μˆœμ„œλ‹¨μ‚¬, μˆœμ„œλ™ν˜•

μˆœμ„œλ‹¨μ‚¬, μˆœμ„œλ™ν˜•μ˜ μ •μ˜

μ •μ˜ 1(μˆœμ„œλ₯Ό λ³΄μ‘΄ν•˜λŠ” 사상). $(A,\leq)$, $(A’,\leq’)$λ₯Ό μˆœμ„œμ§‘ν•©μ΄λΌκ³  ν•˜μž. 사상 $f\colon A\to A’$κ°€ μž„μ˜μ˜ $a\leq b$인 $a,b\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $f(a)\leq f(b)$ 이라면, $f$λŠ” $A$μ—μ„œ $A’$둜의 μˆœμ„œλ₯Ό λ³΄μ‘΄ν•˜λŠ” 사상 ν˜Ήμ€ 단쑰사상monotoneΒ function이라고 ν•œλ‹€. β€”

λͺ…μ œ 1. $(A,\leq)$, $(A’,\leq’)$λ₯Ό μˆœμ„œμ§‘ν•©, $f\colon A\to A’$λ₯Ό μˆœμ„œλ₯Ό λ³΄μ‘΄ν•˜λŠ” 사상이라고 ν•  λ•Œ, μž„μ˜μ˜ $a,b\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $f(a)\leq f(b)\Rarr a\leq b$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, $f$λŠ” 단사이닀. β€”

증λͺ…. $f(a)=f(b)$라고 ν•œλ‹€λ©΄, $f(a)\leq f(b)$, λ”°λΌμ„œ $a\leq b$이닀. λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ $f(a)\geq f(b)$μ΄λ―€λ‘œ, $a\geq b$. λ”°λΌμ„œ $a=b$. $\square$

μ •μ˜ 2. $(A,\leq)$, $(A’,\leq’)$λ₯Ό μˆœμ„œμ§‘ν•©μ΄λΌκ³  ν•  λ•Œ, λͺ…μ œ 1κ³Ό 같이 μž„μ˜μ˜ $a,b\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $f(a)\leq f(b)\Rarr a\leq b$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” μˆœμ„œλ₯Ό λ³΄μ‘΄ν•˜λŠ” 사상 $f\colon A\to A’$λ₯Ό μˆœμ„œλ‹¨μ‚¬orderΒ embedding라고 ν•œλ‹€. β€”

μ •μ˜ 3. $(A,\leq)$, $(A’,\leq’)$λ₯Ό μˆœμ„œμ§‘ν•©, $f:A\to A’$λ₯Ό μˆœμ„œλ‹¨μ‚¬λΌκ³  ν•  λ•Œ, $f$κ°€ 전사라면 $f$λŠ” μˆœμ„œλ™ν˜•orderΒ isomorphism이라고 ν•œλ‹€. β€”

μˆœμ„œλ™ν˜•μ€ 전단사이고, κ·Έ 역사상도 μˆœμ„œλ™ν˜•μ΄λ‹€. $(A,\leq)$μ—μ„œ $(A’,\leq’)$둜의 μˆœμ„œλ™ν˜•μ΄ ν•˜λ‚˜ 이상 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, $A\cong A’$와 같이 λ‚˜νƒ€λ‚΄μ–΄, $A$와 $A’$λŠ” μˆœμ„œλ™ν˜•μΈ μˆœμ„œμ§‘ν•©μ΄λΌκ³  ν•œλ‹€.

λͺ…μ œ 2. μˆœμ„œμ§‘ν•© $(A,\leq)$, $(A’,\leq’)$, $(A”,\leq”)$에 λŒ€ν•˜μ—¬ λ‹€μŒμ΄ μ„±λ¦½ν•œλ‹€.

  1. $(A,\leq)\cong(A,\leq)$.
  2. $(A,\leq)\cong(A’,\leq’)$이라면, $(A’,\leq’)\cong(A,\leq)$.
  3. $(A,\leq)\cong(A’,\leq’)$이고 $ (A’,\leq’)\cong(A”,\leq”)$이라면, $(A,\leq)\cong(A”,\leq”)$. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • μˆœμ„œλ₯Ό λ³΄μ‘΄ν•˜λŠ” 사상, μˆœμ„œλ‹¨μ‚¬, μˆœμ„œλ™ν˜•μ„ μ •μ˜ν–ˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • 松坂 ε’Œε€«οΌŒγ€Žι›†εˆγƒ»δ½η›Έε…₯ι–€γ€οΌŒε²©ζ³’ζ›ΈεΊ—οΌŒ1968.
  • ε†…η”° δΌδΈ€οΌŒγ€Žι›†εˆγ¨δ½η›Έγ€οΌŒθ£³θ―ζˆΏοΌŒ1986.

μˆœμ„œ

μˆœμ„œ, μ „μˆœμ„œ

μ •μ˜ 1(μˆœμ„œμ˜ 곡리). 곡집합이 μ•„λ‹Œ 집합 $A$의 이항관계 $\leq$κ°€ λ‹€μŒ 쑰건을 λ§Œμ‘±ν•œλ‹€λ©΄, $\leq$λŠ” $A$의 μˆœμ„œorder이고, $(A,\leq)$λŠ” μˆœμ„œμ§‘ν•©μ΄λΌκ³  ν•œλ‹€.

  1. λ°˜μ‚¬λ²•μΉ™ β€” μž„μ˜μ˜ $a\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $a\leq a$.
  2. λ°˜λŒ€μΉ­λ²•μΉ™ β€” μž„μ˜μ˜ $a,b\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $a\leq b$인 λ™μ‹œμ— $b\leq a$이면, $a=b$이닀.
  3. 좔이법칙 β€” μž„μ˜μ˜ $a,b,c\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $a\leq b$인 λ™μ‹œμ— $b\leq c$이면, $a\leq c$이닀. β€”

예 1. $\SetN$, $\SetZ$, $\SetQ$, $\SetR$ 상에 주어진 톡상적인 μˆœμ„œλŠ” μˆœμ„œμ˜ 곡리λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•œλ‹€. μ•žμœΌλ‘œλ„ λ³„λ„μ˜ μ–ΈκΈ‰ 없이 μˆœμ„œμ§‘ν•©μœΌλ‘œμ„œ $\SetN$, $\SetZ$, $\SetQ$, $\SetR$λ₯Ό μ‚¬μš©ν•œλ‹€λ©΄, 톡상적인 μˆœμ„œλ₯Ό μ˜λ―Έν•˜λŠ” κ²ƒμœΌλ‘œ ν•œλ‹€. β€”

예 2. $\SetZ_{>0}$ μƒμ—μ„œ, $b\in\SetZ_{>0}$κ°€ $a\in\SetZ_{>0}$둜 λ‚˜λˆ„μ–΄ λ–¨μ–΄μ§ˆ λ•Œ, $a\mid b$라고 ν•˜λ©΄, β€œ$\mid$β€λŠ” μˆœμ„œμ΄λ‹€. β€”

예 3. $\mathfrak M$을 μž„μ˜μ˜ 집합계라고 ν•  λ•Œ, $\mathfrak M$ μƒμ˜ 이항관계인 포함관계 β€œ$\subset$”은 μˆœμ„œμ˜ 곡리λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•œλ‹€. β€”

μ£Ό. μˆœμ„œλ₯Ό λ‚˜νƒ€λ‚΄λŠ” μ΄ν•­κ΄€κ³„μ˜ κΈ°ν˜Έλ‘œλŠ” μ–΄λ–€ 것을 μ‚¬μš©ν•΄λ„ μƒκ΄€μ—†μ§€λ§Œ, $\leq$λŠ” κ·Έ μ€‘μ—μ„œλ„ 많이 μ‚¬μš©λ˜λŠ” 기호 쀑 ν•˜λ‚˜μ΄λ‹€. μ•žμœΌλ‘œλŠ” λ³„λ„μ˜ 언급이 μ—†λŠ” ν•œ 기호 $\leq$λŠ” μ •μ˜ 1의 곡리λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” μˆœμ„œκ΄€κ³„λ₯Ό λ‚˜νƒ€λ‚΄λŠ” κ²ƒμœΌλ‘œ ν•œλ‹€. λ˜ν•œ, 기호 $\leq$λ₯Ό μ‚¬μš©ν•  λ•Œμ—λŠ”, 기호 $\geq$, $<$, $>$λ₯Ό λ™μ‹œμ— λ„μž…ν•˜μ—¬:

  • β€œ$a\leq b$”와 β€œ$b\geq a$β€λŠ” 같은 의미
  • β€œ$a\leq b$인 λ™μ‹œμ— $a\neq b$”와 β€œ$a<b$”, β€œ$b>a$β€λŠ” 같은 의미

κ°€ λ˜λ„λ‘ ν•œλ‹€1. β€”

μ •μ˜ 2. μˆœμ„œμ§‘ν•© $(A,\leq)$κ°€ μ£Όμ–΄μ§ˆ λ•Œ, μž„μ˜μ˜ $a,b\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $a\leq b$λ‚˜ $a\geq b$ 쀑 적어도 ν•˜λ‚˜κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄2, $\leq$λŠ” $A$의 μ „μˆœμ„œtotalΒ order이고, $(A,\leq)$λŠ” μ „μˆœμ„œμ§‘ν•©μ΄λΌκ³  ν•œλ‹€. β€”

예 4. 예 1μ—μ„œμ˜ μˆœμ„œλŠ” μ „μˆœμ„œμ΄λ‹€. ν•˜μ§€λ§Œ 예 2와 예 3의 μˆœμ„œλŠ” μ „μˆœμ„œμ΄μ§€ μ•Šλ‹€. β€”

μ΅œλŒ€, μ΅œμ†Œ, κ·ΉλŒ€, κ·Ήμ†Œ

μ •μ˜ 3(μ΅œλŒ€, μ΅œμ†Œ). $(A,\leq)$λ₯Ό μˆœμ„œμ§‘ν•©μ΄λΌκ³  ν•˜μž. $a\in A$이고, μž„μ˜μ˜ $x\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $x\leq a$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, $a$λŠ” $A$의 μ΅œλŒ€greatest μ›μ†ŒλΌκ³  ν•œλ‹€. λ˜ν•œ, $b\in A$이고, μž„μ˜μ˜ $x\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $b\leq x$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, $b$λŠ” $A$의 μ΅œμ†Œleast μ›μ†ŒλΌκ³  ν•œλ‹€. β€”

μ£Ό.

  • λ‹Ήμ—°ν•˜μ§€λ§Œ, λͺ¨λ“  μˆœμ„œμ§‘ν•©μ— μ΅œλŒ€ ν˜Ήμ€ μ΅œμ†ŒμΈ μ›μ†Œκ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ§€λŠ” μ•ŠλŠ”λ‹€. $\SetN$μ—λŠ” μ΅œμ†Œ μ›μ†Œ $0$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ§€λ§Œ, μ΅œλŒ€ μ›μ†ŒλŠ” μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€. $\SetZ$, $\SetQ$, $\SetR$μ—λŠ” μ΅œμ†Œ μ›μ†Œμ™€ μ΅œλŒ€ μ›μ†Œκ°€ λͺ¨λ‘ μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€.
  • λ§Œμ•½ $A$의 μ΅œλŒ€ μ›μ†Œκ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, μ΄λŠ” μœ μΌν•˜λ‹€. μ‹€μ œλ‘œ $a,a’\in A$κ°€ λ™μ‹œμ— $A$의 μ΅œλŒ€ μ›μ†ŒλΌκ³  ν•œλ‹€λ©΄, μ •μ˜λ‘œλΆ€ν„° $a\leq a’$인 λ™μ‹œμ— $a’\leq a$μ΄λ―€λ‘œ $a=a’$이닀. λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ μ΅œμ†Œ μ›μ†Œκ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, μ΄λŠ” μœ μΌν•˜λ‹€. 이 사싀에 따라, $A$의 μ΅œλŒ€ μ›μ†Œ ν˜Ήμ€ μ΅œμ†Œ μ›μ†Œκ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, 각각을 $\max A$와 $\min A$둜 μ“°κΈ°λ‘œ ν•œλ‹€. β€”

μ •μ˜ 4(κ·ΉλŒ€, κ·Ήμ†Œ). $(A,\leq)$λ₯Ό μˆœμ„œμ§‘ν•©μ΄λΌκ³  ν•˜μž. $a\in A$이고, $a<x$인 $x\in A$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€λ©΄, $a$λŠ” $A$의 κ·ΉλŒ€maximal μ›μ†ŒλΌκ³  ν•œλ‹€. λ˜ν•œ, $b\in A$이고, μž„μ˜μ˜ $x\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $x<b$인 $x\in A$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€λ©΄, $b$λŠ” $A$의 κ·Ήμ†Œminimal μ›μ†ŒλΌκ³  ν•œλ‹€. β€”

λͺ…μ œ 1. $(A,\leq)$λ₯Ό μˆœμ„œμ§‘ν•©μ΄λΌκ³  ν•˜μž. $\max A$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, μ΄λŠ” $A$의 μœ μΌν•œ κ·ΉλŒ€ μ›μ†Œμ΄λ‹€. λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, $\min A$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, μ΄λŠ” $A$의 μœ μΌν•œ κ·Ήμ†Œ μ›μ†Œμ΄λ‹€. β€”

증λͺ…. $a=\max A$라고 ν•˜μž. μ •μ˜λ‘œλΆ€ν„° $a$κ°€ $A$의 κ·ΉλŒ€ μ›μ†ŒμΈ 것은 λΆ„λͺ…ν•˜λ‹€. λ˜ν•œ, $a\neq a’$인 $a’\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $a’\leq a$κ°€ 성립, $a'<a$μ΄λ―€λ‘œ, $a’$λŠ” κ·ΉλŒ€ μ›μ†ŒμΌ 수 μ—†λ‹€. λ”°λΌμ„œ $a$λŠ” $A$의 μœ μΌν•œ κ·ΉλŒ€ μ›μ†Œμ΄λ‹€. μ΅œμ†Œ μ›μ†Œμ— λŒ€ν•΄μ„œλ„ λ§ˆμ°¬κ°€μ§€. $\square$

μ£Ό.

  • μ΅œλŒ€/μ΅œμ†Œμ™€ λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, κ·ΉλŒ€/κ·Ήμ†ŒμΈ μ›μ†Œκ°€ 항상 μ‘΄μž¬ν•˜λ¦¬λΌλŠ” 보μž₯은 μ—†λ‹€.
  • λͺ…μ œ 1μ—μ„œ 보인 κ²ƒμ²˜λŸΌ μ΅œλŒ€/μ΅œμ†ŒμΈ μ›μ†Œκ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄ μ΄λŠ” 항상 μœ μΌν•œ κ·ΉλŒ€/κ·Ήμ†Œ μ›μ†Œκ°€ λ˜μ§€λ§Œ, μ΅œλŒ€/μ΅œμ†ŒμΈ μ›μ†Œκ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•Šμ•„λ„ κ·ΉλŒ€/κ·Ήμ†ŒμΈ μ›μ†Œκ°€ μ‘΄μž¬ν•  수 μžˆλ‹€. 이 경우, κ·ΉλŒ€/κ·Ήμ†ŒμΈ μ›μ†ŒλŠ” 볡수 μ‘΄μž¬ν•  수 μžˆλ‹€.
    • 예λ₯Ό λ“€μ–΄, 예 2의 μˆœμ„œλ₯Ό $\SetZ_{>1}$에 μ μš©ν•˜λ©΄, μ†Œμˆ˜μΈ μ›μ†ŒλŠ” κ·Ήμ†Œ μ›μ†Œκ°€ 되며, μ΄λŠ” 무수히 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€.
  • μ „μˆœμ„œμ§‘ν•©μ—μ„œλŠ” μ΅œλŒ€/μ΅œμ†ŒμΈ 것과 κ·ΉλŒ€/κ·Ήμ†ŒμΈ 것은 μ„œλ‘œ λ™μΉ˜μ΄λ‹€. β€”

상계, ν•˜κ³„, μƒν•œ, ν•˜ν•œ

μ •μ˜ 5(상계, ν•˜κ³„, μœ κ³„). $(A,\leq)$λ₯Ό μˆœμ„œμ§‘ν•©, $M$을 $M\neq\emptyset$인 $A$의 뢀뢄집합이라고 ν•˜μž.

  • $a\in A$이고, μž„μ˜μ˜ $x\in M$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $x\leq a$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, $a$λŠ” $M$의 상계upperΒ bound라고 ν•˜λ©°, 상계가 μ‘΄μž¬ν•˜λŠ” $A$의 뢀뢄집합을 μœ„λ‘œ μœ κ³„boundedΒ fromΒ above인 $A$의 뢀뢄집합이라고 ν•œλ‹€.
  • λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, $b\in A$이고, μž„μ˜μ˜ $x\in M$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $b\leq x$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, $b$λŠ” $M$의 ν•˜κ³„lowerΒ bound라고 ν•˜λ©°, ν•˜κ³„κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜λŠ” $A$의 뢀뢄집합을 μ•„λž˜λ‘œ μœ κ³„boundedΒ fromΒ below인 $A$의 뢀뢄집합이라고 ν•œλ‹€.
  • μœ„μ™€ μ•„λž˜λ‘œ λ™μ‹œμ— μœ κ³„μΈ $A$의 뢀뢄집합을 $A$의 μœ κ³„bounded인 뢀뢄집합이라고 ν•œλ‹€. β€”

λ‹Ήμ—°ν•˜μ§€λ§Œ, 뢀뢄집합 $M$을 μˆœμ„œμ§‘ν•©μœΌλ‘œ λ³Ό λ•Œ, $\max M$이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, $M$은 μœ„λ‘œ μœ κ³„μ΄λ‹€. ν•˜μ§€λ§Œ, $M$이 μœ„λ‘œ μœ κ³„μΈ μˆœμ„œμ§‘ν•©μ΄λΌκ³  해도 κ·Έ 상계가 $M$에 μ†ν•˜μ§€ μ•Šμ„ μˆ˜λ„ μžˆμœΌλ―€λ‘œ, 이 경우 $\max M$이 μ‘΄μž¬ν•˜λ¦¬λΌλŠ” 보μž₯은 μ—†λ‹€.

μˆœμ„œμ§‘ν•© $(A,\leq)$의 뢀뢄집합 $M$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $M$의 상계 μ „μ²΄μ˜ 집합을 $M^*$, ν•˜κ³„ μ „μ²΄μ˜ 집합을 $M_*$으둜 λ‚˜νƒ€λ‚Έλ‹€λ©΄, $M$이 μœ„λ‘œ μœ κ³„μΈ 것은 $M^*\neq\emptyset$인 것과 λ™μΉ˜μ΄λ‹€. λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, $M$이 μ•„λž˜λ‘œ μœ κ³„μΈ 것은 $M_*\neq\emptyset$κ³Ό λ™μΉ˜.

μ •μ˜ 6(μƒν•œ, ν•˜ν•œ). $(A,\leq)$λ₯Ό μˆœμ„œμ§‘ν•©, $M$을 $M\neq\emptyset$인 $A$의 뢀뢄집합이라고 ν•˜μž. $M$의 상계 μ „μ²΄μ˜ 집합 $M^*$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\min M^*$이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, 이λ₯Ό μƒν•œsupremum이라고 ν•˜μ—¬, $\sup M$와 같이 λ‚˜νƒ€λ‚Έλ‹€. λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, $M$의 ν•˜κ³„ μ „μ²΄μ˜ 집합 $M_*$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\min M_*$이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, 이λ₯Ό ν•˜ν•œinfimum이라고 ν•˜μ—¬, $\inf M$와 같이 λ‚˜νƒ€λ‚Έλ‹€. β€”

λͺ…μ œ 2. $(A,\leq)$λ₯Ό μˆœμ„œμ§‘ν•©, $M$을 $M\neq\emptyset$인 $A$의 뢀뢄집합이라고 ν•˜μž. $\max M$이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, μ΄λŠ” $\sup M$κ³Ό μΌμΉ˜ν•œλ‹€. μ—­μœΌλ‘œ, $\sup M$이 μ‘΄μž¬ν•˜λŠ” λ™μ‹œμ— $\sup M\in M$이라면, μ΄λŠ” $\max M$κ³Ό μΌμΉ˜ν•œλ‹€. λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, $\min M$κ³Ό $\inf M$에 λŒ€ν•΄μ„œλ„ 이와 같은 μ„±μ§ˆμ΄ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

증λͺ…. $a = \sup M$은 λ‹€μŒ 두 쑰건을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” 것과 λ™μΉ˜μ΄λ‹€.

  1. μž„μ˜μ˜ $x\in M$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $x\leq a$.
  2. $a’\in A$라고 ν•  λ•Œ, μž„μ˜μ˜ $x\in M$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $x\leq a’$라면 $a\leq a’$.

$a=\max M$이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, 쑰건 1을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” 것은 λ‹Ήμ—°ν•˜λ‹€. λ˜ν•œ, $a\in M$μ΄λ―€λ‘œ μž„μ˜μ˜ $x\in M$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $x\leq a’$인 $a’\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $a\leq a’$인 것 μ—­μ‹œ λ‹Ήμ—°. λ”°λΌμ„œ $a=\sup M$.

λ°˜λŒ€λ‘œ, $\sup M$이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, 1의 쑰건을 λ§Œμ‘±ν•˜κ³ , $\sup M\in M$μ΄λ―€λ‘œ, $\sup M = \max M$이닀. $\min M$κ³Ό $\inf M$에 λŒ€ν•΄μ„œλ„ λ§ˆμ°¬κ°€μ§€. $\square$

μ£Ό. $\max M$이 μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•Šλ”λΌλ„, $\sup M$이 μ‘΄μž¬ν•  수 μžˆλ‹€. 예λ₯Ό λ“€μ–΄, μˆœμ„œμ§‘ν•© $A=\SetR$의 뢀뢄집합 $M=(-\infty,0)$의 경우, $\max M$이 μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•Šμ§€λ§Œ, $\sup M=0$인 것을 확인할 수 μžˆλ‹€. μ‹€μ œλ‘œ, μž„μ˜μ˜ $\SetR$의 μœ„λ‘œ μœ κ³„μΈ 뢀뢄집합 $M$은 항상 μƒν•œ $\sup M$을 κ°–λŠ”λ‹€. μ΄λŸ¬ν•œ μ„±μ§ˆμ„ μ‹€μˆ˜μ˜ 연속성continuityΒ ofΒ realΒ numbers ν˜Ήμ€ μ‹€μˆ˜μ˜ 완비성이라고 ν•œλ‹€. β€”

예 5. μˆœμ„œμ§‘ν•© $\SetQ$의 뢀뢄집합 $M\coloneqq \left\{ x\in\SetQ\mid x>0, x^2<2 \right\}$λŠ” $\SetQ$ μƒμ—μ„œ μƒν•œμ„ 갖지 μ•ŠλŠ”λ‹€. λ§Œμ•½, μƒν•œ $a=\sup M$이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€κ³  κ°€μ •ν•œλ‹€λ©΄ $a>0$이고, $a^2=2$일 μˆ˜λŠ” μ—†μœΌλ―€λ‘œ $a^2<2$μ΄κ±°λ‚˜ $a^2>2$이닀.

  • $a^2<2$인 경우: $a\in M$μ΄λ―€λ‘œ, $a=\max M$이닀. ν•˜μ§€λ§Œ, $a’=(3a+4)/(2a+3)$으둜 두면, $a’\in M$인 λ™μ‹œμ— $a<a’$인 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. μ΄λŠ” λͺ¨μˆœ.
  • $a^2>2$인 경우: μ—­μ‹œ $a’=(3a+4)/(2a+3)$으둜 두면, $a’$λŠ” $M$의 상계인 λ™μ‹œμ— $a'<a$이닀. μ΄λŠ” $a$κ°€ μƒν•œμ΄λΌλŠ” 가정에 λͺ¨μˆœ.

λ”°λΌμ„œ $\sup M$은 μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • μˆœμ„œμ™€ μ „μˆœμ„œλ₯Ό μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • μˆœμ„œμ§‘ν•©μ˜ μ΅œλŒ€, μ΅œμ†Œ, κ·ΉλŒ€, κ·Ήμ†Œ μ›μ†Œμ˜ κ°œλ…μ„ μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • μˆœμ„œμ§‘ν•©κ³Ό κ·Έ 뢀뢄집합이 μ£Όμ–΄μ‘Œμ„ λ•Œμ˜ 상계, ν•˜κ³„, μƒν•œ, ν•˜ν•œμ˜ κ°œλ…μ„ μ •μ˜ν–ˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • 松坂 ε’Œε€«οΌŒγ€Žι›†εˆγƒ»δ½η›Έε…₯ι–€γ€οΌŒε²©ζ³’ζ›ΈεΊ—οΌŒ1968.

  1. 이 경우, $a<b$이면 $b<a$이지 μ•Šλ‹€. λ˜ν•œ $a<b$, $b<c$이면 $a<c$이닀.β†©οΈŽ

  2. β€œ$a<b$, $a=b$, $a>b$의 μ…‹ 쀑 ν•˜λ‚˜κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄β€μœΌλ‘œ λ°”κΎΈμ–΄ 말할 수 μžˆλ‹€. μ„Έ 쑰건 쀑 ν•˜λ‚˜κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, κ·Έ ν•˜λ‚˜λ§Œμ΄ μœ μΌν•˜κ²Œ μ„±λ¦½ν•œλ‹€.β†©οΈŽ

Zorn 보쑰정리

Zorn 보쑰정리

μ •μ˜ 1. μˆœμ„œμ§‘ν•© $(X,\leq)$κ°€ μ£Όμ–΄μ‘Œμ„ λ•Œ, μž„μ˜μ˜ μ „μˆœμ„œμΈ 뢀뢄집합이 μœ„λ‘œ μœ κ³„λΌλ©΄ $(X, \leq)$λŠ” 귀납적inductive이라고 ν•œλ‹€. β€”

정리 1(Zorn 보쑰정리, ZL). 귀납적인 μˆœμ„œμ§‘ν•©μ€ 적어도 ν•˜λ‚˜μ˜ κ·ΉλŒ€ μ›μ†Œλ₯Ό κ°–λŠ”λ‹€. β€”

증λͺ…. 선택곡리λ₯Ό κ°€μ •ν•œλ‹€.

$(X, \leq)$λ₯Ό 귀납적인 μˆœμ„œμ§‘ν•©μ΄λΌκ³  ν•˜μž. 이 λ•Œ, 선택곡리에 μ˜ν•˜μ—¬, $f(x)\in x$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 선택사상 $f: 2^X\setminus \left\{ \emptyset \right\}\to X$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€. μ—¬κΈ°μ„œ, $(X, \leq)$의 정렬뢀뢄집합인 $W$와 $a\in W$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\Delta(W,a)\coloneqq \left\{ x\in X\,|\, \forall b\in W \langle a \rangle; b<x\right\}$ 라고 두면, $a\in \Delta(W,a)$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. 주어진 선택사상 $f$에 μ˜ν•˜μ—¬, μž„μ˜μ˜ $a\in W$에 λŒ€ν•΄ $a = f(\Delta(W,a))$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, $W$κ°€ $f$-열인 정렬집합이라고 ν•˜μž. λ˜ν•œ, $f$-열인 정렬집합 μ „μ²΄μ˜ 집합을 $\mathfrak{F}$라고 ν•˜μž.

μš°μ„ , μž„μ˜μ˜ $W_1, W_2\in \mathfrak{F}$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $W_1 = W_2$μ΄κ±°λ‚˜, $W_1$κ³Ό $W_2$쀑 μ–΄λŠ ν•˜λ‚˜κ°€ λ‹€λ₯Έ ν•˜λ‚˜μ˜ 절편과 μΌμΉ˜ν•˜λŠ” 것을 보이자. $W_1$κ³Ό $W_2$λŠ” λͺ¨λ‘ 정렬집합이고, μ •λ ¬μ§‘ν•©μ˜ 비ꡐ정리에 μ˜ν•˜μ—¬, $W_1\cong W_2$ μ΄κ±°λ‚˜ $W_1$와 $W_2$ 쀑 μ–΄λŠ ν•˜λ‚˜κ°€ λ‹€λ₯Έ ν•˜λ‚˜μ˜ 절편과 μˆœμ„œλ™ν˜•μ„ 이룬닀. κ·Έ 쀑, $a\in W_2$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $W_1\cong W_2 \langle a \rangle$인 경우λ₯Ό κ³ λ €ν•˜μž. 이 λ•Œμ˜ μœ μΌν•œ μˆœμ„œλ™ν˜•μ‚¬μƒ $\phi: W_1\to W_2 \langle a \rangle$κ°€, $\phi(x) = x$, 즉 ν•­λ“±μ‚¬μƒμž„μ„ 보이면, $W_1=W_2\langle a \rangle$μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. $W_1’=\left\{ x\in W_1 \,|\, \phi(x) \neq x \right\}$둜 두어, $W_1’\neq\emptyset$이라고 κ°€μ •ν•œλ‹€λ©΄, $m =\min W_1’$이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€. $W_1’$κ³Ό $m$의 μ •μ˜μ— μ˜ν•˜μ—¬, $W_1 \langle m \rangle = W_2 \langle \phi(m) \rangle$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λ―€λ‘œ, $\Delta(W_1, m) = \Delta(W_2, \phi(m))$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. ν•˜μ§€λ§Œ, $W_1, W_2\in \mathfrak{F}$μ΄λ―€λ‘œ, $m = f(\Delta(W_1, m)) = f(\Delta(W_2, \phi(m))) = \phi(m)$이고, μ΄λŠ” $m\in W_1’$에 λͺ¨μˆœμ΄λ―€λ‘œ, $W_1’=\emptyset$이닀. λ”°λΌμ„œ $W_1=W_2\langle a \rangle$. $W_2$κ°€ $W_1$의 절편과 μˆœμ„œλ™ν˜•μΌ λ•Œ, ν˜Ήμ€ $W_1\cong W_2$일 λ•Œμ—λ„ 같은 λ°©λ²•μœΌλ‘œ μœ„μ˜ μ£Όμž₯이 성립함을 보일 수 μžˆλ‹€.

μœ„μ˜ 결과와, μ •λ ¬μ§‘ν•©μ˜ ꡬ성정리에 μ˜ν•˜μ—¬, $W_\infty\coloneqq \bigcup_{W\in\mathfrak{F}}W$μ—­μ‹œ 정렬집합이며, $W_\infty\in \mathfrak{F}$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€1. λ™μ‹œμ— $X$λŠ” 귀납적인 μˆœμ„œμ§‘ν•©, $W_\infty$λŠ” μ „μˆœμ„œμ§‘ν•©μ΄λ―€λ‘œ, 상계인 $w\in X$λ₯Ό κ°–λŠ”λ‹€.

$w$κ°€ κ·ΉλŒ€μΈ μ›μ†ŒλΌλŠ” 것을 보이기 μœ„ν•΄, $w < w’$인 $w’\in X$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€κ³  κ°€μ •ν•˜μž. $\Delta_\infty \coloneqq \left\{ x\in X \,|\, \forall b\in W_\infty;b<x\right\}\neq\emptyset$ 으둜 두면, $w’\in\Delta_\infty$μ΄λ―€λ‘œ, $\Delta_\infty\neq\emptyset$이닀. $x_0\coloneqq f(\Delta_\infty)$으둜 두면, $W_\infty’=W_\infty\cup\left\{ x_0 \right\}$ 은 정렬집합이고, $W_\infty’\langle x_0 \rangle = W_\infty$이닀. λ”°λΌμ„œ, $x_0=f(\Delta_\infty)=f(\Delta(W_\infty’,x_0))$μ΄λ―€λ‘œ, $W_\infty’\in\mathfrak F$ 이닀. ν•˜μ§€λ§Œ, $W_\infty\subsetneq W_\infty’$이고, μ΄λŠ” $W_\infty$의 μ •μ˜λ‘œλΆ€ν„° λͺ¨μˆœμž„을 μ•Œ 수 μžˆμœΌλ―€λ‘œ, $w\in X$λŠ” $X$의 κ·ΉλŒ€μ›μ†Œμ΄λ‹€. $\square$

μ£Ό. μœ„ 증λͺ…μ—μ„œ $W_\infty$의 상계인 $w\in X$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $w\in W_\infty$, $w=\max W_\infty$κ°€ 성립함을 μ‰½κ²Œ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ§Œμ•½ 그렇지 μ•Šλ‹€κ³  κ°€μ •ν•˜λ©΄, $w\in \Delta_\infty$이게 λ˜μ–΄, 증λͺ…μ—μ„œ 보인 것과 같은 λͺ¨μˆœμ΄ λ°œμƒν•˜κΈ° λ•Œλ¬Έμ΄λ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • μ„ νƒκ³΅λ¦¬λ‘œλΆ€ν„° Zorn 보쑰정리λ₯Ό 증λͺ…ν–ˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • 松坂 ε’Œε€«οΌŒγ€Žι›†εˆγƒ»δ½η›Έε…₯ι–€γ€οΌŒε²©ζ³’ζ›ΈεΊ—οΌŒ1968.
  • ε†…η”° δΌδΈ€οΌŒγ€Žι›†εˆγ¨δ½η›Έγ€οΌŒθ£³θ―ζˆΏοΌŒ1986.

  1. 각 $a\in W_\infty$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $a\in W$인 $W\in \mathfrak{F}$κ°€ μ‘΄μž¬ν•  것이닀. μ •λ ¬μ§‘ν•©μ˜ ꡬ성정리에 μ˜ν•˜μ—¬ λͺ¨λ“  $\mathfrak{F}$의 μ›μ†ŒλŠ” $W_\infty$ ν˜Ήμ€ $W_\infty$의 절편과 μΌμΉ˜ν•˜λ―€λ‘œ, $W_\infty \langle a \rangle = W \langle a \rangle$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. λ”°λΌμ„œ $\Delta(W_\infty, a) = \Delta(W, a)$, $f(\Delta(W_\infty, a)) = f(\Delta(W, a)) = a$이 성립.β†©οΈŽ

Bernstein 정리

Bernstein 정리

정리 1(Bernstein). 집합 $A, B$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $|A|\leq |B|$인 λ™μ‹œμ— $|A|\geq |B|$라면, $|A| = |B|$이닀. β€”

증λͺ…. $|A|\leq |B|$인 λ™μ‹œμ— $|A|\geq |B|$μ΄λ―€λ‘œ, 단사사상 $f\colon A\to B$와 $g\colon B\to A$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€. 집합쑱 $\left\{ C_i \mid i\in\Z_{\geq 0} \right\}$을 $C_0 = A\setminus g(B)$, $C_{n+1} = g(f(C_n))$을 λ§Œμ‘±ν•˜λ„λ‘ μ •μ˜ν•˜κ³ , $C = \bigcup_{i=0}^{\infty} C_i$둜 두어, 사상 $h\colon A\to B$λ₯Ό λ‹€μŒκ³Ό 같이 μ •μ˜ν•˜λ©΄, $h$λŠ” 전단사사상이닀.

$$ h(x) = \begin{cases} f(x) & x\in C \\ g^{-1}(x) & x\in A\setminus C \end{cases} $$

μš°μ„ , $h$κ°€ μ‚¬μƒμœΌλ‘œμ„œ μ˜¬λ°”λ₯΄κ²Œ μ •μ˜λ˜μ—ˆλŠ”μ§€λ₯Ό ν™•μΈν•˜μž. $C_0\subset C$에 μ˜ν•˜μ—¬, $g(B) = A\setminus C_0 \supset A\setminus C$인 λ™μ‹œμ— $g$λŠ” λ‹¨μ‚¬μ΄λ―€λ‘œ, $x\in A\setminus C$인 κ²½μš°μ—λ„ $h(x) = g^{-1}(x)$κ°€ λ¬Έμ œμ—†μ΄ μ •μ˜λœλ‹€.

λ‹€μŒμœΌλ‘œ, $h$κ°€ λ‹¨μ‚¬μ‚¬μƒμ΄λΌλŠ” 것을 보이자.

  • $x, y\in C$인 경우: $f$λŠ” λ‹¨μ‚¬μ‚¬μƒμ΄λ―€λ‘œ, $x\neq y$라면, $h(x) = f(x) \neq f(y) = h(y)$이닀.
  • $x, y\in A\setminus C$인 경우: $h(x) = g^{-1}(x) = g^{-1}(y) = h(y)$이라고 ν•  λ•Œ, $g^{-1}(x) = g^{-1}(y) = z$ 으둜 두면, $x = g(z) = y$이닀.
  • $x\in C, y\in A\setminus C$인 경우: $x\neq y$λŠ” λΆ„λͺ…ν•˜λ‹€. $x\in C$μ΄λ―€λ‘œ, $n_0\in \Z_{\geq 0}$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬ $x\in C_{n_0}$일 것이닀. $h(x) = f(x) \in f(C_{n_0})\subset g^{-1}(g(f(C_{n_0}))) = g^{-1}(C_{n_0+1})$인 λ™μ‹œμ—, $h(y) = g^{-1}(y)\in g^{-1}(A\setminus C)$μ΄λΌλŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆμœΌλ―€λ‘œ, $h(x)\neq h(y)$이닀.

λ§ˆμ§€λ§‰μœΌλ‘œ, $h$의 전사성을 보이자. $b\in B$에 λŒ€ν•˜μ—¬,

  • $b\in f(C)$인 경우: μ •μ˜λŒ€λ‘œ $b = f(a) = h(a)$인 $a\in C\subset A$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€.
  • $b\notin f(C)$인 경우: $a \coloneqq g(b)$둜 두면, $a \in g(B\setminus f(C))$ 이닀. $g$λŠ” λ‹¨μ‚¬μ΄λ―€λ‘œ, $g(B\setminus f(C)) = g(B)\setminus g(f(C)) = A \setminus \left( C_0 \cup g(f(C)) \right) = A\setminus C$이닀. λ”°λΌμ„œ, $a \in A\setminus C$이고, $h(a) = g^{-1}(a) = b$이닀. $\square$

μ£Ό. Bernstein μ •λ¦¬λŠ” 선택곡리에 μ˜μ‘΄ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€. β€”

이 μ •λ¦¬λŠ” μ§‘ν•©μ˜ 크기λ₯Ό μΌλ°˜ν™”ν•œ κ°œλ…μΈ 기수λ₯Ό λ„μž…ν•  λ•Œ, 기수의 비ꡐ가 λ°˜λŒ€μΉ­μ antisymmetric – λ°”κΎΈμ–΄ λ§ν•˜λ©΄, 두 기수 $\mathfrak a, \mathfrak b$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\mathfrak a\leq \mathfrak b$인 λ™μ‹œμ— $\mathfrak b\leq \mathfrak a$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, $\mathfrak a = \mathfrak b$μž„μ„ μ˜λ―Έν•œλ‹€.

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • Bernstein 정리λ₯Ό 증λͺ…ν–ˆλ‹€. Bernstein μ •λ¦¬λŠ” 집합 $A, B$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $A\to B$인 단사와 $B\to A$인 단사 사상이 λ™μ‹œμ— μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄ – $|A| \leq |B|$인 λ™μ‹œμ— $|A|\geq |B|$라면 – $A$와 $B$ μ‚¬μ΄μ—λŠ” 전단사 사상이 μ‘΄μž¬ν•¨ – $|A| = |B|$ – 을 μ£Όμž₯ν•œλ‹€.