ν™˜μ˜ μ •μ˜

ν™˜, κ°€ν™˜ν™˜, 자λͺ…ν™˜

μ •μ˜ 1(ν™˜, κ°€ν™˜ν™˜). 집합 $A$에 두 μ—°μ‚° $+$와 $\times$κ°€ μ£Όμ–΄μ‘Œλ‹€κ³  ν•˜μž. ($a\times b$λ₯Ό $ab$와 같이 쓰기도 ν•œλ‹€.) 두 연산에 λŒ€ν•˜μ—¬ λ‹€μŒ 쑰건 1,2,3,4λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•œλ‹€λ©΄, $A$λŠ” ν™˜ring이라고 ν•œλ‹€1. 특히, 쑰건 5λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” ν™˜μ„ κ°€ν™˜ν™˜commutativeΒ ring, 그렇지 μ•Šμ€ ν™˜μ„ λΉ„κ°€ν™˜ν™˜μ΄λΌκ³  ν•œλ‹€.

  1. 가법ꡰ – $A$λŠ” $+$에 κ΄€ν•˜μ—¬ κ°€ν™˜κ΅°μ΄λ‹€2.
  2. 곱의 결합법칙 – μž„μ˜μ˜ $a,b,c\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $(ab)c = a(bc)$.
  3. 곱의 λ‹¨μœ„μ›μ˜ 쑴재 – $1\in A$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬, μž„μ˜μ˜ $a\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $1a = a1 = a$3.
  4. 뢄배법칙 – μž„μ˜μ˜ $a,b,c\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $a(b+c) = ab + ac$, $(a+b)c = ac +bc$.
  5. 곱의 κ°€ν™˜λ²•μΉ™ – μž„μ˜μ˜ $a,b\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $ab = ba$. β€”

$a\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $ab = ba = 1$인 $b\in A$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, $a$λ₯Ό 가역원 ν˜Ήμ€ 단원unit이라고 ν•˜κ³ , $b$λ₯Ό $a$의 역원이라고 ν•œλ‹€4. $A$의 단원 전체λ₯Ό $A^{\times}$ 라고 ν•˜λ©΄, $A^{\times}$λŠ” $\times$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $1$을 λ‹¨μœ„μ›μœΌλ‘œ ν•˜λŠ” ꡰ을 μ΄λ£¨λŠ” 것을 확인할 수 μžˆλ‹€(μ—°μŠ΅λ¬Έμ œ). 이λ₯Ό $A$의 μŠΉλ²•κ΅°μ΄λΌκ³  ν•œλ‹€.

예 1. $A = \left\{ 0 \right\}$에 연산을 $0+0 = 0$, $0\times 0 = 0$와 같이 λΆ€μ—¬ν•˜λ©΄ μ΄λŠ” μ›μ†Œ 1κ°œλ§Œμ„ κ°€μ§€λŠ” ν™˜μ„ 이룬닀. μ΄λŸ¬ν•œ ν™˜μ„ 자λͺ…ν™˜trivialΒ ring 이라고 ν•œλ‹€. β€”

예 2. $\SetZ, \SetQ, \SetR, \SetC$λŠ” 톡상적인 λ§μ…ˆκ³Ό κ³±μ…ˆμ— μ˜ν•˜μ—¬ κ°€ν™˜ν™˜μ„ 이룬닀. λ§μ…ˆμ˜ λ‹¨μœ„μ›μ€ λͺ¨λ‘ $0$, κ³±μ…ˆμ˜ λ‹¨μœ„μ›μ€ $1$이닀. β€”

문제 1. $\SetZ^{\times}, \SetQ^{\times}, \SetR^{\times}, \SetC^{\times}$ 각각의 μ›μ†Œλ₯Ό λͺ¨λ‘ κ΅¬ν•˜μ—¬λΌ. β€”

예 3. μ‹€μˆ˜ μ„±λΆ„μ˜ $n\times n$ ν–‰λ ¬μ˜ 전체λ₯Ό $\text{M}_n(\SetR)$이라고 ν•˜λ©΄, 일반적인 ν–‰λ ¬μ˜ λ§μ…ˆκ³Ό κ³±μ…ˆμ— μ˜ν•˜μ—¬ $\text{M}_n(\SetR)$은 λΉ„κ°€ν™˜ν™˜μ„ 이룬닀. λ˜ν•œ μ •μ˜μ— μ˜ν•˜μ—¬ $\text{M}_n(\SetR)^{\times} = \text{GL}_n(\SetR)$ μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. β€”

보쑰정리 1. $A$λ₯Ό ν™˜μ΄λΌκ³  ν•˜μž. μž„μ˜μ˜ $a\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $0a = a0 =0$이닀. β€”

증λͺ…. 뢄배법칙에 μ˜ν•˜μ—¬, $0a = (0+0)a = 0a + 0a$, $0a = 0$이닀. $a0 = 0$도 λ§ˆμ°¬κ°€μ§€. $\square$

λͺ…μ œ 2. $A$λ₯Ό ν™˜μ΄λΌκ³  ν•˜μž. λ‹€μŒμ€ λͺ¨λ‘ λ™μΉ˜μ΄λ‹€.

  1. $A$λŠ” 자λͺ…ν™˜μ΄λ‹€.
  2. $1=0$이닀. β€”

증λͺ…. 자λͺ…ν™˜μ΄λ©΄, $A$의 μš”μ†Œκ°€ 1개 λΏμ΄λ―€λ‘œ $1=0$인 것은 λΆ„λͺ…ν•˜λ‹€. μ—­μœΌλ‘œ $1=0$이라고 ν•˜λ©΄, 보쑰정리 1에 μ˜ν•˜μ—¬, μž„μ˜μ˜ $a\in A$에 λŒ€ν•΄ $a = 1a = 0a = 0$. λ”°λΌμ„œ $A = \left\{ 0 \right\}$. $\square$

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • ν™˜κ³Ό κ°€ν™˜ν™˜μ„ μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • ν™˜μ˜ 단원과 μŠΉλ²•κ΅°μ„ μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • ν™˜ $A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $1 = 0$인 것이 $A$κ°€ 자λͺ…ν™˜μΈ κ²ƒμ˜ ν•„μš”μΆ©λΆ„μ‘°κ±΄μž„μ„ λ³΄μ˜€λ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, β€œIntroduction to Commutative Algebra”, Addison-Wesley, 1969.
  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 1 ηΎ€θ«–ε…₯ι–€γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.
  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 2 η’°γ¨δ½“γ¨γ‚¬γƒ­γ‚’η†θ«–γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.

  1. λ¬Έν—Œμ— λ”°λΌμ„œλŠ” 1,2,4λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” 경우 $A$λ₯Ό ν™˜μ΄λΌκ³  ν•˜κΈ°λ„ ν•œλ‹€. μ—¬κΈ°μ—μ„œλŠ” 1,2,3,4λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” 경우만 $A$λ₯Ό ν™˜μ΄λΌκ³  ν•˜κΈ°λ‘œ ν•œλ‹€.β†©οΈŽ

  2. $A$의 $+$에 κ΄€ν•œ λ‹¨μœ„μ›μ„ $0$ ν˜Ήμ€ $0_A$와 같이 μ“°κΈ°λ‘œ ν•œλ‹€. λ˜ν•œ, $a\in A$의 $+$에 κ΄€ν•œ 역원을 $-a$와 같이 μ“°κΈ°λ‘œ ν•œλ‹€. $+$ κΈ°ν˜Έμ™€ λ™μ‹œμ— μ‚¬μš©ν•˜λŠ” κ²½μš°μ—λŠ” $-$λ₯Ό μƒλž΅ν•˜μ—¬ $a + (-b)$λ₯Ό $a-b$와 같이 쓰기도 ν•œλ‹€.β†©οΈŽ

  3. β€œκ΅°μ˜ μ •μ˜, λŒ€μΉ­κ΅°, μΌλ°˜μ„ ν˜•κ΅°β€μ˜ λͺ…μ œ 1μ—μ„œ 보인 κ²ƒμ²˜λŸΌ, $\times$에 κ΄€ν•˜μ—¬ λ‹¨μœ„μ›μ΄ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄ μœ μΌν•˜λ‹€. 이에 따라, ν™˜ $A$의 λ‹¨μœ„μ›μ„ $1$ ν˜Ήμ€ $1_A$ 와 같이 μ“°κΈ°λ‘œ ν•œλ‹€.β†©οΈŽ

  4. λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, 역원이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄ μœ μΌν•˜λ‹€. 이에 따라, $a$κ°€ 역원이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄ 이λ₯Ό $a^{-1}$κ³Ό 같이 μ“°κΈ°λ‘œ ν•œλ‹€.β†©οΈŽ

μœ„μˆ˜ 30인 ꡰ의 λΆ„λ₯˜

μœ„μˆ˜ 30인 ꡰ의 λΆ„λ₯˜

문제 1.

  1. μœ„μˆ˜ 30인 ꡰ은 μœ„μˆ˜ 15인 뢀뢄ꡰ을 가짐을 보여라.
  2. μœ„μˆ˜ 30인 ꡰ의 λ™ν˜•λ₯˜λ₯Ό λΆ„λ₯˜ν•˜λΌ. β€”

풀이.

1의 풀이.

$G$λ₯Ό μœ„μˆ˜ 30인 ꡰ이라고 ν•˜μž. κ·Έλ ‡λ‹€λ©΄, $G$λŠ” μœ„μˆ˜ 3의 3-Sylow λΆ€λΆ„κ΅°κ³Ό, μœ„μˆ˜ 5의 5-Sylow 뢀뢄ꡰ을 κ°–λŠ”λ‹€. 3-Sylow λΆ€λΆ„κ΅°μ˜ κ°œμˆ˜λŠ” 1개 ν˜Ήμ€ 10개이고, 5-Sylow λΆ€λΆ„κ΅°μ˜ κ°œμˆ˜λŠ” 1개 ν˜Ήμ€ 6κ°œμž„μ„ Sylow 정리에 μ˜ν•˜μ—¬ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. 3-Sylow 뢀뢄ꡰ이 10개, λ™μ‹œμ— 5-Sylow 뢀뢄ꡰ이 6개 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€κ³  κ°€μ •ν•˜λ©΄, 각 3-Sylow λΆ€λΆ„κ΅°μœΌλ‘œλΆ€ν„° μœ„μˆ˜ 3인 μ›μ†Œκ°€ 2κ°œμ”©, 20κ°œκ°€ μ‘΄μž¬ν•˜κ³ 1, 각 5-Sylow λΆ€λΆ„κ΅°μœΌλ‘œλΆ€ν„° μœ„μˆ˜ 5인 μ›μ†Œκ°€ 4κ°œμ”©, 24κ°œκ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€. ν•˜μ§€λ§Œ $G$의 μ›μ†ŒλŠ” λͺ¨λ‘ 30κ°œμ΄λ―€λ‘œ μ΄λŠ” λͺ¨μˆœ, 3-Sylow 뢀뢄ꡰ이 1κ°œμ΄κ±°λ‚˜ 5-Sylow 뢀뢄ꡰ이 1κ°œλΌλŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ°”κΎΈμ–΄ λ§ν•˜λ©΄ 3-Sylow λΆ€λΆ„κ΅°κ³Ό 5-Sylow λΆ€λΆ„κ΅° 쀑 적어도 ν•˜λ‚˜λŠ” μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°.

3-Sylow λΆ€λΆ„κ΅°κ³Ό 5-Sylow 뢀뢄ꡰ을 각각 $S_3$, $S_5$둜 ν•˜λ‚˜μ”© νƒν•˜λ©΄, $S_3\vartriangleleft G$μ΄κ±°λ‚˜, $S_5\vartriangleleft G$이닀. λ˜ν•œ, $S_3\cap S_5$의 μœ„μˆ˜λŠ” $\text{gcd}(|S_3|, |S_5|) = 1$의 μ•½μˆ˜μ΄λ―€λ‘œ 1이고, $S_3\cap S_5 =\left\{ 1_G \right\}$. λ”°λΌμ„œ, ꡰ의 제2λ™ν˜•μ •λ¦¬μ— μ˜ν•˜μ—¬, $S_3S_5$은 μœ„μˆ˜ $|S_3|\cdot|S_5| = 15$의 λΆ€λΆ„κ΅°μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€.

2의 풀이.

1의 결과에 μ˜ν•˜μ—¬, μœ„μˆ˜ 30인 κ΅° $G$λŠ” μœ„μˆ˜ 15인 λΆ€λΆ„κ΅° $N$을 가진닀. $N$은 $G$의 μ§€μˆ˜ 2인 λΆ€λΆ„κ΅°μ΄λ―€λ‘œ μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ΄λ‹€2. 그리고 $G$의 μœ„μˆ˜ 2인 2-Sylow 뢀뢄ꡰ을 $H$라고 ν•˜λ©΄, 1μ—μ„œ $S_3\cap S_5 = \left\{ 1_G \right\}$인 것을 보인 κ²ƒμ²˜λŸΌ, $H\cap N = \left\{ 1_G \right\}$이고, $|H|\cdot|N| = 30 = |G|$μ΄λ―€λ‘œ, λ°˜μ§κ³±μ„ μ΄μš©ν•œ ꡰ의 뢄해에 μ˜ν•˜μ—¬, $G$의 λ‚΄λΆ€μžκΈ°λ™ν˜•μ— μ˜ν•˜μ—¬ μœ λ„λ˜λŠ” μ€€λ™ν˜• $\Phi\colon H\ni h\mapsto\phi_h\in\text{Aut}(N)$이 μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬, $G \cong N\rtimes H$μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ”°λΌμ„œ μ€€λ™ν˜• $\Phi$둜 μ ν•©ν•œ 것듀을 λͺ¨λ‘ κ΅¬ν•˜λ©΄ λœλ‹€.

$H$λŠ” μœ„μˆ˜ 2의 뢀뢄ꡰ이닀. λ”°λΌμ„œ $H = \left\{ 1_G, h \right\}$라고 ν•  λ•Œ, $\Phi(h) = \phi_h \colon n\mapsto hnh^{-1}$λ₯Ό $\text{Aut}(N)$μœΌλ‘œλΆ€ν„° ν•˜λ‚˜ μ •ν•˜λ©΄, $\Phi$κ°€ νŠΉμ •λœλ‹€. 이 λ•Œ, $h$λŠ” μœ„μˆ˜ 2인 μ›μ†Œμ΄λ―€λ‘œ, $\phi_h$의 μœ„μˆ˜λŠ” 1μ΄κ±°λ‚˜ 2이닀. $N$은 μœ„μˆ˜ 15인 μˆœνšŒκ΅°μ΄λ―€λ‘œ, $\text{Aut}(N) \cong (\SetZ/15\SetZ)^\times$. μœ„μˆ˜ 1μ΄κ±°λ‚˜ 2인 $(\SetZ/15\SetZ)^\times$의 μ›μ†ŒλŠ” $\overline 1, \overline 4, \overline{11}, \overline{14}$이닀.

$$ \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c:c:c:c:c} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} \\ \hline \overline{0} & \overline{0} & \overline{6} & \overline{12} & \overline{3} & \overline{9} \\ \hdashline \overline{1} & \overline{10} & \mathbf{\overline{1}} & \overline{7} & \overline{13} & \mathbf{\overline{4}} \\ \hdashline \overline{2} & \overline{5} & \mathbf{\overline{11}} & \overline{2} & \overline{8} & \mathbf{\overline{14}} \end{array} $$

λ™ν˜•μ— 따라, $\phi_h$λŠ” λ‹€μŒ 쀑 ν•˜λ‚˜μ— ν•΄λ‹Ήν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€.

  1. $\phi_h(n) = n$.
  2. $\phi_h(n) = n^4$.
  3. $\phi_h(n) = n^{11}$.
  4. $\phi_h(n) = n^{14}$.

각각의 κ²½μš°μ— λŒ€μ‘ν•˜λŠ” λ™ν˜•λ₯˜λ₯Ό κ΅¬ν•˜λ©΄:

  1. $\phi_h(n) = n$인 경우: $\Phi$λŠ” 자λͺ…ν•œ μ€€λ™ν˜•, λ”°λΌμ„œ $G \cong N\rtimes H = N\times H \cong \SetZ/30\SetZ$.
  2. $\phi_h(n) = n^4$인 경우: $N = \SetZ/3\SetZ\times\SetZ/5\SetZ$둜 보자. 이 λ•Œ, $\SetZ/3\SetZ$κ³Ό $\SetZ/5\SetZ$λŠ” 각각 직곱에 μ˜ν•œ $N$의 μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μœΌλ‘œ 생각할 수 있고, 특히, $N$의 생성원을 $x$라고 ν•˜λ©΄, $\SetZ/3\SetZ$의 생성원은 $x^5$, $\SetZ/3\SetZ$의 생성원은 $x^3$이라고 λ³Ό 수 μžˆλ‹€. μ—¬κΈ°μ„œ, $\phi_h(x^5) = (x^5)^4 = x^5$이고, $\phi_h(x^3) = (x^3)^4 = (x^3)^{-1}$μ΄λ―€λ‘œ, λ‹€μŒκ³Ό 같은 λ™ν˜•μ΄ μ„±λ¦½ν•œλ‹€3.

$$ N\rtimes H = (\SetZ/3\SetZ\times\SetZ/5\SetZ)\rtimes H = \SetZ/3\SetZ \times (\SetZ/5\SetZ\rtimes H) \cong \SetZ/3\SetZ \times D_{10}. $$

  1. $\phi_h(n) = n^{11}$인 경우: 2와 λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, $\phi_h(x^5) = (x^5)^{11} = (x^5)^{-1}$, $\phi_h(x^3) = (x^3)^{11} = x^3$이 μ„±λ¦½ν•˜λ―€λ‘œ, λ‹€μŒκ³Ό 같은 λ™ν˜•μ΄ 성립.

$$ N\rtimes H = (\SetZ/3\SetZ\times\SetZ/5\SetZ)\rtimes H = \SetZ/5\SetZ \times (\SetZ/3\SetZ\rtimes H) \cong \SetZ/5\SetZ \times D_{6}. $$

  1. $\phi_h(n) = n^{14}$. λͺ¨λ“  $n\in N$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $n^{15} = 1_G$μ΄λ―€λ‘œ, $\phi_h(n) = n^{14} = n^{-1}$. λ”°λΌμ„œ, λ‹€μŒκ³Ό 같은 λ™ν˜•μ΄ 성립.

$$ N\rtimes H \cong D_{30}. $$

$\SetZ/30\SetZ, \SetZ/3\SetZ\times D_{10}, \SetZ/5\SetZ\times D_6, D_{30}$λŠ” μ„œλ‘œ λ™ν˜•μ΄μ§€ μ•Šμ€κ²ƒμ„ ν™•μΈν•˜λŠ” 것은 쉽닀.

  • 주어진 κ΅° μ€‘μ—μ„œ $\SetZ/30\SetZ$λŠ” μœ μΌν•œ abelianκ΅°μ΄λ―€λ‘œ, λ‚˜λ¨Έμ§€ μ…‹κ³Ό λ™ν˜•μ΄ μ•„λ‹ˆλ‹€.
  • $\SetZ/3\SetZ\times D_{10}$의 μ€‘μ‹¬μ—λŠ” μœ„μˆ˜ 3인 μ›μ†Œκ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ§€λ§Œ μœ„μˆ˜ 5인 μ›μ†ŒλŠ” μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€.
  • $\SetZ/5\SetZ\times D_6$의 μ€‘μ‹¬μ—λŠ” μœ„μˆ˜ 5인 μ›μ†Œκ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ§€λ§Œ μœ„μˆ˜ 3인 μ›μ†ŒλŠ” μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€.
  • $D_{10}$의 μ€‘μ‹¬μ—λŠ” μœ„μˆ˜ 3인 μ›μ†Œ, μœ„μˆ˜ 5인 μ›μ†Œ λͺ¨λ‘ μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€.

λ”°λΌμ„œ, μœ„μˆ˜ 30인 ꡰ은 $\SetZ/30\SetZ, \SetZ/3\SetZ\times D_{10},\SetZ/5\SetZ\times D_6, D_{30}$ μ€‘μ˜ μ–΄λŠ ν•˜λ‚˜μ™€ λ™ν˜•μ΄λ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • μœ„μˆ˜ 30인 κ΅°μ—λŠ” μœ„μˆ˜ 15인 뢀뢄ꡰ이 λ°˜λ“œμ‹œ μ‘΄μž¬ν•¨μ„ λ³΄μ˜€λ‹€.
  • μœ„μˆ˜ 30인 ꡰ은 $\SetZ/30\SetZ, \SetZ/3\SetZ\times D_{10}, \SetZ/5\SetZ\times D_6, D_{30}$ μ€‘μ˜ μ–΄λŠ ν•˜λ‚˜μ™€ λ™ν˜•μž„μ„ λ³΄μ˜€λ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 1 ηΎ€θ«–ε…₯ι–€γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.

  1. 3은 μ†Œμˆ˜μ΄λ―€λ‘œ, 3-Sylow λΆ€λΆ„κ΅°μ˜ λ‹¨μœ„μ›μ„ μ œμ™Έν•œ μ›μ†ŒλŠ” μœ„μˆ˜ 3μ΄λΌλŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ˜ν•œ, $S_3$, $S_3’$을 $S_3\neq S_3’$인 3-Sylow 뢀뢄ꡰ이라고 ν•  λ•Œ, $S_3 \cap S_3’\neq \left\{ 1_G \right\}$라고 κ°€μ •ν•˜λ©΄, $x\neq 1_G$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬ $S_3 = \langle x \rangle = S_3’$μ΄λ―€λ‘œ λͺ¨μˆœ. λ”°λΌμ„œ $S_3 \cap S_3’= \left\{ 1_G \right\}$ μ΄λ―€λ‘œ, μ΄λŸ¬ν•œ 결둠을 μ–»λŠ”λ‹€. 5-Sylow 뢀뢄ꡰ에 λŒ€ν•΄μ„œλ„ λ§ˆμ°¬κ°€μ§€.β†©οΈŽ

  2. μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°, μž‰μ—¬κ΅°μ˜ 문제 1.β†©οΈŽ

  3. $\SetZ/3\SetZ$κ³Ό $\SetZ/5\SetZ$κ°€ $N$의 μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ΄λ―€λ‘œ, $\phi_h$λ₯Ό 각각 μ œν•œν•˜μ—¬ μƒˆλ‘œμš΄ μ€€λ™ν˜• $\Phi_1\colon H\to\text{Aut}(\SetZ/3\SetZ)$, $\Phi_2\colon H\to\text{Aut}(\SetZ/5\SetZ)$λ₯Ό μœ λ„ν•  수 μžˆλ‹€. 이λ₯Ό μ΄μš©ν•œ μ •μ˜λœ 반직곱이라고 μƒκ°ν•˜λ©΄ 2번째 λ“±ν˜Έκ°€ μ„±λ¦½ν•˜κ³  μžˆμŒμ„ 반직곱의 μ •μ˜λ‘œλΆ€ν„° 확인할 수 μžˆλ‹€.β†©οΈŽ

ꡰ의 직곱

ꡰ의 직곱의 μ •μ˜

μ •μ˜ 1. $G, H$λ₯Ό ꡰ이라고 ν•˜μž. 집합 $G\times H$에 λ‹€μŒκ³Ό 같은 연산을 λΆ€μ—¬ν•˜λ©΄, $G\times H$λŠ” ꡰ의 곡리λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” 것을 μ‰½κ²Œ 확인할 수 μžˆλ‹€. (μ—°μŠ΅λ¬Έμ œ)

$$ (g,h)(g',h') = (gg', hh') $$

이와 같은 κ΅° $G\times H$λ₯Ό $G$와 $H$의 직곱directΒ product라고 ν•œλ‹€. β€”

λͺ…μ œ 1. κ΅° $G$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $H,K\vartriangleleft G$이고, $H\cap K = \left\{ 1_G \right\}$, $G = HK$라고 ν•˜λ©΄, $G \cong H\times K$이닀. β€”

증λͺ….

  • $f: H\times K \ni (h,k) \mapsto hk \in G$라고 ν•˜μž. $h\in H$, $k\in K$라고 ν•  λ•Œ, $H\vartriangleleft G$μ΄λ―€λ‘œ, $kh^{-1}k^{-1}\in H$, λ”°λΌμ„œ $hkh^{-1}k^{-1}\in H$이닀. λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ $K\vartriangleleft G$μ΄λ―€λ‘œ, $hkh^{-1}\in K$, λ”°λΌμ„œ $hkh^{-1}k^{-1} \in K$, $hkh^{-1}k^{-1} \in H\cap K = \left\{ 1_G \right\}$μ΄λ―€λ‘œ, $hk = kh$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. 이λ₯Ό μ΄μš©ν•˜λ©΄, $f((h,k)(h’,k’)) = f(hh’, kk’) = hh’kk’ = hkh’k’ = f(h,k)f(h’,k’)$μ΄λ―€λ‘œ $f$λŠ” μ€€λ™ν˜•μ΄λ‹€.
  • $(h,k)\in\text{Ker}(f)$라고 ν•˜λ©΄, $hk = f(h,k) = 1_G$, $h = k^{-1} \in H\cap K = \left\{ 1_G \right\}$μ΄λ―€λ‘œ, $(h,k) = (1_G, 1_G)$. λ”°λΌμ„œ $f$λŠ” 단사.
  • $f$κ°€ μ „μ‚¬λΌλŠ” 것은 μ •μ˜λ‘œλΆ€ν„° λΆ„λͺ…ν•˜λ―€λ‘œ, $f$λŠ” λ™ν˜•μ΄λ‹€. $\square$

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • $G, H$λ₯Ό ꡰ이라고 ν•  λ•Œ, $G\times H$에 $(g,h)(g’,h’) = (gg’, hh’)$와 같이 연산을 λΆ€μ—¬ν•˜μ—¬, ꡰ의 직곱을 μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • κ΅° $G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $H,K\vartriangleleft G$, $H\cap K = \left\{ 1_G \right\}$, $G = HK$라면, $G\cong H\times K$μž„μ„ λ³΄μ˜€λ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 1 ηΎ€θ«–ε…₯ι–€γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.

ꡰ의 반직곱

ꡰ의 반직곱의 μ •μ˜

λͺ…μ œ 1. $N, H$λ₯Ό ꡰ이라고 ν•˜μž. 이 λ•Œ, μ€€λ™ν˜• $\Phi: H\ni h\mapsto \phi_h\in \text{Aut}(N)$을 κ³ μ •ν•˜μ—¬, 집합 $N\times H$에 λ‹€μŒκ³Ό 같은 연산을 λΆ€μ—¬ν•˜λ©΄, $N\times H$λŠ” ꡰ이 λœλ‹€. β€”

$$ (n,h)(n',h') = (n\phi_h(n'), hh') $$

증λͺ…. ꡰ의 곡리λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” 것을 ν™•μΈν•œλ‹€. λ¨Όμ €, 결합법칙이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 보이자. μž„μ˜μ˜ $(n_1, h_1), (n_2, h_2), (n_3, h_3)\in N\times H$에 λŒ€ν•˜μ—¬,

$$ \begin{aligned} \left\{ (n_1, h_1)(n_2, h_2) \right\}(n_3, h_3) &= (n_1\phi_{h_1}(n_2), h_1h_2)(n_3, h_3) \\ &= (n_1\phi_{h_1}(n_2)\phi_{h_1h_2}(n_3), h_1h_2h_3) \\ &= (n_1\phi_{h_1}(n_2\phi_{h_2}(n_3)), h_1h_2h_3) \\ &= (n_1, h_1)(n_2\phi_{h_2}(n_3), h_2h_3) = (n_1, h_1)\left\{ (n_2, h_2)(n_3, h_3) \right\}. \end{aligned} $$

λ˜ν•œ, μž„μ˜μ˜ $(n,h)\in N\times H$에 λŒ€ν•˜μ—¬,

  • $(1_N, 1_H)(n,h) = (1_N\phi_{1_H}(n), 1_Hh) = (n,h)$.
  • $(n,h)(1_N, 1_H) = (n\phi_{h}(1_N), h1_H) = (n,h)$.

μ΄λ―€λ‘œ, $(1_N, 1_H)$λŠ” $N\times H$의 λ‹¨μœ„μ›. λ§ˆμ§€λ§‰μœΌλ‘œ, μž„μ˜μ˜ $(n,h)\in N\times H$에 λŒ€ν•˜μ—¬,

  • $(n,h)(\phi_{h^{-1}}(n^{-1}),h^{-1}) = (n\phi_{h}(\phi_{h^{-1}}(n^{-1})), hh^{-1}) = (1_N, 1_H)$.
  • $(\phi_{h^{-1}}(n^{-1}),h^{-1})(n,h) = (\phi_{h^{-1}}(n^{-1})\phi_{h^{-1}}(n), h^{-1}h) = (1_N, 1_H)$.

μ΄λ―€λ‘œ, 역원 $(\phi_{h^{-1}}(n^{-1}), h^{-1})$이 μ‘΄μž¬ν•¨μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. $\square$

μ •μ˜ 1. μœ„ λͺ…μ œμ˜ ꡰ을 $N\rtimes_\Phi H$, ν˜Ήμ€ $N\rtimes H$둜 λ‚˜νƒ€λ‚΄μ–΄, $\Phi$에 μ˜ν•œ $N$κ³Ό $H$의 반직곱semidirectΒ product이라고 ν•œλ‹€. β€”

μ£Ό. $\Phi: H \to \text{Aut}(N)$이 자λͺ…ν•œ μ€€λ™ν˜• – μž„μ˜μ˜ $h\in H$에 λŒ€ν•΄ $\Phi(h) = \text{id}_N$ – 이라고 ν•˜λ©΄, $\Phi$에 μ˜ν•œ λ°˜μ§κ³±μ€ 일반적인 ꡰ의 직곱 $N\times H$와 κ°™λ‹€λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. β€”

λ°˜μ§κ³±μ„ μ΄μš©ν•œ ꡰ의 λΆ„ν•΄

λͺ…μ œ 2. κ΅° $G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $N\vartriangleleft G$이고, $G/N$의 μ™„μ „λŒ€ν‘œκ³„μΈ $G$의 λΆ€λΆ„κ΅° $H$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€κ³  ν•˜μž. (즉, λΆ€λΆ„κ΅° $H$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜κ³ , μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ μ€€λ™ν˜• $\pi: G\to G/N$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\pi|_H$κ°€ λ™ν˜•.) 이 λ•Œ, λ‹€μŒμ΄ μ„±λ¦½ν•œλ‹€.

  1. $N\cap H = \left\{ 1_G \right\}$.
  2. $G$의 λ‚΄λΆ€μžκΈ°λ™ν˜• $\phi_g: G\ni x \mapsto gxg^{-1} \in G$λŠ” $N$의 μžκΈ°λ™ν˜•μ„ μœ λ„ν•œλ‹€.
  3. 2λ‘œλΆ€ν„° μ–»μ–΄μ§€λŠ” μ€€λ™ν˜• $\Phi: H \ni h \mapsto \phi_h \in \text{Aut}(N)$에 μ˜ν•˜μ—¬ λ°˜μ§κ³±μ„ μ •μ˜ν•  λ•Œ, $G\cong N\rtimes H$. β€”

증λͺ….

  1. $H$κ°€ $G/N$의 μ™„μ „λŒ€ν‘œκ³„μ΄λ―€λ‘œ 자λͺ….
  2. $g\in G$, $x\in N$ 이라고 ν•  λ•Œ, $N \vartriangleleft G$μ΄λ―€λ‘œ $\phi_g(x) = gxg^{-1} \in N$. λ”°λΌμ„œ, $\phi_g|_N\in \text{Aut}(N)$.
  3. $f: N\rtimes H \ni (n,h) \mapsto nh \in G$ 둜 사상 $f$λ₯Ό μ •μ˜ν•˜μž.
    • μš°μ„ , $(n,h), (n’,h’)\in N\rtimes H$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $f((n,h)(n’,h’)) = f(nhn’h^{-1}, hh’) = nhn’h^{-1}hh’ = nhn’h’ = f(n,h)f(n’,h’)$ μ΄λ―€λ‘œ, $f$λŠ” μ€€λ™ν˜•μ΄λ‹€.
    • $(n,h)\in\text{Ker}(f)$라고 ν•œλ‹€λ©΄, $f(n,h) = nh = 1_G$ μ΄λ―€λ‘œ, $n = h^{-1} \in N\cap H = \left\{ 1_G \right\}$. λ”°λΌμ„œ $\text{Ker}(f)$λŠ” 자λͺ…ν•˜λ―€λ‘œ, $f$λŠ” 단사.
    • $H$κ°€ $G/N$의 μ™„μ „λŒ€ν‘œκ³„μ΄λ―€λ‘œ $f$λŠ” 전사이닀1. λ”°λΌμ„œ, $f$λŠ” λ™ν˜•. $\square$

μ£Ό. κ΅° $G$κ°€ μœ ν•œκ΅°μ΄λΌλ©΄, λΆ€λΆ„κ΅° $H,N$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $N\vartriangleleft G$, $H\cap N = \left\{ 1_G \right\}$, $|H|\cdot|N| = |G|$의 μ‘°κ±΄λ§ŒμœΌλ‘œλ„ 3의 결둠을 얻기에 μΆ©λΆ„ν•˜λ‹€2. β€”

예 1. $A_n \vartriangleleft\mathfrak S_n$ 이고, $\mathfrak S_2$λ₯Ό $\mathfrak S_n$의 λΆ€λΆ„κ΅°μœΌλ‘œ λ³Ό λ•Œ, μ΄λŠ” $\mathfrak S_n / A_n$의 μ™„μ „λŒ€ν‘œκ³„μ΄λ―€λ‘œ, λ‚΄λΆ€μžκΈ°λ™ν˜•μœΌλ‘œλΆ€ν„° μœ λ„λ˜λŠ” μ€€λ™ν˜• $\Phi: \mathfrak S_2 \ni \sigma \mapsto \phi_{\sigma} \in \text{Aut}(A_n)$에 μ˜ν•˜μ—¬ $\mathfrak S_n \cong A_n \rtimes \mathfrak S_2$. β€”

예 2. 예 1κ³Ό λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, 이면체ꡰ $D_{2n} = \langle t,r \mid t^n = r^2 = 1, rtr = t^{-1} \rangle$에 λŒ€ν•΄μ„œ, $D_{2n} \cong \langle t \rangle \rtimes \langle r \rangle$. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • κ΅° $N, H$와 μ€€λ™ν˜• $\Phi: H \ni h \mapsto \phi_h \in \text{Aut}(N)$이 μ£Όμ–΄μ§ˆ λ•Œ, 집합 $N\times H$에 $(n,h)(n’,h’) = (n\phi_h(n’), hh’)$와 같이 연산을 λΆ€μ—¬ν•˜λ©΄ ꡰ을 μ΄λ£¨λŠ” 것을 λ³΄μ˜€λ‹€. 이λ₯Ό $N\rtimes_\Phi H$ ν˜Ήμ€ $N\rtimes H$와 같이 λ‚˜νƒ€λ‚΄μ–΄ 반직곱이라고 μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • κ΅° $G$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $N\vartriangleleft G$이고, $G$의 λΆ€λΆ„κ΅° $H$κ°€ $G/N$의 μ™„μ „λŒ€ν‘œκ³„μΌ λ•Œ, λ‚΄λΆ€μžκΈ°λ™ν˜•μœΌλ‘œλΆ€ν„° μœ λ„λ˜λŠ” μ€€λ™ν˜• $\Phi: H\ni h\mapsto \phi_h\in\text{Aut}(N)$을 μ΄μš©ν•˜μ—¬ λ°˜μ§κ³±μ„ μ •μ˜ν•˜λ©΄, $G\cong N\rtimes H$κ°€ 성립함을 λ³΄μ˜€λ‹€.

  1. κ΅¬μ²΄μ μœΌλ‘œλŠ”, $g\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $gh^{-1}\in N$인 $h$κ°€ (단 ν•˜λ‚˜) μ‘΄μž¬ν•˜κ³ , $gh^{-1} = n$이라고 ν•˜λ©΄, $g = nh$. λ”°λΌμ„œ $f$λŠ” 전사.β†©οΈŽ

  2. ꡰ의 제2λ™ν˜•μ •λ¦¬λ‘œ λΆ€ν„°, $H \cong H/(H\cap N) \cong HN/N$이닀. 이 λ•Œ, $HN$은 μœ ν•œκ΅° $G$의 뢀뢄ꡰ이고, $|HN| = |H|\cdot|N| = |G|$μœΌλ‘œλΆ€ν„° $G = HN$. λ”°λΌμ„œ, $g\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $h^{-1}g \in N$인 $h\in H$κ°€ 단 ν•˜λ‚˜ μ‘΄μž¬ν•˜λ―€λ‘œ $H$λŠ” μ™„μ „λŒ€ν‘œκ³„, λ™μ‹œμ— $\pi|_H$에 μ˜ν•˜μ—¬ $H \cong G/N$μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€.β†©οΈŽ

μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°, μž‰μ—¬κ΅°

μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ˜ μ •μ˜

μ •μ˜ 1. $G$λ₯Ό κ΅°, $N$을 $G$의 뢀뢄ꡰ이라고 ν•˜μž. λ‹€μŒ 쑰건은 λͺ¨λ‘ λ™μΉ˜μ΄λ©°(μ—°μŠ΅λ¬Έμ œ), 이λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” λΆ€λΆ„κ΅° $N$을 $G$의 μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°normalΒ subgroup이라고 ν•œλ‹€. $N$이 $G$의 μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ΄λΌλŠ” 것을 $N \vartriangleleft G$와 같이 λ‚˜νƒ€λ‚Έλ‹€.

  1. μž„μ˜μ˜ $g\in G$, $n\in N$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $gng^{-1} \in N$.
  2. μž„μ˜μ˜ $g\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $gNg^{-1} \subset N$.
  3. μž„μ˜μ˜ $g\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $gNg^{-1} = N$.
  4. μž„μ˜μ˜ $g\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $gN = Ng$. 즉, μ™Όμͺ½ μž‰μ—¬λ₯˜μ™€ 였λ₯Έμͺ½ μž‰μ—¬λ₯˜κ°€ μΌμΉ˜ν•œλ‹€. β€”

예 1. $G$의 λΆ€λΆ„κ΅° $\{1_G\}$와 $G$λŠ” μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ΄λ‹€. β€”

예 2. $G$κ°€ abelian ꡰ이라면, $G$의 μž„μ˜μ˜ 뢀뢄ꡰ은 μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ΄λ‹€. β€”

문제 1. $G$의 μ§€μˆ˜ 2인 λΆ€λΆ„κ΅° $H$λŠ” μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μž„μ„ 보여라. (λ”°λΌμ„œ, $A_n \vartriangleleft\mathfrak S_n$이닀.) β€”

문제 2. μ€€λ™ν˜• $\phi:G\to H$κ°€ μ£Όμ–΄μ‘Œμ„ λ•Œ, $\text{Ker}(\phi) \vartriangleleft G$ μž„μ„ 보여라. (λ”°λΌμ„œ, $\text{SL}_n(\SetR) \vartriangleleft \text{GL}_n(\SetR)$이닀.) β€”

μž‰μ—¬κ΅°μ˜ μ •μ˜

λͺ…μ œ 1. κ΅° $G$와 κ·Έ μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅° $N$이 μ£Όμ–΄μ‘Œμ„ λ•Œ, $\phi: G/N \times G/N \ni (g_1N, g_2N) \mapsto g_1g_2N \in G/N$은 well-defined인 사상이닀. λ˜ν•œ, $\phi$λ₯Ό μ—°μ‚°μœΌλ‘œ ν•˜μ—¬, $G/N$은 ꡰ을 이룬닀. β€”

증λͺ…. $g_1N = g_1’N$, $g_2N = g_2’N$이라고 ν•˜μž. $g_1’= g_1n_1$, $g_2’= g_2n_2$라고 ν•˜λ©΄, $g_1’g_2’= g_1n_1g_2n_2 = g_1g_2g_2^{-1}n_1g_2n_2$, μ—¬κΈ°μ„œ, $N$은 μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ΄λ―€λ‘œ, $g_2^{-1}n_1g_2n_2 \in N$. λ”°λΌμ„œ, $g_1g_2N = g_1g_2g_2^{-1}n_1g_2n_2N = g_1’g_2’N$, $\phi$λŠ” well-defined인 사상이닀.

$\phi$λ₯Ό $G/N$ μƒμ˜ μ—°μ‚°μœΌλ‘œ 보면,

  1. μž„μ˜μ˜ $a,b,c\in G$에 μ˜ν•œ, $aN, bN, cN\in G/N$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $aN(bNcN) = aN(bcN) = (a(bc))N = ((ab)c)N = (abN) = cN = (aNbN)cN$.
  2. $N$은 $G/N$의 λ‹¨μœ„μ›μ΄λ‹€.
  3. μž„μ˜μ˜ $g\in G$에 μ˜ν•œ, $gN\in G/N$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $g^{-1}N$은 $gN$의 역원이닀.

이상에 μ˜ν•˜μ—¬ $G/N$은 ꡰ을 이룬닀. $\square$

μ •μ˜ 2. λͺ…μ œ 1의 κ΅° $G/N$을 $G$의 $N$에 μ˜ν•œ μž‰μ—¬κ΅°, ν˜Ήμ€ λͺ«κ΅°quotientΒ group이라고 ν•œλ‹€. β€”

μ •μ˜ 3. 사상 $\pi: G \ni g \mapsto gN \in G/N$이 전사인 μ€€λ™ν˜•μΈ 것은 λ°”λ‘œ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. 이λ₯Ό μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ μ€€λ™ν˜• ν˜Ήμ€ μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ 전사라고 ν•œλ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • κ΅° $G$와 κ·Έ λΆ€λΆ„κ΅° $N$에 λŒ€ν•˜μ—¬, μž„μ˜μ˜ $g\in G$, $n\in N$에 λŒ€ν•΄, $gng^{-1}\in N$ 일 λ•Œ, $N$은 $G$의 μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°, $N\vartriangleleft G$와 같이 λ‚˜νƒ€λ‚Έλ‹€κ³  μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • 특히 $N\vartriangleleft G$일 λ•Œ, κ·Έ μž‰μ—¬λ₯˜ $G/N$ μƒμ—μ„œ $g_1Ng_2N = g_1g_2N$κ³Ό 같이 연산을 μ •μ˜ν•˜μ—¬, $G/N$이 ꡰ을 μ΄λ£¨λŠ” 것을 보이고, 이λ₯Ό μž‰μ—¬κ΅°μœΌλ‘œ μ •μ˜ν–ˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 1 η’°γ¨δ½“γ¨γ‚¬γƒ­γ‚’η†θ«–γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.