정규부분군을 포함하는 부분군

정리 1. $N$을 $G$의 정규부분군이라고 하자. $\pi: G\to G/N$을 자연스러운 준동형, $X$를 $G/N$의 부분군의 집합, $Y$를 $N$을 포함하는 $G$의 부분군 전체의 집합이라고 두면, 다음 두 사상 $\phi$와 $\psi$가 존재하며,

  • $\phi: X \ni H \mapsto \pi^{-1}(H) \in Y$
  • $\psi: Y \ni K \mapsto \pi(K) \in X$

$\phi$와 $\psi$는 서로의 역사상이다. 따라서 $X$와 $Y$간에는 일대일 대응이 존재한다. —

증명. 먼저 $H\in X$에 대하여, $\pi^{-1}(H)\in Y$임을 보이자. $1_{G/N} \in H$ 이므로, $N = \pi^{-1}(\left\{ 1_{G/N} \right\}) \subset \pi^{-1}(H)$이다. 또한, $\pi$는 준동형, $H$는 $G/N$의 부분군이므로, $\pi^{-1}(H)$ 역시 $G$의 부분군임을 간단히 확인할 수 있다. (연습문제) 따라서 $\pi^{-1}(H) \in Y$, $\phi$는 올바르게 정의된 사상이다.

다음으로, $\psi$가 사상임을 보이자. $\phi$와 마찬가지로, 군 $G$의 $N$을 포함하는 부분군 $K\subset G$에 대하여 $\pi(K)\in X$, 즉 $\pi(K)$가 $G/N$의 부분군임을 보이면 된다. 실제로, $\pi|_K: K \to G/N$은 준동형이므로, $\pi(K) = \text{Im}(\pi|_K)$는 $G/N$의 부분군, 따라서 $\pi(K)\in X$임을 알 수 있다.

마지막으로, $\phi$와 $\psi$가 서로의 역사상임을 보이자.

  • 임의의 $H\in X$에 대하여 $(\psi\circ\phi)(H) = H$. i.e. $\pi(\pi^{-1}(H)) = H$. $\pi$가 전사이므로 등호가 성립한다.
  • 임의의 $K\in Y$에 대하여 $(\phi\circ\psi)(K) = K$. i.e. $K = \pi^{-1}(\pi(K))$.
    • $K\subset \pi^{-1}(\pi(K))$: 사상의 상과 역상의 기본적 성질.
    • $K\supset \pi^{-1}(\pi(K))$: $g\in\pi^{-1}(\pi(K))$라고 하면, $gN\pi(g)\in\pi(K)=K/N$, $k\in K$가 존재하여 $gN = kN$, $k^{-1}g\in N\subset K$. 따라서 $g = k(k^{-1}g)\in K$. $\square$

이 포스트에서는…

  • 군 $G$에 대하여 $N\vartriangleleft G$라고 하면, 잉여군 $G/N$의 부분군 전체의 집합 $X$와 $G$의 $N$을 포함하는 부분군 전체의 집합 $Y$ 간에 일대일 대응이 존재함을 보였다.
    • 구체적으로는, $\phi: X\ni H\mapsto \pi^{-1}(H) \in Y$, $\psi: Y\ni K \mapsto \pi(K) \in X$ 와 같은 사상이 존재하여, 두 사상이 서로의 역사상이므로 전단사라는 것을 보였다.

군의 제3동형정리, 준동형의 분해

정리 1(군의 제3동형정리). $G$에 대하여, $H\vartriangleleft G$, $N\vartriangleleft G$, $H\supset N$이라면, $\left( G/N \right)/ \left( H/N \right) \cong G/H$이다. —

증명.

  • 사상 $\phi: G/N \ni gN \mapsto gH \in G/H$ 가 well-defined인 사상임을 보이도록 하자. $g,g’\in G$에 대하여, $gN = g’N$일 때 $\phi(gN) = \phi(g’N)$이 성립하는지를 확인하면 된다. $gN=g’N$이라면, $g^{-1}g’\in N\subset H$이므로, $\phi(gN) = gH = g’H = \phi(g’N)$이 성립, $\phi$는 well-defined이다.
  • 다음으로, $\phi$가 준동형이라는 것을 보이자. $g_1, g_2\in G$, $g_1N, g_2N\in G/N$에 대하여, $\phi((g_1N)(g_2N)) = \phi(g_1g_2N) = g_1g_2H = (g_1H)(g_2H) = \phi(g_1N)\phi(g_2N)$ 이므로 $\phi$는 준동형이다.
  • 임의의 $gH \in G/H$에 대하여 $gN\in G/N$이 존재하여 $\phi(gN) = gH = X$이라는 것은 쉽게 알 수 있으므로, $\text{Im}(\phi) = G/H$.
  • 또한, $hN\in H/N$에 대하여 $\phi(hN) = hH = H$이므로, $H/N \subset \text{Ker}(\phi)$. 역으로 $g\in G$, $gN\in \text{Ker}(\phi)$라고 하면 $gH = \phi(gN) = H$이므로 $g\in H$, $gN\in H/N$, 따라서 $\text{Ker}(\phi) = H/N$이다. 이상과 준동형정리에 따라, $(G/N)/(H/N) = (G/N)/ \text{Ker}(\phi) \cong \text{Im}(\phi) = G/H$가 성립하는 것을 알 수 있다. $\square$

예 1. 제3동형정리에 의하여, $(\SetZ/12\SetZ)/(3\SetZ/12\SetZ)\cong \SetZ/3\SetZ$ 임을 쉽게 확인할 수 있다. —

준동형의 분해

명제 2. $\phi: G\to H$를 군의 준동형, $N\vartriangleleft G$이고 $\pi_N: G\to G/N$을 자연스러운 준동형이라고 할 때, 다음 두 조건은 동치이다.

  1. $N\subset \text{Ker}(\phi)$.
  2. $\phi = \psi_N\circ\pi_N$를 만족하는 준동형 $\psi_N: G/N\to H$가 존재한다. —

증명.

  • 1이면 2. 제3동형정리에서 사용한 준동형사상과 같은 준동형 $f: G/N\to G/\text{Ker}(\phi)$가 존재하는 것을 알 수 있다. 또한 준동형정리에 의하여 자연스러운 준동형 $\pi: G\to G/\text{Ker}(\phi)$이 주어졌을 때, $\phi = \psi\circ\pi$를 만족하는 (단사인) 준동형 $\psi: G/\text{Ker}(\phi)\to H$이 존재한다. 여기서 $\pi = f\circ\pi_N$가 성립하는 것은 정의로부터 알 수 있고, $\phi = \psi\circ\pi = \psi\circ f\circ\pi_N$ 가 성립하므로 $\psi_N = \psi\circ f$로 두면 된다.
  • 2이면 1. $\phi = \psi_N\circ\pi_N$를 만족하는 준동형 $\psi_N$가 존재한다고 가정하면, $N = \text{Ker}(\pi_N) \subset \text{Ker}(\phi)$. $\square$

이 포스트에서는…

  • 군 $G$와 $H, N \vartriangleleft G$, $H\supset N$을 만족하는 부분군 $H, N$이 주어질 때, 준동형 사상 $\phi: G/N \ni gN\mapsto gH \in G/H$에 준동형정리를 적용하여 제3동형정리, 즉 $(G/N)/(H/N) \cong G/H$가 성립함을 보였다.
  • 제3동형정리의 증명에서 사용한 것과 같은 사상을 이용하여, 준동형 $\phi: G\to H$와 $G$의 정규부분군 $N$, 그리고 자연스러운 준동형 $\pi_N: G\to G/N$이 주어질 때, $\phi = \psi_N\circ\pi_N$을 만족하는 준동형 $\psi_N$이 존재할 필요충분조건이 $N\subset \text{Ker}(\phi)$임을 보였다.

군의 제2동형정리

정리 1(군의 제2동형정리). $H, N$을 $G$의 부분군, 특히 $N \vartriangleleft G$라고 하자. 이 때, 다음 사실이 성립한다.

  1. $HN = NH$이다.
  2. $HN$은 $G$의 부분군이다.
  3. $H\cap N \vartriangleleft H$, $N\vartriangleleft HN$.
  4. $H/H\cap N\cong HN/N$. —

증명.

  1. 임의의 $h\in H$에 대하여 $hN=Nh$이므로 $HN=NH$.
  2. $HN$이 부분군의 조건을 만족하는지 확인한다.
    1. $1_G = 1_G1_G \in HN$.
    2. $h_1, h_2\in H$, $n_1, n_2\in N$에 대하여, $N$이 정규부분군이므로 $h_1n_1h_2n_2 \in h_1Nh_2N = h_1h_2NN\subset HN$.
    3. $h\in H$, $n\in N$에 대하여, $(hn)^{-1}= n^{-1}h^{-1}\in NH = HN$.
  3. $H\cap N$이 $H$의 부분군, $N$이 $HN$의 부분군이라는 것은 알기 쉽다. 이들이 정규부분군임을 보이자.
    • $N\vartriangleleft H$인 동시에, 임의의 $h, n\in H$에 대해 $hnh^{-1}\in H$이므로, $h\in H$, $n\in H\cap N$이면 $hnh^{-1}\in H\cap N$. 따라서 $H\cap N \vartriangleleft H$.
    • 2에서 보인대로, $HN$은 $N$을 포함하는 $G$의 부분군이므로 $N \vartriangleleft HN$.
  4. 3의 결과에 의하여 $H/H\cap N$과 $HN/N$은 잉여군. 이 때, $i: H\ni h\mapsto h\in HN$, $\pi: HN\ni hn\mapsto hnN = hN \in HN/N$을 이용하여, 사상 $\phi = \pi\circ i$을 구축하면, $i$와 $\pi$ 모두 준동형사상이므로, $\phi: H\to HN/N$역시 준동형사상이다.
    • 임의의 $hnN = hN\in HN/N$에 대하여, $h\in H$, $\phi(h) = hnN$이므로, $\phi$는 전사이다. 따라서 $\text{Im}(\phi) = HN/N$.
    • $x\in H\cap N$이면 $\phi(x) = xN = N$, 따라서 $x\in \text{Ker}(\phi)$이므로 $H\cap N \subset \text{Ker}(\phi)$. 역으로 $x\in \text{Ker}(\phi) \subset H$라고 하면, $xN = \phi(x) = N$. 따라서 $x\in H\cap N$, $\text{Ker}(\phi)= H\cap N$이다. 준동형정리에 의하여, $H/H\cap N = H/\text{Ker}(\phi) \cong \text{Im}(\phi) = HN/N$. $\square$

. 2가 성립하는 것은 $\pi: G\to G/N$을 자연스러운 준동형이라고 할 때, $NH= \pi^{-1}(\pi(H))$가 성립하는 것으로부터도 보일 수 있다. (준동형의 의한 부분군의 상과 역상은 각 집합의 부분군이므로. 이를 확인하는 것은 연습문제) —

예 1. $G = \SetZ$, $H = m\SetZ$, $N = n\SetZ$로 두자. 우선 $H$와 $N$ 모두 가환군의 부분군이므로 정규부분군이다. 따라서 제2동형정리를 이용하면 $G = \gcd(m,n)$, $L = \text{lcm}(m,n)$으로 하여 $m\SetZ/L\SetZ = H/H\cap N \cong HN / N = G\SetZ/n\SetZ$이 성립하는 것을 알 수 있다. —

이 포스트에서는…

  • 군 $G$와 부분군 $H, N$이 주어지고, $N\vartriangleleft G$일 때, 준동형 사상 $\phi: H\ni h\mapsto hN \in HN/N$에 준동형정리를 적용하여 제2동형정리, 즉, $H/H\cap N\cong HN/N$임을 보였다.