Œ μ΅œμ†Ÿκ°’ $0$λ₯Ό μ–»λŠ”λ‹€λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. $\square$

μ£Ό. 사싀, $p,q\in (1,\infty)$둜 λ‘˜ λ•Œ, $M,N>0$ 이 μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬, λͺ¨λ“  $a,b\geq 0$ 에 λŒ€ν•˜μ—¬ $ab\leq Ma^p+ Nb^q$ 이 μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, ${1}/{p}+{1}/{q} = 1$ κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. λ”°λΌμ„œ, ${1}/{p}+{1}/{q}=1$ 은 $M,N>0$ 이 μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬, λͺ¨λ“  $a,b\geq 0$ 에 λŒ€ν•˜μ—¬ $ab\leq Ma^p+ Nb^q$ 일 ν•„μš”μ‘°κ±΄μ΄λ‹€.

λ§Œμ•½, $M,N>0$ 이 μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬ λͺ¨λ“  $a,b\geq 0$ 에 λŒ€ν•˜μ—¬ $ab\leq Ma^p+ Nb^q$ 인 λ™μ‹œμ—, ${1}/{p}+{1}/{q} \neq 1$ 이라고 κ°€μ •ν•œλ‹€λ©΄, $(p-1)(q-1)\neq 1$ 이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ˜ν•œ λͺ¨λ“  $a,b\geq 0$ 에 λŒ€ν•˜μ—¬ $Nb^q \geq ab-Ma^p$ κ°€ 성립할 κ²ƒμ΄λ―€λ‘œ, $t>0$ 으둜 두어, $a = t$, $b = pMt^{p-1}$ 을 λŒ€μž…ν•˜λ©΄, μž„μ˜μ˜ $t>0$ 에 λŒ€ν•˜μ—¬ $N(pM)^q\cdot t^{(p-1)q} = N(pMt^{p-1})^q\geq pMt^p – Mt^p = (p-1)Mt^p$ κ°€ 성립함을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. μ—¬κΈ°μ„œ $p-1>0$μ΄λ―€λ‘œ, $\frac{N(pM)^q}{(p-1)M}\geq t^{p-(p-1)q} = t^{1-(p-1)(q-1)}$κ°€ 성립, $t^{1-(p-1)(q-1)}$이 $t>0$μ—μ„œ μœ„λ‘œ μœ κ³„μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. ν•˜μ§€λ§Œ, κ°€μ •μœΌλ‘œλΆ€ν„° $1-(p-1)(q-1) \neq 0$, $t^{1-(p-1)(q-1)}$은 $t>0$μ—μ„œ μœ κ³„μ΄μ§€ μ•ŠμœΌλ―€λ‘œ, μ΄λŠ” λͺ¨μˆœμ΄λ‹€. λ”°λΌμ„œ ${1}/{p} + {1}/{q} = 1$. β€”

$p = q = 2$인 κ²½μš°μ— ν•œμ •ν•˜λ©΄, λ‹€μŒ 따름정리λ₯Ό μ–»λŠ”λ‹€.

따름정리 2. μ‹€μˆ˜ $a,b$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $2ab \leq a^2 + b^2$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. λ˜ν•œ λ“±ν˜ΈλŠ” $a=b$에 ν•œν•˜μ—¬ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • Young 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 λ³΄μ˜€λ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • 杉桦 ε…‰ε€«οΌŒγ€Žθ§£ζžε…₯ι–€ Iγ€οΌŒζ±δΊ¬ε€§ε­¦ε‡Ίη‰ˆδΌšοΌŒ1980.
  • 松坂 ε’Œε€«οΌŒγ€Žι›†εˆγƒ»δ½η›Έε…₯ι–€γ€οΌŒε²©ζ³’ζ›ΈεΊ—οΌŒ1968.

  1. $\SetR$의 ꡬ간 $I$μ—μ„œ μ •μ˜λœ μ‹€ν•¨μˆ˜ $f(x)$κ°€ 였λͺ©ν•œconcave ν•¨μˆ˜λž€, μž„μ˜μ˜ $a,b\in I$, $t\in (0,1)$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $f(ta + (1-t)b) \geq tf(a) + (1-t)f(b)$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” ν•¨μˆ˜λ₯Ό μ˜λ―Έν•œλ‹€. 특히, $f(ta + (1-t)b) > tf(a) + (1-t)f(b)$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, $f(x)$λŠ” 쒁은 의미둜 였λͺ©strictlyΒ concaveν•˜λ‹€κ³  ν•œλ‹€. λΆ€λ“±μ‹μ˜ λ°©ν–₯이 λ°˜λŒ€μΈ 경우, 각각 λ³Όλ‘ν•œconvex ν•¨μˆ˜, 쒁은 의미둜 λ³Όλ‘ν•œstrictlyΒ convex ν•¨μˆ˜λΌκ³  ν•œλ‹€.β†©οΈŽ

  2. $\log x$κ°€ 쒁은 의미둜 였λͺ©ν•œ ν•¨μˆ˜λΌλŠ” 것은, $x>0$일 λ•Œ $(\log x)”= -1/x^2 < 0$이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것과, $\log x$의 2μ°¨κΉŒμ§€μ˜ Taylor μ „κ°œλ₯Ό μ΄μš©ν•˜μ—¬ μ‰½κ²Œ 보일 수 μžˆλ‹€.β†©οΈŽ