κ·Όλ°©, 근방계

κ·Όλ°©, κ·Όλ°©κ³„μ˜ μ •μ˜

μ •μ˜ 1(κ·Όλ°©, 근방계). $(S,\mathfrak{O})$λ₯Ό μœ„μƒκ³΅κ°„μ΄λΌκ³  ν•˜μž.

  1. $x\in S$, $V\subset S$일 λ•Œ, $V$κ°€ $x$의 κ·Όλ°©neighborhoodμ΄λž€, $x$κ°€ $V$의 내점, 즉, $x\in V^\circ$인 것을 μ˜λ―Έν•œλ‹€.
  2. $V\subset S$κ°€ $(S,\mathfrak{O})$의 κ°œμ§‘ν•©μΈ λ™μ‹œμ— $x\in S$의 근방이라면, $V$λŠ” $x$의 개근방openΒ neighborhood이라고 ν•œλ‹€.
  3. μœ„μƒκ³΅κ°„ $(S,\mathfrak{O})$μƒμ—μ„œμ˜, $x\in S$의 κ·Όλ°© μ „μ²΄μ˜ 집합을 $x$의 근방계라고 ν•˜λ©°, 이λ₯Ό $\mathbb{V}(x)$와 같이 λ‚˜νƒ€λ‚Έλ‹€. β€”

λͺ…μ œ 1. $(S,\mathfrak{O})$λ₯Ό μœ„μƒκ³΅κ°„μ΄λΌκ³  ν•  λ•Œ, λ‹€μŒ 두 쑰건은 λ™μΉ˜μ΄λ‹€.

  1. $V\subset S$λŠ” $x\in S$의 근방이닀.
  2. $O\in\mathfrak{O}$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬, $x\in O$인 λ™μ‹œμ— $O\subset V$이닀. β€”

λͺ…μ œ 2. $(S,\mathfrak{O})$λ₯Ό μœ„μƒκ³΅κ°„, $S\supset O\neq\emptyset$이라고 ν•  λ•Œ, λ‹€μŒ 두 쑰건은 λ™μΉ˜μ΄λ‹€.

  1. $O$λŠ” $(S,\mathfrak{O})$의 κ°œμ§‘ν•©μ΄λ‹€.
  2. μž„μ˜μ˜ $x\in O$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $O$λŠ” $x$의 근방이닀. β€”

증λͺ…. 1이면 2λŠ” 자λͺ…, 2λ₯Ό κ°€μ •ν•˜λ©΄, $x\in O$라고 ν•  λ•Œ, $x\in O^\circ$. λ”°λΌμ„œ $O\subset O^\circ$, $O=O^\circ$μ΄λ―€λ‘œ, $O$λŠ” κ°œμ§‘ν•©. $\square$

근방계와 μœ„μƒ

λͺ…μ œ 3. $(S,\mathfrak{O})$λ₯Ό μœ„μƒκ³΅κ°„, $\mathbb{V}(x)$λ₯Ό $x\in S$의 근방계라고 ν•  λ•Œ, λ‹€μŒ 쑰건 1,2,3,4κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€.

  1. μž„μ˜μ˜ $V\in\mathbb{V}(x)$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $x\in V$.
  2. $V\in\mathbb{V}(x)$인 λ™μ‹œμ— $V\subset V’$라면, $V’\in\mathbb{V}(x)$.
  3. $V_1,V_2\in\mathbb{V}(x)$라면, $V_1\cap V_2\in\mathbb{V}(x)$.
  4. μž„μ˜μ˜ $V\in\mathbb{V}(x)$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $W\in\mathbb{V}(x)$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬, μž„μ˜μ˜ $y\in W$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $V\in\mathbb{V}(y)$. β€”

증λͺ….

  1. $x\in V^\circ\subset V$λ‘œλΆ€ν„° λΆ„λͺ….
  2. $V\subset V’$이면 $V^\circ\subset (V’)^\circ$, λ”°λΌμ„œ $x\in V^\circ\subset (V’)^\circ$λ‘œλΆ€ν„° λΆ„λͺ….
  3. $x\in V_1^\circ\cap V_2^\circ=(V_1\cap V_2)^\circ$λ‘œλΆ€ν„° λΆ„λͺ….
  4. $W\coloneqq V^\circ$둜 두면, $W$λŠ” κ°œμ§‘ν•©μ΄λ―€λ‘œ λͺ…μ œ 2에 μ˜ν•˜μ—¬ $W\in\mathbb{V}(x)$. 그리고, $y\in W$이면, $W=V^\circ$μ΄λ―€λ‘œ, $y\in V^{\circ}$. $\square$

정리 4. 곡집합이 μ•„λ‹Œ 집합 $S$의 각 점 $x$λ§ˆλ‹€, 곡집합이 μ•„λ‹Œ $S$의 뢀뢄집합계 $\mathbb{V}(x)$κ°€ 주어지고, 이가 λͺ…μ œ 3의 쑰건 1,2,3,4λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•œλ‹€λ©΄, $\mathbb{V}(x)$κ°€ μœ„μƒκ³΅κ°„ $(S,\mathfrak{O})$의 각 점 $x$에 λŒ€ν•œ 근방계가 λ˜κ²Œλ”, Sμƒμ˜ μœ„μƒ $\mathfrak{O}$λ₯Ό λ„μž…ν•  수 있으며, μ΄λŸ¬ν•œ μœ„μƒ $\mathfrak{O}$λŠ” μœ μΌν•˜λ‹€. β€”

증λͺ…. λ§Œμ•½ κ·ΈλŸ¬ν•œ μœ„μƒ $\mathfrak{O}$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, λͺ…μ œ 2μ—μ„œ λ³΄μ˜€λ“―μ΄, $\mathfrak{O}\coloneqq\{O\in 2^S\mid x\in O\Rarr O\in\mathbb{V}(x)\}$이어야 ν•˜λ―€λ‘œ, $\mathfrak{O}$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄ μœ μΌν•˜λ‹€λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€.

$\mathfrak{O}$κ°€ μœ„μƒμ˜ 곡리λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” 것을 ν™•μΈν•˜μž.

  1. $\emptyset\in\mathfrak{O}$λŠ” λΆ„λͺ…. μž„μ˜μ˜ $x\in S$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\mathbb{V}(x)$λŠ” 곡집합이 μ•„λ‹ˆλ―€λ‘œ, $V\in\mathbb{V}(x)$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€. $V\subset S$μ΄λ―€λ‘œ, λͺ…μ œ 3의 쑰건 2에 μ˜ν•˜μ—¬ $S\in\mathbb{V}(x)$, $S\in\mathfrak{O}$.
  2. $O_1,O_2\in\mathfrak{O}$라고 ν•˜μž. $O_1\cap O_2\neq\emptyset$인 κ²½μš°λ§Œμ„ κ°€μ •ν•  λ•Œ, $x\in O_1\cap O_2$라고 ν•˜λ©΄, $x\in O_1$이고, $O_1\in\mathfrak{O}$μ΄λ―€λ‘œ, $O_1\in\mathbb{V}(x)$, λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, $O_2\in\mathbb{V}(x)$. λ”°λΌμ„œ, λͺ…μ œ 3의 쑰건 3에 μ˜ν•˜μ—¬, $O_1\cap O_2\in\mathbb{V}(x)$, $O_1\cap O_2\in\mathfrak{O}$.
  3. $(O_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$λ₯Ό $\mathfrak{O}$의 μ›μ†Œλ‘œ 이루어진 집합쑱이라고 ν•˜μž. μž„μ˜μ˜ $\lambda\in\Lambda$에 λŒ€ν•΄μ„œ $O_\lambda\neq\emptyset$이라고 해도 μΌλ°˜μ„±μ„ μžƒμ§€ μ•ŠμœΌλ―€λ‘œ, μž„μ˜μ˜ $\lambda\in\Lambda$에 λŒ€ν•΄μ„œ $O_\lambda\neq\emptyset$인 κ²ƒμœΌλ‘œ ν•˜μž. $x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda$라고 ν•˜λ©΄, $x\in O_{\lambda_0}$인 $\lambda_0\in\Lambda$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜κ³ , $O_{\lambda_0}\in\mathfrak{O}$μ΄λ―€λ‘œ, $O_{\lambda_0}\in\mathbb{V}(x)$. λ™μ‹œμ— $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\supset O_{\lambda_0}$μ΄λ―€λ‘œ, $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathbb{V}(x)$, $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathfrak{O}$.

λ§ˆμ§€λ§‰μœΌλ‘œ, μ΄λ ‡κ²Œ μœ„μƒμ΄λΌλŠ” 것을 ν™•μΈν•œ $\mathfrak{O}$에 μ˜ν•œ, μœ„μƒκ³΅κ°„ $(S,\mathfrak{O})$μ—μ„œμ˜ μž„μ˜μ˜ 점 $x\in S$에 λŒ€ν•œ 근방계가 $\mathbb{V}(x)$와 μΌμΉ˜ν•˜λŠ” 것을 보이자. μ΄λŠ” $(S,\mathfrak{O})$ μƒμ—μ„œ $V$의 λ‚΄λΆ€λ₯Ό $V^\circ$와 같이 λ‚˜νƒ€λ‚Ό λ•Œ, $x\in V^\circ \Lrarr V\in\mathbb{V}(x)$λ₯Ό λ³΄μ΄λŠ” 문제둜 κ·€μ°©ν•  수 μžˆλ‹€. μ—¬κΈ°μ„œ, $x\in V^\circ$라면, $V^\circ\in\mathfrak{O}$μ΄λ―€λ‘œ $V^\circ\in\mathbb{V}(x)$. $V^\circ\subset V$μ΄λ―€λ‘œ, λͺ…μ œ 3의 쑰건 2에 μ˜ν•˜μ—¬ $V\in\mathbb{V}(x)$, λ”°λΌμ„œ $x\in V^\circ\Rarr V\in\mathbb{V}(x)$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 λ³΄μ˜€λ‹€.

역은 λ‹€μŒκ³Ό 같이 보일 수 μžˆλ‹€. $x\in S$, $V\in\mathbb{V}(x)$라고 ν•  λ•Œ, $U\coloneqq\{y\in S\mid V\in\mathbb{V}(y)\}$라고 ν•˜μž. $V\in\mathbb{V}(x)$μ΄λ―€λ‘œ, $x\in U$. λ˜ν•œ, $y\in U$라고 ν•˜λ©΄, $V\in\mathbb{V}(y)$μ΄λ―€λ‘œ $y\in V$, $U\subset V$이닀. μ—¬κΈ°μ„œ $U\in\mathfrak{O}$인 것을 보이기만 ν•˜λ©΄, λͺ…μ œ 1에 μ˜ν•˜μ—¬ $x\in V^\circ$인 것이 보여진닀. $z\in U$λ₯Ό $U$의 μž„μ˜μ˜ μ›μ†ŒλΌκ³  ν•˜λ©΄, $V\in\mathbb{V}(z)$μ΄λ―€λ‘œ, λͺ…μ œ 3의 쑰건 4에 μ˜ν•˜μ—¬ $W\in\mathbb{V}(z)$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬, μž„μ˜μ˜ $y’\in W$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $V\in\mathbb{V}(y’)$이닀. λ”°λΌμ„œ, $y’\in U$, $W\subset U$이닀. λ™μ‹œμ— $W\in\mathbb{V}(z)$μ΄λ―€λ‘œ, λͺ…μ œ 3의 쑰건 2에 μ˜ν•˜μ—¬ $U\in\mathbb{V}(z)$이닀. μ΄μƒμœΌλ‘œ, $U\in\mathfrak{O}$. $\square$

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • μœ„μƒκ³΅κ°„μ—μ„œμ˜ κ·Όλ°©, 개근방, 근방계λ₯Ό μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • 곡집합이 μ•„λ‹Œ 집합 $S$κ°€ μ£Όμ–΄μ‘Œμ„ λ•Œ, 각 $x\in S$에 λŒ€ν•˜μ—¬ νŠΉμ •ν•œ 쑰건을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” $S$의 뢀뢄집합쑱 – 근방계 – 을 λΆ€μ—¬ν•˜λŠ” 것에 μ˜ν•˜μ—¬, $S$ μƒμ˜ μœ„μƒκ³΅κ°„μ„ μ •ν•  수 μžˆμŒμ„ λ³΄μ˜€λ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • 松坂 ε’Œε€«οΌŒγ€Žι›†εˆγƒ»δ½η›Έε…₯ι–€γ€οΌŒε²©ζ³’ζ›ΈεΊ—οΌŒ1968.
  • ε†…η”° δΌδΈ€οΌŒγ€Žι›†εˆγ¨δ½η›Έγ€οΌŒθ£³θ―ζˆΏοΌŒ1986.

κ°œμ§‘ν•©, 폐집합

κ°œμ§‘ν•©, νμ§‘ν•©μ˜ μ •μ˜

μ •μ˜ 1(κ°œμ§‘ν•©, 폐집합).

  1. μœ„μƒκ³΅κ°„ $(S,\mathfrak{O})$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $O\in\mathfrak{O}$인 $O$λ₯Ό μœ„μƒκ³΅κ°„ $(S,\mathfrak{O})$의 κ°œμ§‘ν•©openΒ set이라고 ν•œλ‹€.
  2. μœ„μƒκ³΅κ°„ $(S,\mathfrak{O})$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $A^\complement=S\setminus A\in\mathfrak{O}$인 $A$λ₯Ό μœ„μƒκ³΅κ°„ $(S,\mathfrak{O})$의 폐집합closedΒ set이라고 ν•œλ‹€. β€”

λͺ…μ œ 1. μœ„μƒκ³΅κ°„ $(S,\mathfrak{O})$의 폐집합 μ „λΆ€μ˜ 집합을 $\mathfrak{A}$라고 ν•˜λ©΄, $\mathfrak{A}$λŠ” λ‹€μŒ μ„±μ§ˆμ„ λ§Œμ‘±ν•œλ‹€.

  1. $\emptyset, S\in\mathfrak{A}$.
  2. $A_1,A_2\in\mathfrak{A}$라면, $A_1\cup A_2\in\mathfrak{A}$.
  3. $\mathfrak{A}$의 μ›μ†Œλ‘œ 이루어진 집합계 $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\in\mathfrak{A}$. β€”

증λͺ…. 각 μœ„μƒμ˜ 곡리에 De Morgan 법칙을 μ μš©ν•˜λ©΄ λœλ‹€. $\square$

λ°˜λŒ€λ‘œ, λͺ…μ œ 1의 쑰건 1,2,3을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” $S$의 뢀뢄집합계 $\mathfrak{A}$ – 이λ₯Ό 폐집합계라고 ν•˜μž – κ°€ 주어진닀면, 같은 λ°©λ²•μœΌλ‘œ De Morgan의 법칙을 μ μš©ν•˜μ—¬, $\mathfrak{A}$의 μ›μ†Œμ˜ μ—¬μ§‘ν•©μœΌλ‘œ 이루어진 단 ν•˜λ‚˜μ˜ μœ„μƒ $\mathfrak{O}$λ₯Ό 얻을 수 μžˆλ‹€. λ”°λΌμ„œ, $S$ μƒμ˜ ν•œ β€œμœ„μƒκ³΅κ°„β€μ„ κ°œμ§‘ν•©κ³„(즉, μœ„μƒ)와 νμ§‘ν•©κ³„μ˜ 두 가지 λ°©λ²•μœΌλ‘œ μ •ν•˜λŠ” 것이 κ°€λŠ₯ν•˜λ‹€.

μ£Ό. β€œκ°œβ€μ§‘ν•©κ³Ό β€œνβ€μ§‘ν•©μ΄λΌλŠ” μš©μ–΄ 탓에, κ°œμ§‘ν•©κ³Ό 폐집합은 μ„œλ‘œμ˜ λ°˜λŒ€λ˜λŠ” κ°œλ…μ΄λΌκ³  생각할 수 μžˆμœΌλ‚˜, μ‹€μ œλ‘œλŠ” κ°œμ§‘ν•©μΈ λ™μ‹œμ— 폐집합인 집합이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€1. λͺ…μ œ 1의 쑰건 1λ‘œλΆ€ν„° μ•Œ 수 μžˆλ“―μ΄, μž„μ˜μ˜ μœ„μƒκ³΅κ°„ $(S,\mathfrak{O})$μ—μ„œ $\emptyset,S$λŠ” κ°œμ§‘ν•©μΈ λ™μ‹œμ— 폐집합인 자λͺ…ν•œ μ˜ˆμ΄λ‹€. $\emptyset,S$ 이외에도 κ°œμ§‘ν•©μΈ λ™μ‹œμ— 폐집합인 집합이 μ‘΄μž¬ν•  수 있으며, μ΄λŠ” 특히 μœ„μƒκ³΅κ°„μ˜ νŠΉμ§• 쀑 ν•˜λ‚˜μΈ β€œμ—°κ²°μ„±connectedness”에 κ΄€μ—¬ν•œλ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • κ°œμ§‘ν•©κ³Ό 폐집합을 μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • 곡집합이 μ•„λ‹Œ 집합 $S$ μƒμ—μ„œ νŠΉμ • 쑰건을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” β€œνμ§‘ν•©κ³„β€μ— μ˜ν•˜μ—¬, $S$ μƒμ˜ μœ„μƒκ³΅κ°„μ„ μ •ν•˜λŠ” 것이 κ°€λŠ₯함을 λ°ν˜”λ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • 松坂 ε’Œε€«οΌŒγ€Žι›†εˆγƒ»δ½η›Έε…₯ι–€γ€οΌŒε²©ζ³’ζ›ΈεΊ—οΌŒ1968.
  • ε†…η”° δΌδΈ€οΌŒγ€Žι›†εˆγ¨δ½η›Έγ€οΌŒθ£³θ―ζˆΏοΌŒ1986.

  1. 이λ₯Ό κ°œνμ§‘ν•©clopenΒ set이라고 ν•˜κΈ°λ„ ν•œλ‹€.β†©οΈŽ

μœ„μƒμ˜ μ •μ˜

μœ„μƒμ˜ 곡리

μ •μ˜ 1(μœ„μƒμ˜ 곡리). $S$λ₯Ό 곡집합이 μ•„λ‹Œ 집합이라고 ν•˜μž. $S$의 뢀뢄집합계, 즉 $2^S$의 뢀뢄집합 $\mathfrak{O}$κ°€ λ‹€μŒ 쑰건 1,2,3을 λ§Œμ‘±ν•  λ•Œ, $\mathfrak{O}$λŠ” β€œ$S$의 μœ„μƒκ΅¬μ‘°topologicalΒ structureλ₯Ό μ •ν•œλ‹€β€, ν˜Ήμ€ β€œ$S$ μƒμ˜ ν•˜λ‚˜μ˜ μœ„μƒtopology이닀”라고 ν•œλ‹€.

  1. $\emptyset, S\in \mathfrak{O}$.
  2. $O_1,O_2\in\mathfrak{O}$라면, $O_1\cap O_2\in\mathfrak{O}$.1
  3. $\mathfrak{O}$의 μ›μ†Œλ‘œ 이루어진 집합계 $(O_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathfrak{O}$2. β€”

집합 $S$와, κ·Έ μœ„μƒ $\mathfrak O$λ₯Ό ν•¨κ»˜ $(S,\mathfrak{O})$와 같이 ν‘œμ‹œν•˜μ—¬, 이λ₯Ό μœ„μƒκ³΅κ°„topologicalΒ space이라고 ν•œλ‹€. $S$ μƒμ—μ„œλŠ” μ„œλ‘œ λ‹€λ₯Έ μœ„μƒ $\mathfrak O_1$κ³Ό $\mathfrak O_2$κ°€ μ‘΄μž¬ν•  수 있으며, λ‹Ήμ—°νžˆ $(S,\mathfrak O_1)$κ³Ό $(S,\mathfrak O_2)$λŠ” μ„œλ‘œ λ‹€λ₯Έ μœ„μƒκ³΅κ°„μœΌλ‘œ μ·¨κΈ‰ν•œλ‹€.

예 1(λ°€μ°©μœ„μƒ, μ΄μ‚°μœ„μƒ). 곡집합이 μ•„λ‹Œ 집합 $S$ μƒμ˜ μœ„μƒμ˜ κ°€μž₯ κ°„λ‹¨ν•œ μ˜ˆλ‘œλŠ” 2개의 μ›μ†Œλ‘œ 이루어진 집합 $\mathfrak O_*\coloneqq\{\emptyset,S\}$을 생각할 수 μžˆλ‹€. 이가 μœ„μƒμ˜ 곡리λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜κ³  μžˆλ‹€λŠ” 것을 λ³΄μ΄λŠ” 것은 κ°„λ‹¨ν•˜λ©°, 이λ₯Ό $S$ μƒμ˜ λ°€μ°©μœ„μƒindiscreteΒ topology이라고 ν•œλ‹€. λ˜ν•œ $\mathfrak{O}^*\coloneqq 2^S$ 와 같이 $S$의 뢀뢄집합계λ₯Ό 주어도, μ΄λŠ” 자λͺ…ν•˜κ²Œ μœ„μƒμ˜ 곡리λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•œλ‹€. 이λ₯Ό $S$ μƒμ˜ μ΄μ‚°μœ„μƒdiscreteΒ topology이라고 ν•œλ‹€. $S$ μƒμ˜ μž„μ˜μ˜ μœ„μƒ $\mathfrak{O}$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\mathfrak{O_*}\subset\mathfrak O\subset\mathfrak{O^*}$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • μœ„μƒμ˜ 곡리λ₯Ό μ΄μš©ν•˜μ—¬ μœ„μƒ, μœ„μƒκ³΅κ°„μ„ μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • λ°€μ°©μœ„μƒ, μ΄μ‚°μœ„μƒμ„ μ •μ˜ν–ˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • 松坂 ε’Œε€«οΌŒγ€Žι›†εˆγƒ»δ½η›Έε…₯ι–€γ€οΌŒε²©ζ³’ζ›ΈεΊ—οΌŒ1968.
  • ε†…η”° δΌδΈ€οΌŒγ€Žι›†εˆγ¨δ½η›Έγ€οΌŒθ£³θ―ζˆΏοΌŒ1986.

  1. μ΄λŠ” $O_1,\ldots,O_n\in\mathfrak{O}$κ³Ό 같이 μœ ν•œκ°œμ˜ $\mathfrak{O}$의 μ›μ†Œκ°€ 주어진닀면, $O_1\cap\cdots\cap O_n\in\mathfrak{O}$μž„μ„ κ·€λ‚©μ μœΌλ‘œ ν•¨μ˜ν•œλ‹€.β†©οΈŽ

  2. μž„μ˜μ˜ 농도λ₯Ό κ°–λŠ” μ§‘ν•©κ³„μ˜ 인덱슀 $\Lambda$에 λŒ€ν•˜μ—¬ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λŠ” 점이, 쑰건 2의 μ „μ œμ™€ λ‹€λ₯Έ 뢀뢄이라고 ν•  수 μžˆλ‹€.β†©οΈŽ

λ…Έλ¦„κ³΅κ°„μ˜ μ •μ˜

λ…Έλ¦„μ˜ 곡리

μ •μ˜ 1(λ…Έλ¦„μ˜ 곡리). $\SetR$ ν˜Ήμ€ $\SetC$ μƒμ˜ 벑터곡간 $V$에 λŒ€ν•˜μ—¬, 사상 $\|\cdot\|\colon V\to \SetR$이 λ‹€μŒ 쑰건 1,2,3을 λ§Œμ‘±ν•œλ‹€λ©΄, 사상 $\|\cdot\|$을 노름norm이라고 ν•œλ‹€.

  1. μž„μ˜μ˜ $\vec x\in V$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\|\vec x\|\geq 0$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. λ˜ν•œ λ“±ν˜ΈλŠ” $\vec x = \vec 0$일 λ•Œμ— ν•œν•˜μ—¬ μ„±λ¦½ν•œλ‹€.
  2. μž„μ˜μ˜ $\vec x\in V$와 $\lambda\in \SetR$ (ν˜Ήμ€ $\lambda\in\SetC$)에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\|\lambda\vec x\| = |\lambda|\|\vec x\|$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€.
  3. 삼각뢀등식 – μž„μ˜μ˜ $\vec x, \vec y\in V$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\|\vec x+ \vec y\|\leq \|\vec x\| + \|\vec y\|$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

$\SetR$ ν˜Ήμ€ $\SetC$ μƒμ˜ 벑터곡간 $V$에 λŒ€ν•˜μ—¬ 노름 $\|\cdot\|$이 μ£Όμ–΄μ§ˆ λ•Œ, ν•¨μˆ˜ $d: V\times V\ni (\vec x,\vec y) \mapsto \|\vec x-\vec y\|\in\SetR$λ₯Ό μ •μ˜ν•˜λ©΄, $d$λŠ” $V$ μƒμ˜ κ±°λ¦¬ν•¨μˆ˜μž„μ„ 확인할 수 μžˆλ‹€. 이λ₯Ό 노름 $\|\cdot\|$에 μ˜ν•œ μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ 거리라고 ν•œλ‹€. λ”°λΌμ„œ, 노름곡간은 μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ 거리에 μ˜ν•˜μ—¬ κ±°λ¦¬κ³΅κ°„μœΌλ‘œ 생각할 수 μžˆλ‹€.

보쑰정리 1(Cauchy-Schwarz 뢀등식). 벑터곡간 $\SetR^n$κ³Ό, $\vec a = (a_1,\ldots, a_n), \vec b = (b_1\ldots, b_n) \in\SetR^n$에 λŒ€ν•˜μ—¬, λ‹€μŒ 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•œλ‹€.

$$ \left( \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right). $$

λ˜ν•œ, λ“±ν˜ΈλŠ” $\vec a$와 $\vec b$κ°€ μ„ ν˜•μ’…μ†μΌ λ•Œμ— ν•œν•˜μ—¬ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

증λͺ…. $\vec a = \vec b = \vec 0$ 일 λ•Œ, 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 자λͺ…ν•˜λ‹ˆ, μ–΄λŠ ν•œ μͺ½μ€ $\vec 0$이 μ•„λ‹Œ κ²½μš°λ§Œμ„ μƒκ°ν•˜μž. 이 경우, $\vec a \neq \vec 0$ 라고 해도 μΌλ°˜μ„±μ„ μžƒμ§€ μ•ŠμœΌλ‹ˆ $\vec a\neq \vec 0$라고 ν•˜μž.

$$ f(x) \coloneqq \sum_{i=1}^{n} (a_ix-b_i)^2 = \left( \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right)x^2-2\left( \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)x + \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) $$

라고 $f(x)$λ₯Ό μ •μ˜ν•˜λ©΄, $a_i\neq 0$인 $i=1,\ldots,n$이 μ‘΄μž¬ν•˜λ―€λ‘œ, $\sum_{i=1}^n a_i^2 \neq 0$. $f(x)$λŠ” 2차의 닀항식이닀. μ€‘κ°„μ˜ μ‹μœΌλ‘œλΆ€ν„° μ•Œ 수 μžˆλ“―μ΄, μž„μ˜μ˜ $x\in\SetR$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $f(x)\geq 0$μ΄λ―€λ‘œ, $f(x)$의 νŒλ³„μ‹ $D$에 λŒ€ν•˜μ—¬,

$$ D/4 = \left( \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)^2-\left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \leq 0 $$

μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ˜ν•œ, β€œ$\vec a\neq\vec 0$와 $\vec b$κ°€ μ„ ν˜•μ’…μ†μΈ 것”과 β€œ$\lambda\vec a = \vec b$이도둝 ν•˜λŠ” $\lambda\in\SetR$이 μ‘΄μž¬ν•˜λŠ” 것”은 λ™μΉ˜, 이 κ²½μš°μ— ν•œν•˜μ—¬ $f(\lambda)= 0$둜 $f(x)$λŠ” 쀑근 $\lambda$λ₯Ό κ°€μ§€λ―€λ‘œ, $D=0$. $\vec a$와 $\vec b$κ°€ μ„ ν˜•μ’…μ†μΈ 것과 λ“±ν˜Έ 성립은 λ™μΉ˜μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. $\square$

λ³„λ„μ˜ 증λͺ…. λ‹€μŒκ³Ό 같은 κ°„λ‹¨ν•œ 식 λ³€ν˜•μ„ 톡해 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€.

$$ \begin{aligned} \left( \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \right) -\left( \sum_{i=1}^{n}a_ib_i \right)^2 &= \sum_{i\neq j} a_i^2b_j^2-2\sum_{i<j}^{} a_ib_ia_jb_j \\ &= \sum_{i<j} (a_ib_j -a_jb_i)^2 \geq 0. \end{aligned} $$

μ—¬κΈ°μ„œ λ“±ν˜ΈλŠ” μž„μ˜μ˜ $i<j$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $a_ib_j-a_jb_i=0$일 λ•Œμ— ν•œν•˜μ—¬ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. 이 쑰건이 $\vec a$와 $\vec b$κ°€ μ„ ν˜•μ’…μ†μΈ 것과 λ™μΉ˜μΈ 것은 κ°„λ‹¨νžˆ 확인할 수 μžˆλ‹€. $\square$

이외에도, HΓΆlder λΆ€λ“±μ‹μ΄λ‚˜, λ‚΄μ μ˜ κ³΅λ¦¬λ‘œλΆ€ν„° Cauchy-Schwarz 뢀등식이 얻어진닀.

예 1(Euclidean 곡간). 점 $\vec a = (a_1, \ldots, a_n)\in \SetR^n$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\|\vec a\|_2 \coloneqq \sqrt{(a_1^2+\cdots+a_n^2)}$와 같이 사상 $\|\cdot\|: \SetR^n\to\SetR$을 μ •μ˜ν•˜λ©΄, μ •μ˜ 1의 λ…Έλ¦„μ˜ 곡리 1,2λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜κ³  μžˆλŠ” 것은 μ‰½κ²Œ 확인할 수 μžˆλ‹€. λ˜ν•œ, $\vec a = (a_1,\ldots,a_n), \vec b = (b_1,\ldots,b_n)\in\SetR^n$에 λŒ€ν•΄, 보쑰정리 1에 μ˜ν•˜μ—¬

$$ \begin{aligned} \|\vec a+\vec b\|_2^2 &=\sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i)^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2\sum_{i=1}^n a_ib_i \\ &\leq \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2 {\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)^{1/2} \left( \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \right)^{1/2}} \\ &= \left( \|\vec a\|_2 + \|\vec b\|_2 \right)^2. \end{aligned} $$

λ”°λΌμ„œ $\|\cdot\|$은 $\SetR^n$ μƒμ˜ 노름이닀. 이λ₯Ό Euclidean 노름이라고 ν•˜λ©°, 이 노름(ν˜Ήμ€ 이 노름에 μ˜ν•œ μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ 거리)이 λΆ€μ—¬λœ 벑터곡간 $\SetR^n$을 Euclidean 곡간이라고 ν•œλ‹€. β€”

예 2(Minkowski 곡간). $p\in [1,\infty)$라고 ν•˜μž. 점 $\vec a = (a_1, \ldots, a_n)\in \SetR^n$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\|\vec a\|_p\coloneqq (|a_1|^p + \cdots + |a_n|^p)^{1/p}$와 같이 사상 $\|\cdot\|: \SetR^n\to\SetR$을 μ •μ˜ν•˜λ©΄, μ •μ˜ 1의 λ…Έλ¦„μ˜ 곡리 1,2λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜κ³  μžˆλŠ” 것은 μ‰½κ²Œ 확인할 수 μžˆλ‹€. λ˜ν•œ, $\vec a = (a_1,\ldots,a_n), \vec b = (b_1,\ldots,b_n)\in\SetR^n$에 λŒ€ν•΄, $\|\vec a + \vec b\|_p\leq \|\vec a\|_p + \|\vec b\|_p$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 Minkowski λΆ€λ“±μ‹μœΌλ‘œλΆ€ν„° 확인할 수 μžˆλ‹€. λ”°λΌμ„œ $\|\cdot\|_p$은 $\SetR^n$ μƒμ˜ 노름이닀. 이λ₯Ό Minkowski 노름이라고 ν•˜λ©°, 이 노름(ν˜Ήμ€ 이 노름에 μ˜ν•œ μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ 거리)이 λΆ€μ—¬λœ 벑터곡간 $\SetR^n$을 Minkowski 곡간이라고 ν•œλ‹€. β€”

예 3(μ΅œλŒ“κ°’ 노름). 점 $\vec a = (a_1, \ldots, a_n)\in \SetR^n$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\|\vec a\|_\infty \coloneqq \max_{1\leq i\leq n} |a_i|$ 와 같이 사상 $\|\cdot\|_\infty: \SetR^n\to \SetR$을 μ •μ˜ν•˜λ©΄, μ΄λŠ” 노름이닀. (μ—°μŠ΅λ¬Έμ œ) 이λ₯Ό $\SetR^n$ μƒμ˜ μ΅œλŒ“κ°’ 노름이라고 ν•œλ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • 노름과 노름곡간을 μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • Cauchy-Schwarz 뢀등식을 μ΄μš©ν•˜μ—¬, λ…Έλ¦„κ³΅κ°„μ˜ 예둜 Euclidean 곡간을 λ“€μ—ˆλ‹€.
  • Minkowski 뢀등식을 μ΄μš©ν•˜μ—¬, λ…Έλ¦„κ³΅κ°„μ˜ 예둜 Minkowski 곡간을 λ“€μ—ˆλ‹€.
  • λ…Έλ¦„μ˜ 예둜 μ΅œλŒ“κ°’ 노름을 λ“€μ—ˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • 松坂 ε’Œε€«οΌŒγ€Žι›†εˆγƒ»δ½η›Έε…₯ι–€γ€οΌŒε²©ζ³’ζ›ΈεΊ—οΌŒ1968.