κ·Όλ°©, κ·Όλ°©κ³μ μ μ
μ μ 1(κ·Όλ°©, κ·Όλ°©κ³). $(S,\mathfrak{O})$λ₯Ό μμ곡κ°μ΄λΌκ³ νμ.
- $x\in S$, $V\subset S$μΌ λ, $V$κ° $x$μ κ·Όλ°©neighborhoodμ΄λ, $x$κ° $V$μ λ΄μ , μ¦, $x\in V^\circ$μΈ κ²μ μλ―Ένλ€.
- $V\subset S$κ° $(S,\mathfrak{O})$μ κ°μ§ν©μΈ λμμ $x\in S$μ κ·Όλ°©μ΄λΌλ©΄, $V$λ $x$μ κ°κ·Όλ°©openΒ neighborhoodμ΄λΌκ³ νλ€.
- μμκ³΅κ° $(S,\mathfrak{O})$μμμμ, $x\in S$μ κ·Όλ°© μ 체μ μ§ν©μ $x$μ κ·Όλ°©κ³λΌκ³ νλ©°, μ΄λ₯Ό $\mathbb{V}(x)$μ κ°μ΄ λνλΈλ€. β
λͺ μ 1. $(S,\mathfrak{O})$λ₯Ό μμ곡κ°μ΄λΌκ³ ν λ, λ€μ λ 쑰건μ λμΉμ΄λ€.
- $V\subset S$λ $x\in S$μ κ·Όλ°©μ΄λ€.
- $O\in\mathfrak{O}$κ° μ‘΄μ¬νμ¬, $x\in O$μΈ λμμ $O\subset V$μ΄λ€. β
λͺ μ 2. $(S,\mathfrak{O})$λ₯Ό μμ곡κ°, $S\supset O\neq\emptyset$μ΄λΌκ³ ν λ, λ€μ λ 쑰건μ λμΉμ΄λ€.
- $O$λ $(S,\mathfrak{O})$μ κ°μ§ν©μ΄λ€.
- μμμ $x\in O$μ λνμ¬, $O$λ $x$μ κ·Όλ°©μ΄λ€. β
μ¦λͺ . 1μ΄λ©΄ 2λ μλͺ , 2λ₯Ό κ°μ νλ©΄, $x\in O$λΌκ³ ν λ, $x\in O^\circ$. λ°λΌμ $O\subset O^\circ$, $O=O^\circ$μ΄λ―λ‘, $O$λ κ°μ§ν©. $\square$
κ·Όλ°©κ³μ μμ
λͺ μ 3. $(S,\mathfrak{O})$λ₯Ό μμ곡κ°, $\mathbb{V}(x)$λ₯Ό $x\in S$μ κ·Όλ°©κ³λΌκ³ ν λ, λ€μ 쑰건 1,2,3,4κ° μ±λ¦½νλ€.
- μμμ $V\in\mathbb{V}(x)$μ λνμ¬, $x\in V$.
- $V\in\mathbb{V}(x)$μΈ λμμ $V\subset V’$λΌλ©΄, $V’\in\mathbb{V}(x)$.
- $V_1,V_2\in\mathbb{V}(x)$λΌλ©΄, $V_1\cap V_2\in\mathbb{V}(x)$.
- μμμ $V\in\mathbb{V}(x)$μ λνμ¬, $W\in\mathbb{V}(x)$κ° μ‘΄μ¬νμ¬, μμμ $y\in W$μ λνμ¬ $V\in\mathbb{V}(y)$. β
μ¦λͺ .
- $x\in V^\circ\subset V$λ‘λΆν° λΆλͺ .
- $V\subset V’$μ΄λ©΄ $V^\circ\subset (V’)^\circ$, λ°λΌμ $x\in V^\circ\subset (V’)^\circ$λ‘λΆν° λΆλͺ .
- $x\in V_1^\circ\cap V_2^\circ=(V_1\cap V_2)^\circ$λ‘λΆν° λΆλͺ .
- $W\coloneqq V^\circ$λ‘ λλ©΄, $W$λ κ°μ§ν©μ΄λ―λ‘ λͺ μ 2μ μνμ¬ $W\in\mathbb{V}(x)$. κ·Έλ¦¬κ³ , $y\in W$μ΄λ©΄, $W=V^\circ$μ΄λ―λ‘, $y\in V^{\circ}$. $\square$
μ 리 4. 곡μ§ν©μ΄ μλ μ§ν© $S$μ κ° μ $x$λ§λ€, 곡μ§ν©μ΄ μλ $S$μ λΆλΆμ§ν©κ³ $\mathbb{V}(x)$κ° μ£Όμ΄μ§κ³ , μ΄κ° λͺ μ 3μ 쑰건 1,2,3,4λ₯Ό λ§μ‘±νλ€λ©΄, $\mathbb{V}(x)$κ° μμκ³΅κ° $(S,\mathfrak{O})$μ κ° μ $x$μ λν κ·Όλ°©κ³κ° λκ²λ, Sμμ μμ $\mathfrak{O}$λ₯Ό λμ ν μ μμΌλ©°, μ΄λ¬ν μμ $\mathfrak{O}$λ μ μΌνλ€. β
μ¦λͺ . λ§μ½ κ·Έλ¬ν μμ $\mathfrak{O}$κ° μ‘΄μ¬νλ€λ©΄, λͺ μ 2μμ 보μλ―μ΄, $\mathfrak{O}\coloneqq\{O\in 2^S\mid x\in O\Rarr O\in\mathbb{V}(x)\}$μ΄μ΄μΌ νλ―λ‘, $\mathfrak{O}$κ° μ‘΄μ¬νλ€λ©΄ μ μΌνλ€λ κ²μ μ μ μλ€.
$\mathfrak{O}$κ° μμμ 곡리λ₯Ό λ§μ‘±νλ κ²μ νμΈνμ.
- $\emptyset\in\mathfrak{O}$λ λΆλͺ . μμμ $x\in S$μ λνμ¬, $\mathbb{V}(x)$λ 곡μ§ν©μ΄ μλλ―λ‘, $V\in\mathbb{V}(x)$κ° μ‘΄μ¬νλ€. $V\subset S$μ΄λ―λ‘, λͺ μ 3μ 쑰건 2μ μνμ¬ $S\in\mathbb{V}(x)$, $S\in\mathfrak{O}$.
- $O_1,O_2\in\mathfrak{O}$λΌκ³ νμ. $O_1\cap O_2\neq\emptyset$μΈ κ²½μ°λ§μ κ°μ ν λ, $x\in O_1\cap O_2$λΌκ³ νλ©΄, $x\in O_1$μ΄κ³ , $O_1\in\mathfrak{O}$μ΄λ―λ‘, $O_1\in\mathbb{V}(x)$, λ§μ°¬κ°μ§λ‘, $O_2\in\mathbb{V}(x)$. λ°λΌμ, λͺ μ 3μ 쑰건 3μ μνμ¬, $O_1\cap O_2\in\mathbb{V}(x)$, $O_1\cap O_2\in\mathfrak{O}$.
- $(O_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$λ₯Ό $\mathfrak{O}$μ μμλ‘ μ΄λ£¨μ΄μ§ μ§ν©μ‘±μ΄λΌκ³ νμ. μμμ $\lambda\in\Lambda$μ λν΄μ $O_\lambda\neq\emptyset$μ΄λΌκ³ ν΄λ μΌλ°μ±μ μμ§ μμΌλ―λ‘, μμμ $\lambda\in\Lambda$μ λν΄μ $O_\lambda\neq\emptyset$μΈ κ²μΌλ‘ νμ. $x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda$λΌκ³ νλ©΄, $x\in O_{\lambda_0}$μΈ $\lambda_0\in\Lambda$κ° μ‘΄μ¬νκ³ , $O_{\lambda_0}\in\mathfrak{O}$μ΄λ―λ‘, $O_{\lambda_0}\in\mathbb{V}(x)$. λμμ $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\supset O_{\lambda_0}$μ΄λ―λ‘, $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathbb{V}(x)$, $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathfrak{O}$.
λ§μ§λ§μΌλ‘, μ΄λ κ² μμμ΄λΌλ κ²μ νμΈν $\mathfrak{O}$μ μν, μμκ³΅κ° $(S,\mathfrak{O})$μμμ μμμ μ $x\in S$μ λν κ·Όλ°©κ³κ° $\mathbb{V}(x)$μ μΌμΉνλ κ²μ 보μ΄μ. μ΄λ $(S,\mathfrak{O})$ μμμ $V$μ λ΄λΆλ₯Ό $V^\circ$μ κ°μ΄ λνλΌ λ, $x\in V^\circ \Lrarr V\in\mathbb{V}(x)$λ₯Ό 보μ΄λ λ¬Έμ λ‘ κ·μ°©ν μ μλ€. μ¬κΈ°μ, $x\in V^\circ$λΌλ©΄, $V^\circ\in\mathfrak{O}$μ΄λ―λ‘ $V^\circ\in\mathbb{V}(x)$. $V^\circ\subset V$μ΄λ―λ‘, λͺ μ 3μ 쑰건 2μ μνμ¬ $V\in\mathbb{V}(x)$, λ°λΌμ $x\in V^\circ\Rarr V\in\mathbb{V}(x)$κ° μ±λ¦½νλ κ²μ 보μλ€.
μμ λ€μκ³Ό κ°μ΄ λ³΄μΌ μ μλ€. $x\in S$, $V\in\mathbb{V}(x)$λΌκ³ ν λ, $U\coloneqq\{y\in S\mid V\in\mathbb{V}(y)\}$λΌκ³ νμ. $V\in\mathbb{V}(x)$μ΄λ―λ‘, $x\in U$. λν, $y\in U$λΌκ³ νλ©΄, $V\in\mathbb{V}(y)$μ΄λ―λ‘ $y\in V$, $U\subset V$μ΄λ€. μ¬κΈ°μ $U\in\mathfrak{O}$μΈ κ²μ 보μ΄κΈ°λ§ νλ©΄, λͺ μ 1μ μνμ¬ $x\in V^\circ$μΈ κ²μ΄ 보μ¬μ§λ€. $z\in U$λ₯Ό $U$μ μμμ μμλΌκ³ νλ©΄, $V\in\mathbb{V}(z)$μ΄λ―λ‘, λͺ μ 3μ 쑰건 4μ μνμ¬ $W\in\mathbb{V}(z)$κ° μ‘΄μ¬νμ¬, μμμ $y’\in W$μ λνμ¬ $V\in\mathbb{V}(y’)$μ΄λ€. λ°λΌμ, $y’\in U$, $W\subset U$μ΄λ€. λμμ $W\in\mathbb{V}(z)$μ΄λ―λ‘, λͺ μ 3μ 쑰건 2μ μνμ¬ $U\in\mathbb{V}(z)$μ΄λ€. μ΄μμΌλ‘, $U\in\mathfrak{O}$. $\square$
μ΄ ν¬μ€νΈμμλβ¦
- μμ곡κ°μμμ κ·Όλ°©, κ°κ·Όλ°©, κ·Όλ°©κ³λ₯Ό μ μνλ€.
- 곡μ§ν©μ΄ μλ μ§ν© $S$κ° μ£Όμ΄μ‘μ λ, κ° $x\in S$μ λνμ¬ νΉμ ν 쑰건μ λ§μ‘±νλ $S$μ λΆλΆμ§ν©μ‘± β κ·Όλ°©κ³ β μ λΆμ¬νλ κ²μ μνμ¬, $S$ μμ μμ곡κ°μ μ ν μ μμμ 보μλ€.
μ°Έκ³ λ¬Έν
- ζΎε ε倫οΌγιεγ»δ½ηΈε ₯ιγοΌε²©ζ³’ζΈεΊοΌ1968οΌ
- ε η° δΌδΈοΌγιεγ¨δ½ηΈγοΌθ£³θ―ζΏοΌ1986οΌ