Topology – Archive

근방, 근방계

근방, 근방계의 정의

정의 1(근방, 근방계). $(S,\mathfrak{O})$를 위상공간이라고 하자.

$x\in S$, $V\subset S$일 때, $V$가 $x$의 근방^neighborhood이란, $x$가 $V$의 내점, 즉, $x\in V^\circ$인 것을 의미한다.
$V\subset S$가 $(S,\mathfrak{O})$의 개집합인 동시에 $x\in S$의 근방이라면, $V$는 $x$의 개근방^{open neighborhood}이라고 한다.
위상공간 $(S,\mathfrak{O})$상에서의, $x\in S$의 근방 전체의 집합을 $x$의 근방계라고 하며, 이를 $\mathbb{V}(x)$와 같이 나타낸다. —

명제 1. $(S,\mathfrak{O})$를 위상공간이라고 할 때, 다음 두 조건은 동치이다.

$V\subset S$는 $x\in S$의 근방이다.
$O\in\mathfrak{O}$가 존재하여, $x\in O$인 동시에 $O\subset V$이다. —

명제 2. $(S,\mathfrak{O})$를 위상공간, $S\supset O\neq\emptyset$이라고 할 때, 다음 두 조건은 동치이다.

$O$는 $(S,\mathfrak{O})$의 개집합이다.
임의의 $x\in O$에 대하여, $O$는 $x$의 근방이다. —

증명. 1이면 2는 자명, 2를 가정하면, $x\in O$라고 할 때, $x\in O^\circ$. 따라서 $O\subset O^\circ$, $O=O^\circ$이므로, $O$는 개집합. $\square$

근방계와 위상

명제 3. $(S,\mathfrak{O})$를 위상공간, $\mathbb{V}(x)$를 $x\in S$의 근방계라고 할 때, 다음 조건 1,2,3,4가 성립한다.

임의의 $V\in\mathbb{V}(x)$에 대하여, $x\in V$.
$V\in\mathbb{V}(x)$인 동시에 $V\subset V’$라면, $V’\in\mathbb{V}(x)$.
$V_1,V_2\in\mathbb{V}(x)$라면, $V_1\cap V_2\in\mathbb{V}(x)$.
임의의 $V\in\mathbb{V}(x)$에 대하여, $W\in\mathbb{V}(x)$가 존재하여, 임의의 $y\in W$에 대하여 $V\in\mathbb{V}(y)$. —

증명.

$x\in V^\circ\subset V$로부터 분명.
$V\subset V’$이면 $V^\circ\subset (V’)^\circ$, 따라서 $x\in V^\circ\subset (V’)^\circ$로부터 분명.
$x\in V_1^\circ\cap V_2^\circ=(V_1\cap V_2)^\circ$로부터 분명.
$W\coloneqq V^\circ$로 두면, $W$는 개집합이므로 명제 2에 의하여 $W\in\mathbb{V}(x)$. 그리고, $y\in W$이면, $W=V^\circ$이므로, $y\in V^{\circ}$. $\square$

정리 4. 공집합이 아닌 집합 $S$의 각 점 $x$마다, 공집합이 아닌 $S$의 부분집합계 $\mathbb{V}(x)$가 주어지고, 이가 명제 3의 조건 1,2,3,4를 만족한다면, $\mathbb{V}(x)$가 위상공간 $(S,\mathfrak{O})$의 각 점 $x$에 대한 근방계가 되게끔, S상의 위상 $\mathfrak{O}$를 도입할 수 있으며, 이러한 위상 $\mathfrak{O}$는 유일하다. —

증명. 만약 그러한 위상 $\mathfrak{O}$가 존재한다면, 명제 2에서 보였듯이, $\mathfrak{O}\coloneqq\{O\in 2^S\mid x\in O\Rarr O\in\mathbb{V}(x)\}$이어야 하므로, $\mathfrak{O}$가 존재한다면 유일하다는 것을 알 수 있다.

$\mathfrak{O}$가 위상의 공리를 만족하는 것을 확인하자.

$\emptyset\in\mathfrak{O}$는 분명. 임의의 $x\in S$에 대하여, $\mathbb{V}(x)$는 공집합이 아니므로, $V\in\mathbb{V}(x)$가 존재한다. $V\subset S$이므로, 명제 3의 조건 2에 의하여 $S\in\mathbb{V}(x)$, $S\in\mathfrak{O}$.
$O_1,O_2\in\mathfrak{O}$라고 하자. $O_1\cap O_2\neq\emptyset$인 경우만을 가정할 때, $x\in O_1\cap O_2$라고 하면, $x\in O_1$이고, $O_1\in\mathfrak{O}$이므로, $O_1\in\mathbb{V}(x)$, 마찬가지로, $O_2\in\mathbb{V}(x)$. 따라서, 명제 3의 조건 3에 의하여, $O_1\cap O_2\in\mathbb{V}(x)$, $O_1\cap O_2\in\mathfrak{O}$.
$(O_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$를 $\mathfrak{O}$의 원소로 이루어진 집합족이라고 하자. 임의의 $\lambda\in\Lambda$에 대해서 $O_\lambda\neq\emptyset$이라고 해도 일반성을 잃지 않으므로, 임의의 $\lambda\in\Lambda$에 대해서 $O_\lambda\neq\emptyset$인 것으로 하자. $x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda$라고 하면, $x\in O_{\lambda_0}$인 $\lambda_0\in\Lambda$가 존재하고, $O_{\lambda_0}\in\mathfrak{O}$이므로, $O_{\lambda_0}\in\mathbb{V}(x)$. 동시에 $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\supset O_{\lambda_0}$이므로, $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathbb{V}(x)$, $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathfrak{O}$.

마지막으로, 이렇게 위상이라는 것을 확인한 $\mathfrak{O}$에 의한, 위상공간 $(S,\mathfrak{O})$에서의 임의의 점 $x\in S$에 대한 근방계가 $\mathbb{V}(x)$와 일치하는 것을 보이자. 이는 $(S,\mathfrak{O})$ 상에서 $V$의 내부를 $V^\circ$와 같이 나타낼 때, $x\in V^\circ \Lrarr V\in\mathbb{V}(x)$를 보이는 문제로 귀착할 수 있다. 여기서, $x\in V^\circ$라면, $V^\circ\in\mathfrak{O}$이므로 $V^\circ\in\mathbb{V}(x)$. $V^\circ\subset V$이므로, 명제 3의 조건 2에 의하여 $V\in\mathbb{V}(x)$, 따라서 $x\in V^\circ\Rarr V\in\mathbb{V}(x)$가 성립하는 것을 보였다.

역은 다음과 같이 보일 수 있다. $x\in S$, $V\in\mathbb{V}(x)$라고 할 때, $U\coloneqq\{y\in S\mid V\in\mathbb{V}(y)\}$라고 하자. $V\in\mathbb{V}(x)$이므로, $x\in U$. 또한, $y\in U$라고 하면, $V\in\mathbb{V}(y)$이므로 $y\in V$, $U\subset V$이다. 여기서 $U\in\mathfrak{O}$인 것을 보이기만 하면, 명제 1에 의하여 $x\in V^\circ$인 것이 보여진다. $z\in U$를 $U$의 임의의 원소라고 하면, $V\in\mathbb{V}(z)$이므로, 명제 3의 조건 4에 의하여 $W\in\mathbb{V}(z)$가 존재하여, 임의의 $y’\in W$에 대하여 $V\in\mathbb{V}(y’)$이다. 따라서, $y’\in U$, $W\subset U$이다. 동시에 $W\in\mathbb{V}(z)$이므로, 명제 3의 조건 2에 의하여 $U\in\mathbb{V}(z)$이다. 이상으로, $U\in\mathfrak{O}$. $\square$

이 포스트에서는…

위상공간에서의 근방, 개근방, 근방계를 정의했다.
공집합이 아닌 집합 $S$가 주어졌을 때, 각 $x\in S$에 대하여 특정한 조건을 만족하는 $S$의 부분집합족 – 근방계 – 을 부여하는 것에 의하여, $S$ 상의 위상공간을 정할 수 있음을 보였다.

참고문헌

松坂和夫，『集合・位相入門』，岩波書店，1968．
内田伏一，『集合と位相』，裳華房，1986．

개집합, 폐집합

개집합, 폐집합의 정의

정의 1(개집합, 폐집합).

위상공간 $(S,\mathfrak{O})$에 대하여, $O\in\mathfrak{O}$인 $O$를 위상공간 $(S,\mathfrak{O})$의 개집합^open set이라고 한다.
위상공간 $(S,\mathfrak{O})$에 대하여, $A^\complement=S\setminus A\in\mathfrak{O}$인 $A$를 위상공간 $(S,\mathfrak{O})$의 폐집합^closed set이라고 한다. —

명제 1. 위상공간 $(S,\mathfrak{O})$의 폐집합 전부의 집합을 $\mathfrak{A}$라고 하면, $\mathfrak{A}$는 다음 성질을 만족한다.

$\emptyset, S\in\mathfrak{A}$.
$A_1,A_2\in\mathfrak{A}$라면, $A_1\cup A_2\in\mathfrak{A}$.
$\mathfrak{A}$의 원소로 이루어진 집합계 $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$에 대하여, $\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\in\mathfrak{A}$. —

증명. 각 위상의 공리에 De Morgan 법칙을 적용하면 된다. $\square$

반대로, 명제 1의 조건 1,2,3을 만족하는 $S$의 부분집합계 $\mathfrak{A}$ – 이를 폐집합계라고 하자 – 가 주어진다면, 같은 방법으로 De Morgan의 법칙을 적용하여, $\mathfrak{A}$의 원소의 여집합으로 이루어진 단 하나의 위상 $\mathfrak{O}$를 얻을 수 있다. 따라서, $S$ 상의 한 “위상공간”을 개집합계(즉, 위상)와 폐집합계의 두 가지 방법으로 정하는 것이 가능하다.

주. “개”집합과 “폐”집합이라는 용어 탓에, 개집합과 폐집합은 서로의 반대되는 개념이라고 생각할 수 있으나, 실제로는 개집합인 동시에 폐집합인 집합이 존재한다¹. 명제 1의 조건 1로부터 알 수 있듯이, 임의의 위상공간 $(S,\mathfrak{O})$에서 $\emptyset,S$는 개집합인 동시에 폐집합인 자명한 예이다. $\emptyset,S$ 이외에도 개집합인 동시에 폐집합인 집합이 존재할 수 있으며, 이는 특히 위상공간의 특징 중 하나인 “연결성^{connectedness}”에 관여한다. —

이 포스트에서는…

개집합과 폐집합을 정의했다.
공집합이 아닌 집합 $S$ 상에서 특정 조건을 만족하는 “폐집합계”에 의하여, $S$ 상의 위상공간을 정하는 것이 가능함을 밝혔다.

참고문헌

松坂和夫，『集合・位相入門』，岩波書店，1968．
内田伏一，『集合と位相』，裳華房，1986．

이를 개폐집합^clopen set이라고 하기도 한다.↩︎

위상의 정의

위상의 공리

정의 1(위상의 공리). $S$를 공집합이 아닌 집합이라고 하자. $S$의 부분집합계, 즉 $2^S$의 부분집합 $\mathfrak{O}$가 다음 조건 1,2,3을 만족할 때, $\mathfrak{O}$는 “$S$의 위상구조^{topological structure}를 정한다”, 혹은 “$S$ 상의 하나의 위상^topology이다”라고 한다.

$\emptyset, S\in \mathfrak{O}$.
$O_1,O_2\in\mathfrak{O}$라면, $O_1\cap O_2\in\mathfrak{O}$.¹
$\mathfrak{O}$의 원소로 이루어진 집합계 $(O_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$에 대하여, $\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda\in\mathfrak{O}$². —

집합 $S$와, 그 위상 $\mathfrak O$를 함께 $(S,\mathfrak{O})$와 같이 표시하여, 이를 위상공간^{topological space}이라고 한다. $S$ 상에서는 서로 다른 위상 $\mathfrak O_1$과 $\mathfrak O_2$가 존재할 수 있으며, 당연히 $(S,\mathfrak O_1)$과 $(S,\mathfrak O_2)$는 서로 다른 위상공간으로 취급한다.

예 1(밀착위상, 이산위상). 공집합이 아닌 집합 $S$ 상의 위상의 가장 간단한 예로는 2개의 원소로 이루어진 집합 $\mathfrak O_*\coloneqq\{\emptyset,S\}$을 생각할 수 있다. 이가 위상의 공리를 만족하고 있다는 것을 보이는 것은 간단하며, 이를 $S$ 상의 밀착위상^{indiscrete topology}이라고 한다. 또한 $\mathfrak{O}^*\coloneqq 2^S$ 와 같이 $S$의 부분집합계를 주어도, 이는 자명하게 위상의 공리를 만족한다. 이를 $S$ 상의 이산위상^{discrete topology}이라고 한다. $S$ 상의 임의의 위상 $\mathfrak{O}$에 대하여 $\mathfrak{O_*}\subset\mathfrak O\subset\mathfrak{O^*}$가 성립한다. —

이 포스트에서는…

위상의 공리를 이용하여 위상, 위상공간을 정의했다.
밀착위상, 이산위상을 정의했다.

참고문헌

松坂和夫，『集合・位相入門』，岩波書店，1968．
内田伏一，『集合と位相』，裳華房，1986．

이는 $O_1,\ldots,O_n\in\mathfrak{O}$과 같이 유한개의 $\mathfrak{O}$의 원소가 주어진다면, $O_1\cap\cdots\cap O_n\in\mathfrak{O}$임을 귀납적으로 함의한다.↩︎
임의의 농도를 갖는 집합계의 인덱스 $\Lambda$에 대하여 성립한다는 점이, 조건 2의 전제와 다른 부분이라고 할 수 있다.↩︎

노름공간의 정의

노름의 공리

정의 1(노름의 공리). $\SetR$ 혹은 $\SetC$ 상의 벡터공간 $V$에 대하여, 사상 $\|\cdot\|\colon V\to \SetR$이 다음 조건 1,2,3을 만족한다면, 사상 $\|\cdot\|$을 노름^norm이라고 한다.

임의의 $\vec x\in V$에 대하여 $\|\vec x\|\geq 0$가 성립한다. 또한 등호는 $\vec x = \vec 0$일 때에 한하여 성립한다.
임의의 $\vec x\in V$와 $\lambda\in \SetR$ (혹은 $\lambda\in\SetC$)에 대하여, $\|\lambda\vec x\| = |\lambda|\|\vec x\|$가 성립한다.
삼각부등식 – 임의의 $\vec x, \vec y\in V$에 대하여 $\|\vec x+ \vec y\|\leq \|\vec x\| + \|\vec y\|$가 성립한다. —

보조정리 1(Cauchy-Schwarz 부등식). 벡터공간 $\SetR^n$과, $\vec a = (a_1,\ldots, a_n), \vec b = (b_1\ldots, b_n) \in\SetR^n$에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.

$$ \left( \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right). $$

또한, 등호는 $\vec a$와 $\vec b$가 선형종속일 때에 한하여 성립한다. —

증명. $\vec a = \vec b = \vec 0$ 일 때, 부등식이 성립하는 것은 자명하니, 어느 한 쪽은 $\vec 0$이 아닌 경우만을 생각하자. 이 경우, $\vec a \neq \vec 0$ 라고 해도 일반성을 잃지 않으니 $\vec a\neq \vec 0$라고 하자.

$$ f(x) \coloneqq \sum_{i=1}^{n} (a_ix-b_i)^2 = \left( \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right)x^2-2\left( \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)x + \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) $$

라고 $f(x)$를 정의하면, $a_i\neq 0$인 $i=1,\ldots,n$이 존재하므로, $\sum_{i=1}^n a_i^2 \neq 0$. $f(x)$는 2차의 다항식이다. 중간의 식으로부터 알 수 있듯이, 임의의 $x\in\SetR$에 대하여 $f(x)\geq 0$이므로, $f(x)$의 판별식 $D$에 대하여,

$$ D/4 = \left( \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)^2-\left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \leq 0 $$

임을 알 수 있다. 또한, “$\vec a\neq\vec 0$와 $\vec b$가 선형종속인 것”과 “$\lambda\vec a = \vec b$이도록 하는 $\lambda\in\SetR$이 존재하는 것”은 동치, 이 경우에 한하여 $f(\lambda)= 0$로 $f(x)$는 중근 $\lambda$를 가지므로, $D=0$. $\vec a$와 $\vec b$가 선형종속인 것과 등호 성립은 동치임을 알 수 있다. $\square$

별도의 증명. 다음과 같은 간단한 식 변형을 통해 부등식이 성립하는 것을 알 수 있다.

$$ \begin{aligned} \left( \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \right) -\left( \sum_{i=1}^{n}a_ib_i \right)^2 &= \sum_{i\neq j} a_i^2b_j^2-2\sum_{i<j}^{} a_ib_ia_jb_j \\ &= \sum_{i<j} (a_ib_j -a_jb_i)^2 \geq 0. \end{aligned} $$

여기서 등호는 임의의 $i<j$에 대하여 $a_ib_j-a_jb_i=0$일 때에 한하여 성립한다는 것을 알 수 있다. 이 조건이 $\vec a$와 $\vec b$가 선형종속인 것과 동치인 것은 간단히 확인할 수 있다. $\square$

이외에도, Hölder 부등식이나, 내적의 공리로부터 Cauchy-Schwarz 부등식이 얻어진다.

예 1(Euclidean 공간). 점 $\vec a = (a_1, \ldots, a_n)\in \SetR^n$에 대하여, $\|\vec a\|_2 \coloneqq \sqrt{(a_1^2+\cdots+a_n^2)}$와 같이 사상 $\|\cdot\|: \SetR^n\to\SetR$을 정의하면, 정의 1의 노름의 공리 1,2를 만족하고 있는 것은 쉽게 확인할 수 있다. 또한, $\vec a = (a_1,\ldots,a_n), \vec b = (b_1,\ldots,b_n)\in\SetR^n$에 대해, 보조정리 1에 의하여

$$ \begin{aligned} \|\vec a+\vec b\|_2^2 &=\sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i)^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2\sum_{i=1}^n a_ib_i \\ &\leq \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2 {\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)^{1/2} \left( \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \right)^{1/2}} \\ &= \left( \|\vec a\|_2 + \|\vec b\|_2 \right)^2. \end{aligned} $$

따라서 $\|\cdot\|$은 $\SetR^n$ 상의 노름이다. 이를 Euclidean 노름이라고 하며, 이 노름(혹은 이 노름에 의한 자연스러운 거리)이 부여된 벡터공간 $\SetR^n$을 Euclidean 공간이라고 한다. —

예 2(Minkowski 공간). $p\in [1,\infty)$라고 하자. 점 $\vec a = (a_1, \ldots, a_n)\in \SetR^n$에 대하여, $\|\vec a\|_p\coloneqq (|a_1|^p + \cdots + |a_n|^p)^{1/p}$와 같이 사상 $\|\cdot\|: \SetR^n\to\SetR$을 정의하면, 정의 1의 노름의 공리 1,2를 만족하고 있는 것은 쉽게 확인할 수 있다. 또한, $\vec a = (a_1,\ldots,a_n), \vec b = (b_1,\ldots,b_n)\in\SetR^n$에 대해, $\|\vec a + \vec b\|_p\leq \|\vec a\|_p + \|\vec b\|_p$가 성립하는 것은 Minkowski 부등식으로부터 확인할 수 있다. 따라서 $\|\cdot\|_p$은 $\SetR^n$ 상의 노름이다. 이를 Minkowski 노름이라고 하며, 이 노름(혹은 이 노름에 의한 자연스러운 거리)이 부여된 벡터공간 $\SetR^n$을 Minkowski 공간이라고 한다. —

예 3(최댓값 노름). 점 $\vec a = (a_1, \ldots, a_n)\in \SetR^n$에 대하여 $\|\vec a\|_\infty \coloneqq \max_{1\leq i\leq n} |a_i|$ 와 같이 사상 $\|\cdot\|_\infty: \SetR^n\to \SetR$을 정의하면, 이는 노름이다. (연습문제) 이를 $\SetR^n$ 상의 최댓값 노름이라고 한다. —

이 포스트에서는…

노름과 노름공간을 정의했다.
Cauchy-Schwarz 부등식을 이용하여, 노름공간의 예로 Euclidean 공간을 들었다.
Minkowski 부등식을 이용하여, 노름공간의 예로 Minkowski 공간을 들었다.
노름의 예로 최댓값 노름을 들었다.

참고문헌

松坂和夫，『集合・位相入門』，岩波書店，1968．