λΆ€λΆ„κ΅°, ꡰ의 생성

λΆ€λΆ„κ΅°μ˜ μ •μ˜

μ •μ˜ 1. κ΅° $G$의 뢀뢄집합 $H\subset G$κ°€, $G$의 μ—°μ‚° (μ •ν™•νžˆλŠ” $G$의 μ—°μ‚°μ˜ μ œν•œ)에 μ˜ν•˜μ—¬ ꡰ을 이룰 λ•Œ, $H$λŠ” $G$의 λΆ€λΆ„κ΅°subgroup이라고 ν•œλ‹€. β€”

λͺ…μ œ 1(λΆ€λΆ„κ΅°μ˜ νŒλ³„). κ΅° $G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $H \subset G$κ°€ 뢀뢄ꡰ일 ν•„μš”μΆ©λΆ„μ‘°κ±΄μ€ λ‹€μŒμ„ λͺ¨λ‘ λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” 것이닀.

  1. $1_G\in H$.
  2. $a,b\in H$ 이면, $ab\in H$.
  3. $a\in H$이면, $a^{-1}\in H$. β€”

증λͺ…. κ΅° $H$κ°€ $G$의 뢀뢄ꡰ이라고 ν•˜λ©΄, 쑰건 2λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” 것은 λΆ„λͺ…ν•˜λ‹€. λ˜ν•œ, $H$의 λ‹¨μœ„μ›μ€ λ‹Ήμ—°νžˆ $G$의 λ‹¨μœ„μ›μ΄ 되고, $G$의 λ‹¨μœ„μ›μ€ μœ μΌν•˜λ―€λ‘œ, $1_G\in H$이닀. λ”°λΌμ„œ 쑰건 1이 μ„±λ¦½ν•˜κ³ , 이에 따라, 쑰건 3도 성립.

μ—­μœΌλ‘œ $G$의 뢀뢄집합 $H$이 쑰건 1, 2, 3을 λ§Œμ‘±ν•œλ‹€κ³  ν•˜μž. $G$의 연산을 $\phi: G\times G\to G$라고 ν•  λ•Œ, 쑰건 2에 μ˜ν•˜μ—¬ $\phi(H\times H) \subset H$, $\phi|_{H\times H}$κ°€ $H$의 μ—°μ‚°μœΌλ‘œμ„œ μ˜¬λ°”λ₯΄κ²Œ μ •μ˜λ¨μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. 이 연산에 λŒ€ν•΄μ„œ 결합법칙, λ‹¨μœ„μ›, μ—­μ›μ˜ μ‘΄μž¬κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λŠ” 것은 남은 쑰건 1, 3μœΌλ‘œλΆ€ν„° μ•Œ 수 μžˆμœΌλ―€λ‘œ $H$λŠ” $G$의 뢀뢄ꡰ이닀. $\square$

문제 1. κ΅° $G$와 κ·Έ λΆ€λΆ„κ΅° $H,K\subset G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $H\cap K$ μ—­μ‹œ $G$의 λΆ€λΆ„κ΅°μž„μ„ 보여라. β€”

뢀뢄집합에 μ˜ν•˜μ—¬ μƒμ„±λ˜λŠ” κ΅°

μ •μ˜ 2. κ΅° $G$와 κ·Έ 뢀뢄집합 $S\subset G$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $x_1^{\pm 1}\cdots x_n^{\pm 1}$ 의 ν˜•νƒœ(단, $n$은 μž„μ˜.)둜 λ‚˜νƒ€λ‚΄μ–΄μ§€λŠ” $G$의 μ›μ†Œ μ „μ²΄μ˜ 집합을 $\langle S \rangle$κ³Ό 같이 μ“΄λ‹€. $S = \{x_1, \ldots, x_n\}$일 λ•Œ, $\langle S\rangle$을 $\langle x_1,\ldots, x_n\rangle$κ³Ό 같이 적기도 ν•œλ‹€. β€”

λͺ…μ œ 2. κ΅° $G$와 $S\subset G$에 λŒ€ν•˜μ—¬:

  1. $\langle S\rangle$은 $G$의 뢀뢄ꡰ이닀.
  2. $H\subset G$κ°€ $G$의 λΆ€λΆ„κ΅°, λ™μ‹œμ— $S\subset H$라면, $\langle S \rangle\subset H$. λ°”κΎΈμ–΄ λ§ν•˜λ©΄, $\langle S\rangle$은 $S$λ₯Ό λΆ€λΆ„μ§‘ν•©μœΌλ‘œ ν•˜λŠ” $G$의 μ΅œμ†Œμ˜ 뢀뢄ꡰ이닀. β€”

증λͺ….

  1. μœ„μ˜ λͺ…μ œ 1λ‘œλΆ€ν„° κ°„λ‹¨ν•˜κ²Œ 확인할 수 μžˆλ‹€. (μ—°μŠ΅λ¬Έμ œ)
  2. μ—­μ‹œ $\langle S \rangle$κ°€ $H$의 λΆ€λΆ„κ΅°μž„μ„ λͺ…μ œ 1을 μ΄μš©ν•˜μ—¬ ν™•μΈν•˜λ©΄ λœλ‹€. (μ—°μŠ΅λ¬Έμ œ) $\square$

이에 따라, κ΅° $G$와 $S\subset G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\langle S \rangle$λ₯Ό $S$에 μ˜ν•˜μ—¬ μƒμ„±λ˜λŠ”$G$의 뢀뢄ꡰ이라고 ν•œλ‹€.

따름정리 3. κ΅° $G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $S_1\subset S_2\subset G$라면, $\langle S_1\rangle \subset \langle S_2\rangle$ 이닀. β€”

증λͺ…. $S_1 \subset S_2 \subset \langle S_2 \rangle$이고, λͺ…μ œ 2에 μ˜ν•˜μ—¬, $\langle S_1 \rangle\subset \langle S_2 \rangle$. $\square$

μ •μ˜ 3. ν•˜λ‚˜μ˜ μ›μ†Œμ— μ˜ν•˜μ—¬ μƒμ„±λ˜λŠ” ꡰ을 순회ꡰcyclicΒ group이라고 ν•œλ‹€. 즉, κ΅° $G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $x\in G$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬ $G = \langle x\rangle = \left\{x^n \mid n\in\mathbb{Z} \right\}$이라면, $G$λŠ” μˆœνšŒκ΅°μ΄λ‹€. β€”

예 1. λ§μ…ˆμ— λŒ€ν•˜μ—¬ $\mathbb{Z} = \left\{ n\cdot 1 \mid n\in \mathbb{Z}\right\} = \langle 1 \rangle$μ΄λ―€λ‘œ, $\mathbb{Z}$λŠ” μˆœνšŒκ΅°μ΄λ‹€. λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, $n\mathbb{Z} = \langle n \rangle$μ΄λ―€λ‘œ, $n\mathbb{Z}$ μ—­μ‹œ 순회ꡰ. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • ꡰ의 뢀뢄ꡰ을 μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • ꡰ의 뢀뢄집합이 μ£Όμ–΄μ‘Œμ„ λ•Œ, κ·Έ 뢀뢄집합에 μ˜ν•˜μ—¬ μƒμ„±λ˜λŠ” 뢀뢄ꡰ을 μ •μ˜ν–ˆλ‹€. λ˜ν•œ κ·Έ λΆ€λΆ„μ§‘ν•©μœΌλ‘œλΆ€ν„° μƒμ„±λœ ꡰ이 ν•΄λ‹Ήν•˜λŠ” 뢀뢄집합을 ν¬ν•¨ν•˜λŠ” μ΅œμ†Œμ˜ λΆ€λΆ„κ΅°μž„μ„ λ³΄μ˜€λ‹€.
  • ν•˜λ‚˜μ˜ μ›μ†Œλ‘œλΆ€ν„° μƒμ„±λ˜λŠ” ꡰ으둜 μˆœνšŒκ΅°μ„ μ •μ˜ν–ˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 1 ηΎ€θ«–ε…₯ι–€γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.

ꡰ의 μ •μ˜, λŒ€μΉ­κ΅°, μΌλ°˜μ„ ν˜•κ΅°

ꡰ의 곡리

$X$λ₯Ό 집합이라고 ν•˜μž. μ—¬κΈ°μ„œ $\phi: X\times X\to X$와 같이 주어진 사상 $\phi$λ₯Ό $X$의 연산이라고 ν•˜λ©°, μ˜λ―Έμƒ 혼돈의 여지가 μ—†λ‹€λ©΄ $\phi(a,b)$λ₯Ό $ab$둜 쓰기도 ν•œλ‹€. 일반적인 μ •μˆ˜, 유리수, μ‹€μˆ˜μ˜ λ§μ…ˆμ΄λ‚˜ κ³±μ…ˆμ€ 각 집합에 주어진 μ—°μ‚°μ˜ ν•˜λ‚˜λΌκ³  생각할 수 μžˆλ‹€.

μ •μ˜ 1(κ΅°, abelian κ΅°). 곡집합이 μ•„λ‹Œ 집합 $G$에 연산이 주어지고, κ·Έ 연산이 λ‹€μŒ 쑰건 1,2,3을 λ§Œμ‘±ν•œλ‹€λ©΄, $G$λŠ” κ΅°group이라고 ν•œλ‹€. 특히, 쑰건 4λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” ꡰ을 κ°€ν™˜κ΅°, ν˜Ήμ€ abelian ꡰ이라고 ν•œλ‹€.

  1. 결합법칙 – μž„μ˜μ˜ $a,b,c\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $(ab)c = a(bc)$.
  2. λ‹¨μœ„μ›μ˜ 쑴재 – $e\in G$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬, μž„μ˜μ˜ $a\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $ea = ae = a$. 이 λ•Œ, $e$λ₯Ό λ‹¨μœ„μ›identityΒ element라고 ν•œλ‹€.
  3. μ—­μ›μ˜ 쑴재 – μž„μ˜μ˜ $b\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $b\in G$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬ $ab = ba = e$. 이 λ•Œ, $b$λ₯Ό $a$의 역원inverseΒ element라고 ν•œλ‹€.
  4. κ΅ν™˜λ²•μΉ™ – μž„μ˜μ˜ $a,b\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $ab = ba$. β€”

λͺ…μ œ 1. $G$λ₯Ό ꡰ이라고 ν•˜μž.

  1. $G$의 λ‹¨μœ„μ›μ€ μœ μΌν•˜λ‹€.
  2. $G$의 각 μ›μ†Œμ˜ 역원은 μœ μΌν•˜λ‹€. β€”

증λͺ….

  1. $e, e’$이 $G$의 λ‹¨μœ„μ›μ΄λΌκ³  ν•˜λ©΄, $e = ee’ = e’$.
  2. $b, b’$κ°€ $a\in G$의 역원이라고 ν•˜λ©΄, $b = bab’ = b’$. $\square$

이 λͺ…μ œμ— λ”°λΌμ„œ, μ•žμœΌλ‘œ 별 λ‹€λ₯Έ 언급이 μ—†λŠ” ν•œ, $1_G$λ₯Ό $G$의 λ‹¨μœ„μ›, 그리고 $a^{-1}$을 $a\in G$의 μ—­μ›μœΌλ‘œ μ“°κΈ°λ‘œ ν•œλ‹€. λ˜ν•œ, νŽΈμ˜μƒ, $a\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $a^0 = 1_G$, 그리고, $n\in \SetZ_{>0}$ 에 λŒ€ν•˜μ—¬, $a^{n} = a\cdots a$ ($a$λŠ” $n$개), $a^{-n} = (a^n)^{-1}$으둜 μ“°κΈ°λ‘œ ν•œλ‹€. 이 경우, μž„μ˜μ˜ $m,n\in\SetZ$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $a^ma^n = a^{m+n} = a^na^m$, $(a^m)^n = a^{mn} = (a^n)^m$이 μ„±λ¦½ν•œλ‹€.

문제. $G$λ₯Ό ꡰ이라고 ν•˜μž.

  1. $a,b\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$μž„μ„ 보여라.
  2. $a\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $(a^{-1})^{-1} = a$μž„μ„ 보여라. β€”

μ •μ˜ 2. κ΅° $G$에 λŒ€ν•˜μ—¬, κ·Έ ꡰ의 크기 ν˜Ήμ€ 농도 $|G|$λ₯Ό $G$의 μœ„μˆ˜order라고 ν•œλ‹€. μœ„μˆ˜κ°€ μœ ν•œμΈ ꡰ을 μœ ν•œκ΅°, 그렇지 μ•Šμ€ ꡰ을 λ¬΄ν•œκ΅°μ΄λΌκ³  ν•œλ‹€. β€”

ꡰ의 예 – λŒ€μΉ­κ΅°, μΌλ°˜μ„ ν˜•κ΅°

예 1. $G = \left\{ e \right\}$에 연산을 $\phi: (e,e)\mapsto e$와 같이 λΆ€μ—¬ν•˜λ©΄, μ΄λŠ” μ›μ†Œ 1κ°œλ§Œμ„ κ°€μ§€λŠ” ꡰ을 이룬닀. μ΄λŸ¬ν•œ ꡰ을 자λͺ…ν•œ κ΅°trivialΒ group이라고 ν•œλ‹€. β€”

예 2. $\SetZ$, $\SetQ$, $\SetR$, $\SetC$λŠ” 톡상적인 λ§μ…ˆμ— μ˜ν•˜μ—¬ κ°€ν™˜κ΅°μ„ 이룬닀. λ‹¨μœ„μ›μ€ $0$, 각 μ§‘ν•©μ˜ μ›μ†Œ $x$의 역원은 $-x$κ°€ λœλ‹€. β€”

예 3. $\SetQ\setminus \left\{ 0 \right\}$, $\SetR\setminus \left\{ 0 \right\}$, $\SetC\setminus \left\{ 0 \right\}$λŠ” 톡상적인 κ³±μ…ˆμ— μ˜ν•˜μ—¬ κ°€ν™˜κ΅°μ„ 이룬닀. λ‹¨μœ„μ›μ€ $1$, 각 μ§‘ν•©μ˜ μ›μ†Œ $x$의 역원은 $1/x$κ°€ λœλ‹€. κ·ΈλŸ¬λ‚˜ $\SetZ\setminus \left\{ 0 \right\}$λŠ” 톡상적인 κ³±μ…ˆμ— μ˜ν•˜μ—¬ ꡰ을 이루지 μ•ŠλŠ”λ‹€. 예λ₯Ό λ“€μ–΄, $2\in\SetZ$에 λŒ€ν•΄μ„œλŠ” 역원이 μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€. β€”

예 4. $X$λ₯Ό 집합이라고 ν•  λ•Œ, 전단사 사상 $\sigma: X\to X$λ₯Ό $X$의 μΉ˜ν™˜μ΄λΌκ³  ν•œλ‹€. $\mathfrak S$λ₯Ό $X$의 μΉ˜ν™˜ μ „μ²΄μ˜ 집합이라고 ν•˜κ³ , $\sigma,\tau\in\mathfrak S$ 에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\sigma\tau = \sigma\circ\tau$둜 연산을 μ •μ˜ν•˜λ©΄, $\mathfrak S$λŠ” ꡰ의 μ •μ˜λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. μ—¬κΈ°μ„œ $\mathfrak S$λ₯Ό $X$의 μΉ˜ν™˜κ΅°μ΄λΌκ³  ν•˜λ©°, 특히 $X_n = \left\{ 1, 2,\dots, n\right\}$ 이라고 ν•  λ•Œ, $X_n$의 μΉ˜ν™˜κ΅° $\mathfrak S_n$을 $n$차의 λŒ€μΉ­κ΅°symmetryΒ group이라고 ν•œλ‹€. $\mathfrak S_n$은 μœ„μˆ˜ $n!$의 μœ ν•œκ΅°μž„μ„ κ°„λ‹¨ν•œ κ³„μ‚°μœΌλ‘œλΆ€ν„° 확인할 수 μžˆλ‹€. β€”

$1\leq i_1, \ldots, i_m\leq n$을 μ„œλ‘œ λ‹€λ₯Έ μ •μˆ˜λΌκ³  ν•˜κ³ , $\sigma(i_1) = i_2,\sigma(i_2) = i_3, \ldots, \sigma(i_{m-1}) = i_m, \sigma(i_m) = i_1$ 을 만쑱, $\left\{ i_1,\ldots,i_m \right\}$에 μ†ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ” $j$에 λŒ€ν•΄μ„œλŠ” $\sigma(j) =j$인 $\sigma \in \mathfrak S_n$을 길이 $m$의 μˆœνšŒμΉ˜ν™˜μ΄λΌκ³  ν•˜λ©°, $\sigma = (i_1i_2\cdots i_m)$κ³Ό 같이 λ‚˜νƒ€λ‚Έλ‹€. 특히 길이가 $2$인 μˆœνšŒμΉ˜ν™˜μ„ ν˜Έν™˜μ΄λΌκ³  ν•œλ‹€.

예 5. μ‹€μˆ˜ μ„±λΆ„μ˜ $n\times n$ κ°€μ—­ν–‰λ ¬ μ „μ²΄μ˜ 집합을 $\text{GL}_n(\SetR)$이라고 ν•˜μž. κ·Έλ ‡λ‹€λ©΄, $\text{GL}_n(\SetR)$은 ν–‰λ ¬μ˜ 곱을 μ—°μ‚°μœΌλ‘œ ν•˜μ—¬ ꡰ을 μ΄λ£¨λŠ” 것을 확인할 수 μžˆλ‹€. μ‹€μˆ˜ 성뢄이 μ•„λ‹Œ, λ³΅μ†Œμˆ˜ μ„±λΆ„μ˜ $n\times n$ κ°€μ—­ν–‰λ ¬ μ „μ²΄μ˜ 집합 $\text{GL}_n(\SetC)$ μ—­μ‹œ ꡰ을 이루며, $\text{GL}_n(\SetR)$, $\text{GL}_n(\SetC)$ λ₯Ό μΌλ°˜μ„ ν˜•κ΅°μ΄λΌκ³  ν•œλ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • ꡰ의 곡리 – 결합법칙, λ‹¨μœ„μ›μ˜ 쑴재, μ—­μ›μ˜ 쑴재 – λ₯Ό μ΄μš©ν•˜μ—¬ ꡰ을, κ°€ν™˜λ²•μΉ™μ΄ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” ꡰ으둜 abelian ꡰ을 μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • κ΅° $G$의 μœ„μˆ˜λ₯Ό ꡰ의 크기 ν˜Ήμ€ 농도 $|G|$둜 μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • ꡰ의 λŒ€ν‘œμ μΈ 예둜 λŒ€μΉ­κ΅°κ³Ό μΌλ°˜μ„ ν˜•κ΅°μ„ μ œμ‹œν–ˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 1 ηΎ€θ«–ε…₯ι–€γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.