Zorn 보쑰정리

Zorn 보쑰정리

μ •μ˜ 1. μˆœμ„œμ§‘ν•© $(X,\leq)$κ°€ μ£Όμ–΄μ‘Œμ„ λ•Œ, μž„μ˜μ˜ μ „μˆœμ„œμΈ 뢀뢄집합이 μœ„λ‘œ μœ κ³„λΌλ©΄ $(X, \leq)$λŠ” 귀납적inductive이라고 ν•œλ‹€. β€”

정리 1(Zorn 보쑰정리, ZL). 귀납적인 μˆœμ„œμ§‘ν•©μ€ 적어도 ν•˜λ‚˜μ˜ κ·ΉλŒ€ μ›μ†Œλ₯Ό κ°–λŠ”λ‹€. β€”

증λͺ…. 선택곡리λ₯Ό κ°€μ •ν•œλ‹€.

$(X, \leq)$λ₯Ό 귀납적인 μˆœμ„œμ§‘ν•©μ΄λΌκ³  ν•˜μž. 이 λ•Œ, 선택곡리에 μ˜ν•˜μ—¬, $f(x)\in x$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 선택사상 $f: 2^X\setminus \left\{ \emptyset \right\}\to X$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€. μ—¬κΈ°μ„œ, $(X, \leq)$의 정렬뢀뢄집합인 $W$와 $a\in W$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\Delta(W,a)\coloneqq \left\{ x\in X\,|\, \forall b\in W \langle a \rangle; b<x\right\}$ 라고 두면, $a\in \Delta(W,a)$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. 주어진 선택사상 $f$에 μ˜ν•˜μ—¬, μž„μ˜μ˜ $a\in W$에 λŒ€ν•΄ $a = f(\Delta(W,a))$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, $W$κ°€ $f$-열인 정렬집합이라고 ν•˜μž. λ˜ν•œ, $f$-열인 정렬집합 μ „μ²΄μ˜ 집합을 $\mathfrak{F}$라고 ν•˜μž.

μš°μ„ , μž„μ˜μ˜ $W_1, W_2\in \mathfrak{F}$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $W_1 = W_2$μ΄κ±°λ‚˜, $W_1$κ³Ό $W_2$쀑 μ–΄λŠ ν•˜λ‚˜κ°€ λ‹€λ₯Έ ν•˜λ‚˜μ˜ 절편과 μΌμΉ˜ν•˜λŠ” 것을 보이자. $W_1$κ³Ό $W_2$λŠ” λͺ¨λ‘ 정렬집합이고, μ •λ ¬μ§‘ν•©μ˜ 비ꡐ정리에 μ˜ν•˜μ—¬, $W_1\cong W_2$ μ΄κ±°λ‚˜ $W_1$와 $W_2$ 쀑 μ–΄λŠ ν•˜λ‚˜κ°€ λ‹€λ₯Έ ν•˜λ‚˜μ˜ 절편과 μˆœμ„œλ™ν˜•μ„ 이룬닀. κ·Έ 쀑, $a\in W_2$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $W_1\cong W_2 \langle a \rangle$인 경우λ₯Ό κ³ λ €ν•˜μž. 이 λ•Œμ˜ μœ μΌν•œ μˆœμ„œλ™ν˜•μ‚¬μƒ $\phi: W_1\to W_2 \langle a \rangle$κ°€, $\phi(x) = x$, 즉 ν•­λ“±μ‚¬μƒμž„μ„ 보이면, $W_1=W_2\langle a \rangle$μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. $W_1’=\left\{ x\in W_1 \,|\, \phi(x) \neq x \right\}$둜 두어, $W_1’\neq\emptyset$이라고 κ°€μ •ν•œλ‹€λ©΄, $m =\min W_1’$이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€. $W_1’$κ³Ό $m$의 μ •μ˜μ— μ˜ν•˜μ—¬, $W_1 \langle m \rangle = W_2 \langle \phi(m) \rangle$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λ―€λ‘œ, $\Delta(W_1, m) = \Delta(W_2, \phi(m))$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. ν•˜μ§€λ§Œ, $W_1, W_2\in \mathfrak{F}$μ΄λ―€λ‘œ, $m = f(\Delta(W_1, m)) = f(\Delta(W_2, \phi(m))) = \phi(m)$이고, μ΄λŠ” $m\in W_1’$에 λͺ¨μˆœμ΄λ―€λ‘œ, $W_1’=\emptyset$이닀. λ”°λΌμ„œ $W_1=W_2\langle a \rangle$. $W_2$κ°€ $W_1$의 절편과 μˆœμ„œλ™ν˜•μΌ λ•Œ, ν˜Ήμ€ $W_1\cong W_2$일 λ•Œμ—λ„ 같은 λ°©λ²•μœΌλ‘œ μœ„μ˜ μ£Όμž₯이 성립함을 보일 수 μžˆλ‹€.

μœ„μ˜ 결과와, μ •λ ¬μ§‘ν•©μ˜ ꡬ성정리에 μ˜ν•˜μ—¬, $W_\infty\coloneqq \bigcup_{W\in\mathfrak{F}}W$μ—­μ‹œ 정렬집합이며, $W_\infty\in \mathfrak{F}$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€1. λ™μ‹œμ— $X$λŠ” 귀납적인 μˆœμ„œμ§‘ν•©, $W_\infty$λŠ” μ „μˆœμ„œμ§‘ν•©μ΄λ―€λ‘œ, 상계인 $w\in X$λ₯Ό κ°–λŠ”λ‹€.

$w$κ°€ κ·ΉλŒ€μΈ μ›μ†ŒλΌλŠ” 것을 보이기 μœ„ν•΄, $w < w’$인 $w’\in X$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€κ³  κ°€μ •ν•˜μž. $\Delta_\infty \coloneqq \left\{ x\in X \,|\, \forall b\in W_\infty;b<x\right\}\neq\emptyset$ 으둜 두면, $w’\in\Delta_\infty$μ΄λ―€λ‘œ, $\Delta_\infty\neq\emptyset$이닀. $x_0\coloneqq f(\Delta_\infty)$으둜 두면, $W_\infty’=W_\infty\cup\left\{ x_0 \right\}$ 은 정렬집합이고, $W_\infty’\langle x_0 \rangle = W_\infty$이닀. λ”°λΌμ„œ, $x_0=f(\Delta_\infty)=f(\Delta(W_\infty’,x_0))$μ΄λ―€λ‘œ, $W_\infty’\in\mathfrak F$ 이닀. ν•˜μ§€λ§Œ, $W_\infty\subsetneq W_\infty’$이고, μ΄λŠ” $W_\infty$의 μ •μ˜λ‘œλΆ€ν„° λͺ¨μˆœμž„을 μ•Œ 수 μžˆμœΌλ―€λ‘œ, $w\in X$λŠ” $X$의 κ·ΉλŒ€μ›μ†Œμ΄λ‹€. $\square$

μ£Ό. μœ„ 증λͺ…μ—μ„œ $W_\infty$의 상계인 $w\in X$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $w\in W_\infty$, $w=\max W_\infty$κ°€ 성립함을 μ‰½κ²Œ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ§Œμ•½ 그렇지 μ•Šλ‹€κ³  κ°€μ •ν•˜λ©΄, $w\in \Delta_\infty$이게 λ˜μ–΄, 증λͺ…μ—μ„œ 보인 것과 같은 λͺ¨μˆœμ΄ λ°œμƒν•˜κΈ° λ•Œλ¬Έμ΄λ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • μ„ νƒκ³΅λ¦¬λ‘œλΆ€ν„° Zorn 보쑰정리λ₯Ό 증λͺ…ν–ˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • 松坂 ε’Œε€«οΌŒγ€Žι›†εˆγƒ»δ½η›Έε…₯ι–€γ€οΌŒε²©ζ³’ζ›ΈεΊ—οΌŒ1968.
  • ε†…η”° δΌδΈ€οΌŒγ€Žι›†εˆγ¨δ½η›Έγ€οΌŒθ£³θ―ζˆΏοΌŒ1986.

  1. 각 $a\in W_\infty$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $a\in W$인 $W\in \mathfrak{F}$κ°€ μ‘΄μž¬ν•  것이닀. μ •λ ¬μ§‘ν•©μ˜ ꡬ성정리에 μ˜ν•˜μ—¬ λͺ¨λ“  $\mathfrak{F}$의 μ›μ†ŒλŠ” $W_\infty$ ν˜Ήμ€ $W_\infty$의 절편과 μΌμΉ˜ν•˜λ―€λ‘œ, $W_\infty \langle a \rangle = W \langle a \rangle$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. λ”°λΌμ„œ $\Delta(W_\infty, a) = \Delta(W, a)$, $f(\Delta(W_\infty, a)) = f(\Delta(W, a)) = a$이 성립.β†©οΈŽ