군의 직곱

정의 1. $G, H$를 이라고 하자. 집합 $G\times H$에 다음과 같은 연산을 부여하면, $G\times H$는 군의 공리를 만족하는 것을 쉽게 확인할 수 있다. (연습문제)

$$ (g,h)(g',h') = (gg', hh') $$

이와 같은 군 $G\times H$를 $G$와 $H$의 직곱(direct product)라고 한다. —

명제 1. 군 $G$에 대하여, $H,K\vartriangleleft G$이고, $H\cap K = \left\{ 1_G \right\}$, $G = HK$라고 하면, $G \cong H\times K$이다. —

증명.

  • $f: H\times K \ni (h,k) \mapsto hk \in G$라고 하자. $h\in H$, $k\in K$라고 할 때, $H\vartriangleleft G$이므로, $kh^{-1}k^{-1}\in H$, 따라서 $hkh^{-1}k^{-1}\in H$이다. 마찬가지로 $K\vartriangleleft G$이므로, $hkh^{-1}\in K$, 따라서 $hkh^{-1}k^{-1} \in K$, $hkh^{-1}k^{-1} \in H\cap K = \left\{ 1_G \right\}$이므로, $hk = kh$가 성립한다. 이를 이용하면, $f((h,k)(h’,k’)) = f(hh’, kk’) = hh’kk’ = hkh’k’ = f(h,k)f(h’,k’)$이므로 $f$는 준동형이다.
  • $(h,k)\in\text{Ker}(f)$라고 하면, $hk = f(h,k) = 1_G$, $h = k^{-1} \in H\cap K = \left\{ 1_G \right\}$이므로, $(h,k) = (1_G, 1_G)$. 따라서 $f$는 단사.
  • $f$가 전사라는 것은 정의로부터 분명하므로, $f$는 동형이다. $\square$

이 포스트에서는…

  • $G, H$를 군이라고 할 때, $G\times H$에 $(g,h)(g’,h’) = (gg’, hh’)$와 같이 연산을 부여하여, 군의 직곱을 정의했다.
  • 군 $G$에 대하여 $H,K\vartriangleleft G$, $H\cap K = \left\{ 1_G \right\}$, $G = HK$라면, $G\cong H\times K$임을 보였다.

군의 반직곱

군의 반직곱의 정의

명제 1. $N, H$를 이라고 하자. 이 때, 준동형 $\Phi: H\ni h\mapsto \phi_h\in \text{Aut}(N)$을 고정하여, 집합 $N\times H$에 다음과 같은 연산을 부여하면, $N\times H$는 군이 된다. —

$$ (n,h)(n',h') = (n\phi_h(n'), hh') $$

증명. 군의 공리를 만족하는 것을 확인한다. 먼저, 결합법칙이 성립하는 것을 보이자. 임의의 $(n_1, h_1), (n_2, h_2), (n_3, h_3)\in N\times H$에 대하여,

$$ \begin{aligned} \left\{ (n_1, h_1)(n_2, h_2) \right\}(n_3, h_3) &= (n_1\phi_{h_1}(n_2), h_1h_2)(n_3, h_3) \\ &= (n_1\phi_{h_1}(n_2)\phi_{h_1h_2}(n_3), h_1h_2h_3) \\ &= (n_1\phi_{h_1}(n_2\phi_{h_2}(n_3)), h_1h_2h_3) \\ &= (n_1, h_1)(n_2\phi_{h_2}(n_3), h_2h_3) = (n_1, h_1)\left\{ (n_2, h_2)(n_3, h_3) \right\}. \end{aligned} $$

또한, 임의의 $(n,h)\in N\times H$에 대하여,

  • $(1_N, 1_H)(n,h) = (1_N\phi_{1_H}(n), 1_Hh) = (n,h)$.
  • $(n,h)(1_N, 1_H) = (n\phi_{h}(1_N), h1_H) = (n,h)$.

이므로, $(1_N, 1_H)$는 $N\times H$의 단위원. 마지막으로, 임의의 $(n,h)\in N\times H$에 대하여,

  • $(n,h)(\phi_{h^{-1}}(n^{-1}),h^{-1}) = (n\phi_{h}(\phi_{h^{-1}}(n^{-1})), hh^{-1}) = (1_N, 1_H)$.
  • $(\phi_{h^{-1}}(n^{-1}),h^{-1})(n,h) = (\phi_{h^{-1}}(n^{-1})\phi_{h^{-1}}(n), h^{-1}h) = (1_N, 1_H)$.

이므로, 역원 $(\phi_{h^{-1}}(n^{-1}), h^{-1})$이 존재함을 알 수 있다. $\square$

정의 1. 위 명제의 군을 $N\rtimes_\Phi H$, 혹은 $N\rtimes H$로 나타내어, $\Phi$에 의한 $N$과 $H$의 반직곱(semidirect product)이라고 한다. —

. $\Phi: H \to \text{Aut}(N)$이 자명한 준동형 – 임의의 $h\in H$에 대해 $\Phi(h) = \text{id}_N$ – 이라고 하면, $\Phi$에 의한 반직곱은 일반적인 군의 직곱 $N\times H$와 같다는 것을 알 수 있다. —

반직곱을 이용한 군의 분해

명제 2. 군 $G$에 대하여 $N\vartriangleleft G$이고, $G/N$의 완전대표계인 $G$의 부분군 $H$가 존재한다고 하자. (즉, 부분군 $H$가 존재하고, 자연스러운 준동형 $\pi: G\to G/N$에 대하여 $\pi|_H$가 동형.) 이 때, 다음이 성립한다.

  1. $N\cap H = \left\{ 1_G \right\}$.
  2. $G$의 내부자기동형 $\phi_g: G\ni x \mapsto gxg^{-1} \in G$는 $N$의 자기동형을 유도한다.
  3. 2로부터 얻어지는 준동형 $\Phi: H \ni h \mapsto \phi_h \in \text{Aut}(N)$에 의하여 반직곱을 정의할 때, $G\cong N\rtimes H$. —

증명.

  1. $H$가 $G/N$의 완전대표계이므로 자명.
  2. $g\in G$, $x\in N$ 이라고 할 때, $N \vartriangleleft G$이므로 $\phi_g(x) = gxg^{-1} \in N$. 따라서, $\phi_g|_N\in \text{Aut}(N)$.
  3. $f: N\rtimes H \ni (n,h) \mapsto nh \in G$ 로 사상 $f$를 정의하자.
    • 우선, $(n,h), (n’,h’)\in N\rtimes H$에 대하여, $f((n,h)(n’,h’)) = f(nhn’h^{-1}, hh’) = nhn’h^{-1}hh’ = nhn’h’ = f(n,h)f(n’,h’)$ 이므로, $f$는 준동형이다.
    • $(n,h)\in\text{Ker}(f)$라고 한다면, $f(n,h) = nh = 1_G$ 이므로, $n = h^{-1} \in N\cap H = \left\{ 1_G \right\}$. 따라서 $\text{Ker}(f)$는 자명하므로, $f$는 단사.
    • $H$가 $G/N$의 완전대표계이므로 $f$는 전사이다1. 따라서, $f$는 동형. $\square$

. 군 $G$가 유한군이라면, 부분군 $H,N$에 대하여 $N\vartriangleleft G$, $H\cap N = \left\{ 1_G \right\}$, $|H|\cdot|N| = |G|$의 조건만으로도 3의 결론을 얻기에 충분하다2. —

예 1. $A_n \vartriangleleft\mathfrak S_n$ 이고, $\mathfrak S_2$를 $\mathfrak S_n$의 부분군으로 볼 때, 이는 $\mathfrak S_n / A_n$의 완전대표계이므로, 내부자기동형으로부터 유도되는 준동형 $\Phi: \mathfrak S_2 \ni \sigma \mapsto \phi_{\sigma} \in \text{Aut}(A_n)$에 의하여 $\mathfrak S_n \cong A_n \rtimes \mathfrak S_2$. —

예 2. 예 1과 마찬가지로, 이면체군 $D_{2n} = \langle t,r \mid t^n = r^2 = 1, rtr = t^{-1} \rangle$에 대해서, $D_{2n} \cong \langle t \rangle \rtimes \langle r \rangle$. —

이 포스트에서는…

  • 군 $N, H$와 준동형 $\Phi: H \ni h \mapsto \phi_h \in \text{Aut}(N)$이 주어질 때, 집합 $N\times H$에 $(n,h)(n’,h’) = (n\phi_h(n’), hh’)$와 같이 연산을 부여하면 군을 이루는 것을 보였다. 이를 $N\rtimes_\Phi H$ 혹은 $N\rtimes H$와 같이 나타내어 반직곱이라고 정의했다.
  • 군 $G$에 대하여, $N\vartriangleleft G$이고, $G$의 부분군 $H$가 $G/N$의 완전대표계일 때, 내부자기동형으로부터 유도되는 준동형 $\Phi: H\ni h\mapsto \phi_h\in\text{Aut}(N)$을 이용하여 반직곱을 정의하면, $G\cong N\rtimes H$가 성립함을 보였다.

  1. 구체적으로는, $g\in G$에 대하여, $gh^{-1}\in N$인 $h$가 (단 하나) 존재하고, $gh^{-1} = n$이라고 하면, $g = nh$. 따라서 $f$는 전사.↩︎

  2. 군의 제2동형정리로 부터, $H \cong H/(H\cap N) \cong HN/N$이다. 이 때, $HN$은 유한군 $G$의 부분군이고, $|HN| = |H|\cdot|N| = |G|$으로부터 $G = HN$. 따라서, $g\in G$에 대하여 $h^{-1}g \in N$인 $h\in H$가 단 하나 존재하므로 $H$는 완전대표계, 동시에 $\pi|_H$에 의하여 $H \cong G/N$임을 알 수 있다.↩︎

정규부분군, 잉여군

정규부분군의 정의

정의 1. $G$를 , $N$을 $G$의 부분군이라고 하자. 다음 조건은 모두 동치이며(연습문제), 이를 만족하는 부분군 $N$을 $G$의 정규부분군(normal subgroup)이라고 한다. $N$이 $G$의 정규부분군이라는 것을 $N \vartriangleleft G$와 같이 나타낸다.

  1. 임의의 $g\in G$, $n\in N$에 대하여 $gng^{-1} \in N$.
  2. 임의의 $g\in G$에 대하여 $gNg^{-1} \subset N$.
  3. 임의의 $g\in G$에 대하여 $gNg^{-1} = N$.
  4. 임의의 $g\in G$에 대하여 $gN = Ng$. 즉, 왼쪽 잉여류와 오른쪽 잉여류가 일치한다. —

예 1. $G$의 부분군 $\{1_G\}$와 $G$는 정규부분군이다. —

예 2. $G$가 abelian 군이라면, $G$의 임의의 부분군은 정규부분군이다. —

문제 1. $G$의 지수 2인 부분군 $H$는 정규부분군임을 보여라. (따라서, $A_n \vartriangleleft\mathfrak S_n$이다.) —

문제 2. 준동형 $\phi:G\to H$가 주어졌을 때, $\text{Ker}(\phi) \vartriangleleft G$ 임을 보여라. (따라서, $\text{SL}_n(\SetR) \vartriangleleft \text{GL}_n(\SetR)$이다.) —

잉여군의 정의

명제 1. 군 $G$와 그 정규부분군 $N$이 주어졌을 때, $\phi: G/N \times G/N \ni (g_1N, g_2N) \mapsto g_1g_2N \in G/N$은 well-defined인 사상이다. 또한, $\phi$를 연산으로 하여, $G/N$은 군을 이룬다. —

증명. $g_1N = g_1’N$, $g_2N = g_2’N$이라고 하자. $g_1’= g_1n_1$, $g_2’= g_2n_2$라고 하면, $g_1’g_2’= g_1n_1g_2n_2 = g_1g_2g_2^{-1}n_1g_2n_2$, 여기서, $N$은 정규부분군이므로, $g_2^{-1}n_1g_2n_2 \in N$. 따라서, $g_1g_2N = g_1g_2g_2^{-1}n_1g_2n_2N = g_1’g_2’N$, $\phi$는 well-defined인 사상이다.

$\phi$를 $G/N$ 상의 연산으로 보면,

  1. 임의의 $a,b,c\in G$에 의한, $aN, bN, cN\in G/N$에 대하여, $aN(bNcN) = aN(bcN) = (a(bc))N = ((ab)c)N = (abN) = cN = (aNbN)cN$.
  2. $N$은 $G/N$의 단위원이다.
  3. 임의의 $g\in G$에 의한, $gN\in G/N$에 대하여, $g^{-1}N$은 $gN$의 역원이다.

이상에 의하여 $G/N$은 군을 이룬다. $\square$

정의 2. 명제 1의 군 $G/N$을 $G$의 $N$에 의한 잉여군, 혹은 몫군(quotient group)이라고 한다. —

정의 3. 사상 $\pi: G \ni g \mapsto gN \in G/N$이 전사인 준동형인 것은 바로 알 수 있다. 이를 자연스러운 준동형 혹은 자연스러운 전사이라고 한다. —

이 포스트에서는…

  • 군 $G$와 그 부분군 $N$에 대하여, 임의의 $g\in G$, $n\in N$에 대해, $gng^{-1}\in N$ 일 때, $N$은 $G$의 정규부분군, $N\vartriangleleft G$와 같이 나타낸다고 정의했다.
  • 특히 $N\vartriangleleft G$일 때, 그 잉여류 $G/N$ 상에서 $g_1Ng_2N = g_1g_2N$과 같이 연산을 정의하여, $G/N$이 군을 이루는 것을 보였다.