λ…Έλ¦„κ³΅κ°„μ˜ μ •μ˜

λ…Έλ¦„μ˜ 곡리

μ •μ˜ 1(λ…Έλ¦„μ˜ 곡리). $\SetR$ ν˜Ήμ€ $\SetC$ μƒμ˜ 벑터곡간 $V$에 λŒ€ν•˜μ—¬, 사상 $\|\cdot\|\colon V\to \SetR$이 λ‹€μŒ 쑰건 1,2,3을 λ§Œμ‘±ν•œλ‹€λ©΄, 사상 $\|\cdot\|$을 노름norm이라고 ν•œλ‹€.

  1. μž„μ˜μ˜ $\vec x\in V$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\|\vec x\|\geq 0$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. λ˜ν•œ λ“±ν˜ΈλŠ” $\vec x = \vec 0$일 λ•Œμ— ν•œν•˜μ—¬ μ„±λ¦½ν•œλ‹€.
  2. μž„μ˜μ˜ $\vec x\in V$와 $\lambda\in \SetR$ (ν˜Ήμ€ $\lambda\in\SetC$)에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\|\lambda\vec x\| = |\lambda|\|\vec x\|$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€.
  3. 삼각뢀등식 – μž„μ˜μ˜ $\vec x, \vec y\in V$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\|\vec x+ \vec y\|\leq \|\vec x\| + \|\vec y\|$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

$\SetR$ ν˜Ήμ€ $\SetC$ μƒμ˜ 벑터곡간 $V$에 λŒ€ν•˜μ—¬ 노름 $\|\cdot\|$이 μ£Όμ–΄μ§ˆ λ•Œ, ν•¨μˆ˜ $d: V\times V\ni (\vec x,\vec y) \mapsto \|\vec x-\vec y\|\in\SetR$λ₯Ό μ •μ˜ν•˜λ©΄, $d$λŠ” $V$ μƒμ˜ κ±°λ¦¬ν•¨μˆ˜μž„μ„ 확인할 수 μžˆλ‹€. 이λ₯Ό 노름 $\|\cdot\|$에 μ˜ν•œ μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ 거리라고 ν•œλ‹€. λ”°λΌμ„œ, 노름곡간은 μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ 거리에 μ˜ν•˜μ—¬ κ±°λ¦¬κ³΅κ°„μœΌλ‘œ 생각할 수 μžˆλ‹€.

보쑰정리 1(Cauchy-Schwarz 뢀등식). 벑터곡간 $\SetR^n$κ³Ό, $\vec a = (a_1,\ldots, a_n), \vec b = (b_1\ldots, b_n) \in\SetR^n$에 λŒ€ν•˜μ—¬, λ‹€μŒ 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•œλ‹€.

$$ \left( \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right). $$

λ˜ν•œ, λ“±ν˜ΈλŠ” $\vec a$와 $\vec b$κ°€ μ„ ν˜•μ’…μ†μΌ λ•Œμ— ν•œν•˜μ—¬ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

증λͺ…. $\vec a = \vec b = \vec 0$ 일 λ•Œ, 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 자λͺ…ν•˜λ‹ˆ, μ–΄λŠ ν•œ μͺ½μ€ $\vec 0$이 μ•„λ‹Œ κ²½μš°λ§Œμ„ μƒκ°ν•˜μž. 이 경우, $\vec a \neq \vec 0$ 라고 해도 μΌλ°˜μ„±μ„ μžƒμ§€ μ•ŠμœΌλ‹ˆ $\vec a\neq \vec 0$라고 ν•˜μž.

$$ f(x) \coloneqq \sum_{i=1}^{n} (a_ix-b_i)^2 = \left( \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right)x^2-2\left( \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)x + \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) $$

라고 $f(x)$λ₯Ό μ •μ˜ν•˜λ©΄, $a_i\neq 0$인 $i=1,\ldots,n$이 μ‘΄μž¬ν•˜λ―€λ‘œ, $\sum_{i=1}^n a_i^2 \neq 0$. $f(x)$λŠ” 2차의 닀항식이닀. μ€‘κ°„μ˜ μ‹μœΌλ‘œλΆ€ν„° μ•Œ 수 μžˆλ“―μ΄, μž„μ˜μ˜ $x\in\SetR$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $f(x)\geq 0$μ΄λ―€λ‘œ, $f(x)$의 νŒλ³„μ‹ $D$에 λŒ€ν•˜μ—¬,

$$ D/4 = \left( \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)^2-\left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \leq 0 $$

μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ˜ν•œ, β€œ$\vec a\neq\vec 0$와 $\vec b$κ°€ μ„ ν˜•μ’…μ†μΈ 것”과 β€œ$\lambda\vec a = \vec b$이도둝 ν•˜λŠ” $\lambda\in\SetR$이 μ‘΄μž¬ν•˜λŠ” 것”은 λ™μΉ˜, 이 κ²½μš°μ— ν•œν•˜μ—¬ $f(\lambda)= 0$둜 $f(x)$λŠ” 쀑근 $\lambda$λ₯Ό κ°€μ§€λ―€λ‘œ, $D=0$. $\vec a$와 $\vec b$κ°€ μ„ ν˜•μ’…μ†μΈ 것과 λ“±ν˜Έ 성립은 λ™μΉ˜μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. $\square$

λ³„λ„μ˜ 증λͺ…. λ‹€μŒκ³Ό 같은 κ°„λ‹¨ν•œ 식 λ³€ν˜•μ„ 톡해 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€.

$$ \begin{aligned} \left( \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \right) -\left( \sum_{i=1}^{n}a_ib_i \right)^2 &= \sum_{i\neq j} a_i^2b_j^2-2\sum_{i<j}^{} a_ib_ia_jb_j \\ &= \sum_{i<j} (a_ib_j -a_jb_i)^2 \geq 0. \end{aligned} $$

μ—¬κΈ°μ„œ λ“±ν˜ΈλŠ” μž„μ˜μ˜ $i<j$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $a_ib_j-a_jb_i=0$일 λ•Œμ— ν•œν•˜μ—¬ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. 이 쑰건이 $\vec a$와 $\vec b$κ°€ μ„ ν˜•μ’…μ†μΈ 것과 λ™μΉ˜μΈ 것은 κ°„λ‹¨νžˆ 확인할 수 μžˆλ‹€. $\square$

이외에도, HΓΆlder λΆ€λ“±μ‹μ΄λ‚˜, λ‚΄μ μ˜ κ³΅λ¦¬λ‘œλΆ€ν„° Cauchy-Schwarz 뢀등식이 얻어진닀.

예 1(Euclidean 곡간). 점 $\vec a = (a_1, \ldots, a_n)\in \SetR^n$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\|\vec a\|_2 \coloneqq \sqrt{(a_1^2+\cdots+a_n^2)}$와 같이 사상 $\|\cdot\|: \SetR^n\to\SetR$을 μ •μ˜ν•˜λ©΄, μ •μ˜ 1의 λ…Έλ¦„μ˜ 곡리 1,2λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜κ³  μžˆλŠ” 것은 μ‰½κ²Œ 확인할 수 μžˆλ‹€. λ˜ν•œ, $\vec a = (a_1,\ldots,a_n), \vec b = (b_1,\ldots,b_n)\in\SetR^n$에 λŒ€ν•΄, 보쑰정리 1에 μ˜ν•˜μ—¬

$$ \begin{aligned} \|\vec a+\vec b\|_2^2 &=\sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i)^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2\sum_{i=1}^n a_ib_i \\ &\leq \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2 {\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)^{1/2} \left( \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \right)^{1/2}} \\ &= \left( \|\vec a\|_2 + \|\vec b\|_2 \right)^2. \end{aligned} $$

λ”°λΌμ„œ $\|\cdot\|$은 $\SetR^n$ μƒμ˜ 노름이닀. 이λ₯Ό Euclidean 노름이라고 ν•˜λ©°, 이 노름(ν˜Ήμ€ 이 노름에 μ˜ν•œ μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ 거리)이 λΆ€μ—¬λœ 벑터곡간 $\SetR^n$을 Euclidean 곡간이라고 ν•œλ‹€. β€”

예 2(Minkowski 곡간). $p\in [1,\infty)$라고 ν•˜μž. 점 $\vec a = (a_1, \ldots, a_n)\in \SetR^n$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\|\vec a\|_p\coloneqq (|a_1|^p + \cdots + |a_n|^p)^{1/p}$와 같이 사상 $\|\cdot\|: \SetR^n\to\SetR$을 μ •μ˜ν•˜λ©΄, μ •μ˜ 1의 λ…Έλ¦„μ˜ 곡리 1,2λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜κ³  μžˆλŠ” 것은 μ‰½κ²Œ 확인할 수 μžˆλ‹€. λ˜ν•œ, $\vec a = (a_1,\ldots,a_n), \vec b = (b_1,\ldots,b_n)\in\SetR^n$에 λŒ€ν•΄, $\|\vec a + \vec b\|_p\leq \|\vec a\|_p + \|\vec b\|_p$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 Minkowski λΆ€λ“±μ‹μœΌλ‘œλΆ€ν„° 확인할 수 μžˆλ‹€. λ”°λΌμ„œ $\|\cdot\|_p$은 $\SetR^n$ μƒμ˜ 노름이닀. 이λ₯Ό Minkowski 노름이라고 ν•˜λ©°, 이 노름(ν˜Ήμ€ 이 노름에 μ˜ν•œ μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ 거리)이 λΆ€μ—¬λœ 벑터곡간 $\SetR^n$을 Minkowski 곡간이라고 ν•œλ‹€. β€”

예 3(μ΅œλŒ“κ°’ 노름). 점 $\vec a = (a_1, \ldots, a_n)\in \SetR^n$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\|\vec a\|_\infty \coloneqq \max_{1\leq i\leq n} |a_i|$ 와 같이 사상 $\|\cdot\|_\infty: \SetR^n\to \SetR$을 μ •μ˜ν•˜λ©΄, μ΄λŠ” 노름이닀. (μ—°μŠ΅λ¬Έμ œ) 이λ₯Ό $\SetR^n$ μƒμ˜ μ΅œλŒ“κ°’ 노름이라고 ν•œλ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • 노름과 노름곡간을 μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • Cauchy-Schwarz 뢀등식을 μ΄μš©ν•˜μ—¬, λ…Έλ¦„κ³΅κ°„μ˜ 예둜 Euclidean 곡간을 λ“€μ—ˆλ‹€.
  • Minkowski 뢀등식을 μ΄μš©ν•˜μ—¬, λ…Έλ¦„κ³΅κ°„μ˜ 예둜 Minkowski 곡간을 λ“€μ—ˆλ‹€.
  • λ…Έλ¦„μ˜ 예둜 μ΅œλŒ“κ°’ 노름을 λ“€μ—ˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • 松坂 ε’Œε€«οΌŒγ€Žι›†εˆγƒ»δ½η›Έε…₯ι–€γ€οΌŒε²©ζ³’ζ›ΈεΊ—οΌŒ1968.