μ€‘κ΅­μΈμ˜ λ‚˜λ¨Έμ§€ 정리

μ€‘κ΅­μΈμ˜ λ‚˜λ¨Έμ§€ 정리

정리 1(μ€‘κ΅­μΈμ˜ λ‚˜λ¨Έμ§€ 정리ChineseΒ RemainderΒ Theorem,Β CRT1). $A$λ₯Ό λΉ„μžλͺ…ν•œ κ°€ν™˜ν™˜, $I_1,\ldots,I_n\subsetneq A$λ₯Ό $A$의 아이디얼이라고 ν•˜μž. $I_1,\ldots,I_n$ 쀑 μ–΄λŠ 두 개λ₯Ό 선택해도 μ„œλ‘œμ†Œ2라면, λ‹€μŒμ΄ μ„±λ¦½ν•œλ‹€.

  1. $i=1,\ldots,n$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $I_i$와 $\prod_{j\neq i}I_j$λŠ” μ„œλ‘œμ†Œ.
  2. $I_1\cap\cdots\cap I_n = I_1\cdots I_n$.
  3. $A/(I_1\cap\cdots\cap I_n) \cong A/I_1\times\cdots\times A/I_n$. β€”

증λͺ….

1의 증λͺ…. $i=1$이라고 해도 μΌλ°˜μ„±μ„ μžƒμ§€ μ•ŠμœΌλ―€λ‘œ, $I_1 + I_2\cdots I_n = A$μž„μ„ 보이자. 각 $j=2,\ldots,n$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $x_j + y_j = 1$인 $x_j\in I_1$, $y_j\in I_j$을 μ·¨ν•  수 μžˆλ‹€. μ—¬κΈ°μ„œ $(x_2+y_2)\cdots(x_n+y_n) = 1$이고, μ’Œλ³€μ„ μ „κ°œν–ˆμ„ λ•Œ, $y_2\cdots y_n\in I_2\cdots I_n$을 μ œμ™Έν•œ 항은 λͺ¨λ‘ $I_1$의 μ›μ†Œμ΄λ―€λ‘œ, $I_1 + I_2\cdots I_n = A$인 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€.

2의 증λͺ…. $n$에 κ΄€ν•œ κ·€λ‚©λ²•μœΌλ‘œ 보이자.

  • $n = 2$인 경우: $I_1I_2\subset I_1\cap I_2$이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 λ‹Ήμ—°. $x+y=1$이 λ˜λ„λ‘ $x\in I_1$, $y\in I_2$λ₯Ό μ·¨ν•˜λ©΄, $a\in I_1\cap I_2$라고 ν•  λ•Œ, $a=ax+ay\in I_1I_2$. λ”°λΌμ„œ $I_1\cap I_2\subset I_1I_2$.
  • $I_1\cap\cdots\cap I_{n-1} = I_1\cdots I_{n-1}$($= J$)κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€κ³  ν•˜λ©΄, 1μ—μ„œ λ³΄μΈλŒ€λ‘œ $J + I_n = A$. λ”°λΌμ„œ, $n=2$인 κ²½μš°μ—μ„œ λ³΄μΈλŒ€λ‘œ, $I_1\cap\cdots\cap I_{n} = J \cap I_n = JI_n = I_1\cdots I_n$.

3의 증λͺ…. ν™˜μ˜ μ€€λ™ν˜•μ •λ¦¬λ₯Ό μ΄μš©ν•œλ‹€.

  • $n=2$인 경우λ₯Ό λ¨Όμ € 보이자. $\phi\colon A\ni a\mapsto (a+I_1, a+I_2)\in A/I_1\times A/I_2$와 같은 μ€€λ™ν˜•μ„ 생각할 λ•Œ, $\text{Ker}(\phi) = I_1\cap I_2$인 것은 ν™˜μ˜ 직곱의 μ •μ˜λ‘œλΆ€ν„° λ‹Ήμ—°ν•˜λ‹€. λ˜ν•œ, $I_1+I_2=A$μ΄λ―€λ‘œ, $x+y=1$인 $x\in I_1$, $y\in I_2$ λ₯Ό μ·¨ν•˜λ©΄, μž„μ˜μ˜ $a,b\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\phi(ay+bx)=(a+I_1,b+I_2)$ μ΄λ―€λ‘œ $\phi$λŠ” 전사이닀3. λ”°λΌμ„œ ν™˜μ˜ μ€€λ™ν˜•μ •λ¦¬μ— μ˜ν•˜μ—¬, $A/(I_1\cap I_2) \cong A/I_1 \times A/I_2$이닀.
  • $n>2$인 경우 μ—­μ‹œ, $J = I_1\cdots I_{n-1}$으둜 두면, 2μ—μ„œ λ³΄μΈλŒ€λ‘œ $J=I_1\cap\cdots\cap I_{n-1}$ 이고, 1μ—μ„œ λ³΄μΈλŒ€λ‘œ $J+I_n=A$μ΄λ―€λ‘œ, $n=2$일 λ•Œμ™€ λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ $A/(I_1\cap\cdots\cap I_n) = A/(J\cap I_n) \cong A/J\times A/I_n$. 이와 같은 μž‘μ—…μ„ λ°˜λ³΅ν•˜λ©΄ $A/J= A/I_1\times\cdots\times A/I_n$μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆμœΌλ―€λ‘œ, λ™ν˜•μ΄ 보여진닀. $\square$

보쑰정리 2. $I, J$κ°€ λΉ„μžλͺ…ν•œ κ°€ν™˜ν™˜ $A$의 μ„œλ‘œμ†ŒμΈ 아이디얼이고, $a,b\in\SetZ_{>0}$라면, $I^a$와 $J^b$ μ—­μ‹œ μ„œλ‘œμ†Œμ΄λ‹€. β€”

증λͺ…. $x+y = 1$이도둝 $x\in I$, $y\in J$λ₯Ό μ·¨ν•˜λ©΄, $1 = (x+y)^{a+b} \in I^a+J^b$μž„μ„ μ΄ν•­μ •λ¦¬λ‘œλΆ€ν„° 확인할 수 μžˆλ‹€. $\square$

예 1. $300 = 2^2\cdot3\cdot5^2$이고, $2,3,5$λŠ” (μ–΄λŠ 두 개λ₯Ό 택해도) μ„œλ‘œμ†Œμ΄λ―€λ‘œ, 정리 1κ³Ό 보쑰정리 2에 μ˜ν•˜μ—¬ $\SetZ/300\SetZ \cong \SetZ/4\SetZ\times\SetZ/3\SetZ\times\SetZ/25\SetZ$. β€”

예 2. 예 1κ³Ό λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, $\SetC[x]/(x(x-1)^2(x+2)^3)\cong\SetC[x]/(x)\times\SetC[x]/((x-1)^2)\times\SetC[x]/((x+2)^3)$. β€”

μ—°μŠ΅λ¬Έμ œ

문제 1. $x\equiv 1\mod 2$, $x\equiv 2\mod 5$, $x\equiv 8\mod 13$을 λͺ¨λ‘ λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” μ •μˆ˜λ₯Ό λͺ¨λ‘ κ΅¬ν•˜μ—¬λΌ. β€”

풀이.

  • Euclidean ν˜Έμ œλ²•μ„ μ΄μš©ν•˜λ©΄, $-4\in 2\SetZ$, $5\in 5\SetZ$, $-4+5=1$와 같이 $x\in 2\SetZ$, $y\in 5\SetZ$, $x+y=1$λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” 쌍 $(x,y)$λ₯Ό 찾을 수 μžˆλ‹€. CRT에 μ˜ν•˜μ—¬ $\SetZ/10\SetZ \cong \SetZ/2\SetZ\times\SetZ/5\SetZ$이고, 이 λ™ν˜•μ‚¬μƒμ„ $\phi$라고 ν•˜λ©΄, $\phi(7+10\SetZ)=\phi(1\cdot 5+2\cdot(-4) + 10\SetZ)=(1+2\SetZ, 2+5\SetZ)$ 인 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ”°λΌμ„œ $x\equiv 1\mod 2$, $x\equiv 2\mod 5$일 ν•„μš”μΆ©λΆ„μ‘°κ±΄μ€ $x\equiv 7\mod 10$.
  • 같은 λ°©λ²•μœΌλ‘œ $x\equiv 7\mod 10$인 λ™μ‹œμ— $x\equiv 8\mod 13$을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” μ •μˆ˜ $x$λ₯Ό κ΅¬ν•˜λ©΄ λœλ‹€. $40\in 10\SetZ$, $-39\in 13\SetZ$, $40+(-39)=1$이고, $\SetZ/130\SetZ \cong \SetZ/10\SetZ\times\SetZ/13\SetZ$μ΄λ―€λ‘œ, 이 λ™ν˜•μ‚¬μƒμ„ $\psi$라고 ν•˜λ©΄, $\psi(47+130\SetZ)=\psi(7\cdot(-39)+8\cdot40+130\SetZ)=(7+10\SetZ,8+13\SetZ)$ 이닀. λ”°λΌμ„œ $x\equiv 47\mod 130$인 μ •μˆ˜ $x$κ°€ 문제의 λͺ¨λ“  쑰건을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” μ •μˆ˜μ˜ 전뢀이닀. β€”

문제 2. $I_1=(x^2+1,3)$, $I_2=(x+1)$을 $\SetZ[x]$의 아이디얼이라고 ν•˜μž. $f\equiv x\mod I_1$, $f\equiv 1\mod I_2$인 $f(x)\in\SetZ[x]$λ₯Ό ν•˜λ‚˜ 찾아라. β€”

풀이. $2-x^2\in I_1$, $x^2-1\in I_2$이고, $(2-x^2)+(x^2-1)=1$이닀. 풀이 1κ³Ό 같은 λ…Όλ¦¬λ‘œ, $f(x)=x(x^2-1)+1(2-x^2)=x^3-x^2-x+2$λŠ” 문제의 쑰건을 λ§Œμ‘±ν•˜λ©°, 직접 확인할 μˆ˜λ„ μžˆλ‹€. β€”

문제 3. $\SetZ[\sqrt{-5}]/(3) \cong \SetZ/3\SetZ\times\SetZ/3\SetZ$을 보여라. β€”

풀이. $\SetZ[x]$의 아이디얼 $(x-1,3)$κ³Ό $(x-2,3)$은 μ„œλ‘œμ†Œμ΄λ‹€. λ™μ‹œμ— $(x-1,3)(x-2,3)=(x^2+5,3)$이 μ„±λ¦½ν•˜λ―€λ‘œ, CRT에 μ˜ν•˜μ—¬,

$$ \begin{aligned} \SetZ[\sqrt{-5}]/(3)&\cong\SetZ[x]/(x^2+5,3) \\ &\cong\SetZ[x]/(x-1,3)\times\SetZ[x]/(x-2,3) \\ &\cong\SetZ/3\SetZ\times\SetZ/3\SetZ \end{aligned} $$

이 μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • ν™˜μ—μ„œμ˜ μ€‘κ΅­μΈμ˜ λ‚˜λ¨Έμ§€ 정리λ₯Ό 증λͺ…ν–ˆλ‹€.
  • ν™˜μ—μ„œμ˜ μ€‘κ΅­μΈμ˜ λ‚˜λ¨Έμ§€ 정리λ₯Ό μ΄μš©ν•œ λ™ν˜•μ˜ μ˜ˆμ‹œλ₯Ό μ œμ‹œν–ˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, β€œIntroduction to Commutative Algebra”, Addison-Wesley, 1969.
  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 1 ηΎ€θ«–ε…₯ι–€γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.
  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 2 η’°γ¨δ½“γ¨γ‚¬γƒ­γ‚’η†θ«–γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.

  1. Sun-tzu(孫子, μ†μž) 정리라고도 ν•œλ‹€. κ΄€λ ¨ κΈ€.β†©οΈŽ

  2. ν™˜ $A$의 두 아이디얼 $I,J$κ°€ μ•„μ΄λ””μ–Όλ‘œμ„œ μ„œλ‘œμ†ŒλΌλŠ” 것은, $I+J=A$μž„μ„ μ˜λ―Έν•œλ‹€.β†©οΈŽ

  3. μ‹€μ œλ‘œ, $I_1$κ³Ό $I_2$κ°€ μ„œλ‘œμ†Œμ΄μ§€ μ•Šλ‹€λ©΄, 전사이지 μ•Šλ‹€. $\phi$κ°€ 전사라고 ν•œλ‹€λ©΄, $\phi(a)=(I_1,1+I_2)$인 $a\in A$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€. $a\in I_1$, $1-a\in I_2$μ΄λ―€λ‘œ, $1=a+(1-a)\in I_1+I_2$, $I_1$κ³Ό $I_2$λŠ” μ„œλ‘œμ†Œμ΄λ‹€.β†©οΈŽ

λ…Έλ¦„κ³΅κ°„μ˜ μ •μ˜

λ…Έλ¦„μ˜ 곡리

μ •μ˜ 1(λ…Έλ¦„μ˜ 곡리). $\SetR$ ν˜Ήμ€ $\SetC$ μƒμ˜ 벑터곡간 $V$에 λŒ€ν•˜μ—¬, 사상 $\|\cdot\|\colon V\to \SetR$이 λ‹€μŒ 쑰건 1,2,3을 λ§Œμ‘±ν•œλ‹€λ©΄, 사상 $\|\cdot\|$을 노름norm이라고 ν•œλ‹€.

  1. μž„μ˜μ˜ $\vec x\in V$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\|\vec x\|\geq 0$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. λ˜ν•œ λ“±ν˜ΈλŠ” $\vec x = \vec 0$일 λ•Œμ— ν•œν•˜μ—¬ μ„±λ¦½ν•œλ‹€.
  2. μž„μ˜μ˜ $\vec x\in V$와 $\lambda\in \SetR$ (ν˜Ήμ€ $\lambda\in\SetC$)에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\|\lambda\vec x\| = |\lambda|\|\vec x\|$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€.
  3. 삼각뢀등식 – μž„μ˜μ˜ $\vec x, \vec y\in V$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\|\vec x+ \vec y\|\leq \|\vec x\| + \|\vec y\|$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

$\SetR$ ν˜Ήμ€ $\SetC$ μƒμ˜ 벑터곡간 $V$에 λŒ€ν•˜μ—¬ 노름 $\|\cdot\|$이 μ£Όμ–΄μ§ˆ λ•Œ, ν•¨μˆ˜ $d: V\times V\ni (\vec x,\vec y) \mapsto \|\vec x-\vec y\|\in\SetR$λ₯Ό μ •μ˜ν•˜λ©΄, $d$λŠ” $V$ μƒμ˜ κ±°λ¦¬ν•¨μˆ˜μž„μ„ 확인할 수 μžˆλ‹€. 이λ₯Ό 노름 $\|\cdot\|$에 μ˜ν•œ μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ 거리라고 ν•œλ‹€. λ”°λΌμ„œ, 노름곡간은 μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ 거리에 μ˜ν•˜μ—¬ κ±°λ¦¬κ³΅κ°„μœΌλ‘œ 생각할 수 μžˆλ‹€.

보쑰정리 1(Cauchy-Schwarz 뢀등식). 벑터곡간 $\SetR^n$κ³Ό, $\vec a = (a_1,\ldots, a_n), \vec b = (b_1\ldots, b_n) \in\SetR^n$에 λŒ€ν•˜μ—¬, λ‹€μŒ 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•œλ‹€.

$$ \left( \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right). $$

λ˜ν•œ, λ“±ν˜ΈλŠ” $\vec a$와 $\vec b$κ°€ μ„ ν˜•μ’…μ†μΌ λ•Œμ— ν•œν•˜μ—¬ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

증λͺ…. $\vec a = \vec b = \vec 0$ 일 λ•Œ, 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 자λͺ…ν•˜λ‹ˆ, μ–΄λŠ ν•œ μͺ½μ€ $\vec 0$이 μ•„λ‹Œ κ²½μš°λ§Œμ„ μƒκ°ν•˜μž. 이 경우, $\vec a \neq \vec 0$ 라고 해도 μΌλ°˜μ„±μ„ μžƒμ§€ μ•ŠμœΌλ‹ˆ $\vec a\neq \vec 0$라고 ν•˜μž.

$$ f(x) \coloneqq \sum_{i=1}^{n} (a_ix-b_i)^2 = \left( \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right)x^2-2\left( \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)x + \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) $$

라고 $f(x)$λ₯Ό μ •μ˜ν•˜λ©΄, $a_i\neq 0$인 $i=1,\ldots,n$이 μ‘΄μž¬ν•˜λ―€λ‘œ, $\sum_{i=1}^n a_i^2 \neq 0$. $f(x)$λŠ” 2차의 닀항식이닀. μ€‘κ°„μ˜ μ‹μœΌλ‘œλΆ€ν„° μ•Œ 수 μžˆλ“―μ΄, μž„μ˜μ˜ $x\in\SetR$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $f(x)\geq 0$μ΄λ―€λ‘œ, $f(x)$의 νŒλ³„μ‹ $D$에 λŒ€ν•˜μ—¬,

$$ D/4 = \left( \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)^2-\left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \leq 0 $$

μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ˜ν•œ, β€œ$\vec a\neq\vec 0$와 $\vec b$κ°€ μ„ ν˜•μ’…μ†μΈ 것”과 β€œ$\lambda\vec a = \vec b$이도둝 ν•˜λŠ” $\lambda\in\SetR$이 μ‘΄μž¬ν•˜λŠ” 것”은 λ™μΉ˜, 이 κ²½μš°μ— ν•œν•˜μ—¬ $f(\lambda)= 0$둜 $f(x)$λŠ” 쀑근 $\lambda$λ₯Ό κ°€μ§€λ―€λ‘œ, $D=0$. $\vec a$와 $\vec b$κ°€ μ„ ν˜•μ’…μ†μΈ 것과 λ“±ν˜Έ 성립은 λ™μΉ˜μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. $\square$

λ³„λ„μ˜ 증λͺ…. λ‹€μŒκ³Ό 같은 κ°„λ‹¨ν•œ 식 λ³€ν˜•μ„ 톡해 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€.

$$ \begin{aligned} \left( \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \right) -\left( \sum_{i=1}^{n}a_ib_i \right)^2 &= \sum_{i\neq j} a_i^2b_j^2-2\sum_{i<j}^{} a_ib_ia_jb_j \\ &= \sum_{i<j} (a_ib_j -a_jb_i)^2 \geq 0. \end{aligned} $$

μ—¬κΈ°μ„œ λ“±ν˜ΈλŠ” μž„μ˜μ˜ $i<j$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $a_ib_j-a_jb_i=0$일 λ•Œμ— ν•œν•˜μ—¬ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. 이 쑰건이 $\vec a$와 $\vec b$κ°€ μ„ ν˜•μ’…μ†μΈ 것과 λ™μΉ˜μΈ 것은 κ°„λ‹¨νžˆ 확인할 수 μžˆλ‹€. $\square$

이외에도, HΓΆlder λΆ€λ“±μ‹μ΄λ‚˜, λ‚΄μ μ˜ κ³΅λ¦¬λ‘œλΆ€ν„° Cauchy-Schwarz 뢀등식이 얻어진닀.

예 1(Euclidean 곡간). 점 $\vec a = (a_1, \ldots, a_n)\in \SetR^n$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\|\vec a\|_2 \coloneqq \sqrt{(a_1^2+\cdots+a_n^2)}$와 같이 사상 $\|\cdot\|: \SetR^n\to\SetR$을 μ •μ˜ν•˜λ©΄, μ •μ˜ 1의 λ…Έλ¦„μ˜ 곡리 1,2λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜κ³  μžˆλŠ” 것은 μ‰½κ²Œ 확인할 수 μžˆλ‹€. λ˜ν•œ, $\vec a = (a_1,\ldots,a_n), \vec b = (b_1,\ldots,b_n)\in\SetR^n$에 λŒ€ν•΄, 보쑰정리 1에 μ˜ν•˜μ—¬

$$ \begin{aligned} \|\vec a+\vec b\|_2^2 &=\sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i)^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2\sum_{i=1}^n a_ib_i \\ &\leq \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2 {\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)^{1/2} \left( \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \right)^{1/2}} \\ &= \left( \|\vec a\|_2 + \|\vec b\|_2 \right)^2. \end{aligned} $$

λ”°λΌμ„œ $\|\cdot\|$은 $\SetR^n$ μƒμ˜ 노름이닀. 이λ₯Ό Euclidean 노름이라고 ν•˜λ©°, 이 노름(ν˜Ήμ€ 이 노름에 μ˜ν•œ μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ 거리)이 λΆ€μ—¬λœ 벑터곡간 $\SetR^n$을 Euclidean 곡간이라고 ν•œλ‹€. β€”

예 2(Minkowski 곡간). $p\in [1,\infty)$라고 ν•˜μž. 점 $\vec a = (a_1, \ldots, a_n)\in \SetR^n$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\|\vec a\|_p\coloneqq (|a_1|^p + \cdots + |a_n|^p)^{1/p}$와 같이 사상 $\|\cdot\|: \SetR^n\to\SetR$을 μ •μ˜ν•˜λ©΄, μ •μ˜ 1의 λ…Έλ¦„μ˜ 곡리 1,2λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜κ³  μžˆλŠ” 것은 μ‰½κ²Œ 확인할 수 μžˆλ‹€. λ˜ν•œ, $\vec a = (a_1,\ldots,a_n), \vec b = (b_1,\ldots,b_n)\in\SetR^n$에 λŒ€ν•΄, $\|\vec a + \vec b\|_p\leq \|\vec a\|_p + \|\vec b\|_p$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 Minkowski λΆ€λ“±μ‹μœΌλ‘œλΆ€ν„° 확인할 수 μžˆλ‹€. λ”°λΌμ„œ $\|\cdot\|_p$은 $\SetR^n$ μƒμ˜ 노름이닀. 이λ₯Ό Minkowski 노름이라고 ν•˜λ©°, 이 노름(ν˜Ήμ€ 이 노름에 μ˜ν•œ μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ 거리)이 λΆ€μ—¬λœ 벑터곡간 $\SetR^n$을 Minkowski 곡간이라고 ν•œλ‹€. β€”

예 3(μ΅œλŒ“κ°’ 노름). 점 $\vec a = (a_1, \ldots, a_n)\in \SetR^n$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\|\vec a\|_\infty \coloneqq \max_{1\leq i\leq n} |a_i|$ 와 같이 사상 $\|\cdot\|_\infty: \SetR^n\to \SetR$을 μ •μ˜ν•˜λ©΄, μ΄λŠ” 노름이닀. (μ—°μŠ΅λ¬Έμ œ) 이λ₯Ό $\SetR^n$ μƒμ˜ μ΅œλŒ“κ°’ 노름이라고 ν•œλ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • 노름과 노름곡간을 μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • Cauchy-Schwarz 뢀등식을 μ΄μš©ν•˜μ—¬, λ…Έλ¦„κ³΅κ°„μ˜ 예둜 Euclidean 곡간을 λ“€μ—ˆλ‹€.
  • Minkowski 뢀등식을 μ΄μš©ν•˜μ—¬, λ…Έλ¦„κ³΅κ°„μ˜ 예둜 Minkowski 곡간을 λ“€μ—ˆλ‹€.
  • λ…Έλ¦„μ˜ 예둜 μ΅œλŒ“κ°’ 노름을 λ“€μ—ˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • 松坂 ε’Œε€«οΌŒγ€Žι›†εˆγƒ»δ½η›Έε…₯ι–€γ€οΌŒε²©ζ³’ζ›ΈεΊ—οΌŒ1968.

μœ„μˆ˜ 30인 ꡰ의 λΆ„λ₯˜

μœ„μˆ˜ 30인 ꡰ의 λΆ„λ₯˜

문제 1.

  1. μœ„μˆ˜ 30인 ꡰ은 μœ„μˆ˜ 15인 뢀뢄ꡰ을 가짐을 보여라.
  2. μœ„μˆ˜ 30인 ꡰ의 λ™ν˜•λ₯˜λ₯Ό λΆ„λ₯˜ν•˜λΌ. β€”

풀이.

1의 풀이.

$G$λ₯Ό μœ„μˆ˜ 30인 ꡰ이라고 ν•˜μž. κ·Έλ ‡λ‹€λ©΄, $G$λŠ” μœ„μˆ˜ 3의 3-Sylow λΆ€λΆ„κ΅°κ³Ό, μœ„μˆ˜ 5의 5-Sylow 뢀뢄ꡰ을 κ°–λŠ”λ‹€. 3-Sylow λΆ€λΆ„κ΅°μ˜ κ°œμˆ˜λŠ” 1개 ν˜Ήμ€ 10개이고, 5-Sylow λΆ€λΆ„κ΅°μ˜ κ°œμˆ˜λŠ” 1개 ν˜Ήμ€ 6κ°œμž„μ„ Sylow 정리에 μ˜ν•˜μ—¬ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. 3-Sylow 뢀뢄ꡰ이 10개, λ™μ‹œμ— 5-Sylow 뢀뢄ꡰ이 6개 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€κ³  κ°€μ •ν•˜λ©΄, 각 3-Sylow λΆ€λΆ„κ΅°μœΌλ‘œλΆ€ν„° μœ„μˆ˜ 3인 μ›μ†Œκ°€ 2κ°œμ”©, 20κ°œκ°€ μ‘΄μž¬ν•˜κ³ 1, 각 5-Sylow λΆ€λΆ„κ΅°μœΌλ‘œλΆ€ν„° μœ„μˆ˜ 5인 μ›μ†Œκ°€ 4κ°œμ”©, 24κ°œκ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€. ν•˜μ§€λ§Œ $G$의 μ›μ†ŒλŠ” λͺ¨λ‘ 30κ°œμ΄λ―€λ‘œ μ΄λŠ” λͺ¨μˆœ, 3-Sylow 뢀뢄ꡰ이 1κ°œμ΄κ±°λ‚˜ 5-Sylow 뢀뢄ꡰ이 1κ°œλΌλŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ°”κΎΈμ–΄ λ§ν•˜λ©΄ 3-Sylow λΆ€λΆ„κ΅°κ³Ό 5-Sylow λΆ€λΆ„κ΅° 쀑 적어도 ν•˜λ‚˜λŠ” μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°.

3-Sylow λΆ€λΆ„κ΅°κ³Ό 5-Sylow 뢀뢄ꡰ을 각각 $S_3$, $S_5$둜 ν•˜λ‚˜μ”© νƒν•˜λ©΄, $S_3\vartriangleleft G$μ΄κ±°λ‚˜, $S_5\vartriangleleft G$이닀. λ˜ν•œ, $S_3\cap S_5$의 μœ„μˆ˜λŠ” $\text{gcd}(|S_3|, |S_5|) = 1$의 μ•½μˆ˜μ΄λ―€λ‘œ 1이고, $S_3\cap S_5 =\left\{ 1_G \right\}$. λ”°λΌμ„œ, ꡰ의 제2λ™ν˜•μ •λ¦¬μ— μ˜ν•˜μ—¬, $S_3S_5$은 μœ„μˆ˜ $|S_3|\cdot|S_5| = 15$의 λΆ€λΆ„κ΅°μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€.

2의 풀이.

1의 결과에 μ˜ν•˜μ—¬, μœ„μˆ˜ 30인 κ΅° $G$λŠ” μœ„μˆ˜ 15인 λΆ€λΆ„κ΅° $N$을 가진닀. $N$은 $G$의 μ§€μˆ˜ 2인 λΆ€λΆ„κ΅°μ΄λ―€λ‘œ μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ΄λ‹€2. 그리고 $G$의 μœ„μˆ˜ 2인 2-Sylow 뢀뢄ꡰ을 $H$라고 ν•˜λ©΄, 1μ—μ„œ $S_3\cap S_5 = \left\{ 1_G \right\}$인 것을 보인 κ²ƒμ²˜λŸΌ, $H\cap N = \left\{ 1_G \right\}$이고, $|H|\cdot|N| = 30 = |G|$μ΄λ―€λ‘œ, λ°˜μ§κ³±μ„ μ΄μš©ν•œ ꡰ의 뢄해에 μ˜ν•˜μ—¬, $G$의 λ‚΄λΆ€μžκΈ°λ™ν˜•μ— μ˜ν•˜μ—¬ μœ λ„λ˜λŠ” μ€€λ™ν˜• $\Phi\colon H\ni h\mapsto\phi_h\in\text{Aut}(N)$이 μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬, $G \cong N\rtimes H$μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ”°λΌμ„œ μ€€λ™ν˜• $\Phi$둜 μ ν•©ν•œ 것듀을 λͺ¨λ‘ κ΅¬ν•˜λ©΄ λœλ‹€.

$H$λŠ” μœ„μˆ˜ 2의 뢀뢄ꡰ이닀. λ”°λΌμ„œ $H = \left\{ 1_G, h \right\}$라고 ν•  λ•Œ, $\Phi(h) = \phi_h \colon n\mapsto hnh^{-1}$λ₯Ό $\text{Aut}(N)$μœΌλ‘œλΆ€ν„° ν•˜λ‚˜ μ •ν•˜λ©΄, $\Phi$κ°€ νŠΉμ •λœλ‹€. 이 λ•Œ, $h$λŠ” μœ„μˆ˜ 2인 μ›μ†Œμ΄λ―€λ‘œ, $\phi_h$의 μœ„μˆ˜λŠ” 1μ΄κ±°λ‚˜ 2이닀. $N$은 μœ„μˆ˜ 15인 μˆœνšŒκ΅°μ΄λ―€λ‘œ, $\text{Aut}(N) \cong (\SetZ/15\SetZ)^\times$. μœ„μˆ˜ 1μ΄κ±°λ‚˜ 2인 $(\SetZ/15\SetZ)^\times$의 μ›μ†ŒλŠ” $\overline 1, \overline 4, \overline{11}, \overline{14}$이닀.

$$ \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c:c:c:c:c} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} \\ \hline \overline{0} & \overline{0} & \overline{6} & \overline{12} & \overline{3} & \overline{9} \\ \hdashline \overline{1} & \overline{10} & \mathbf{\overline{1}} & \overline{7} & \overline{13} & \mathbf{\overline{4}} \\ \hdashline \overline{2} & \overline{5} & \mathbf{\overline{11}} & \overline{2} & \overline{8} & \mathbf{\overline{14}} \end{array} $$

λ™ν˜•μ— 따라, $\phi_h$λŠ” λ‹€μŒ 쀑 ν•˜λ‚˜μ— ν•΄λ‹Ήν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€.

  1. $\phi_h(n) = n$.
  2. $\phi_h(n) = n^4$.
  3. $\phi_h(n) = n^{11}$.
  4. $\phi_h(n) = n^{14}$.

각각의 κ²½μš°μ— λŒ€μ‘ν•˜λŠ” λ™ν˜•λ₯˜λ₯Ό κ΅¬ν•˜λ©΄:

  1. $\phi_h(n) = n$인 경우: $\Phi$λŠ” 자λͺ…ν•œ μ€€λ™ν˜•, λ”°λΌμ„œ $G \cong N\rtimes H = N\times H \cong \SetZ/30\SetZ$.
  2. $\phi_h(n) = n^4$인 경우: $N = \SetZ/3\SetZ\times\SetZ/5\SetZ$둜 보자. 이 λ•Œ, $\SetZ/3\SetZ$κ³Ό $\SetZ/5\SetZ$λŠ” 각각 직곱에 μ˜ν•œ $N$의 μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μœΌλ‘œ 생각할 수 있고, 특히, $N$의 생성원을 $x$라고 ν•˜λ©΄, $\SetZ/3\SetZ$의 생성원은 $x^5$, $\SetZ/3\SetZ$의 생성원은 $x^3$이라고 λ³Ό 수 μžˆλ‹€. μ—¬κΈ°μ„œ, $\phi_h(x^5) = (x^5)^4 = x^5$이고, $\phi_h(x^3) = (x^3)^4 = (x^3)^{-1}$μ΄λ―€λ‘œ, λ‹€μŒκ³Ό 같은 λ™ν˜•μ΄ μ„±λ¦½ν•œλ‹€3.

$$ N\rtimes H = (\SetZ/3\SetZ\times\SetZ/5\SetZ)\rtimes H = \SetZ/3\SetZ \times (\SetZ/5\SetZ\rtimes H) \cong \SetZ/3\SetZ \times D_{10}. $$

  1. $\phi_h(n) = n^{11}$인 경우: 2와 λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, $\phi_h(x^5) = (x^5)^{11} = (x^5)^{-1}$, $\phi_h(x^3) = (x^3)^{11} = x^3$이 μ„±λ¦½ν•˜λ―€λ‘œ, λ‹€μŒκ³Ό 같은 λ™ν˜•μ΄ 성립.

$$ N\rtimes H = (\SetZ/3\SetZ\times\SetZ/5\SetZ)\rtimes H = \SetZ/5\SetZ \times (\SetZ/3\SetZ\rtimes H) \cong \SetZ/5\SetZ \times D_{6}. $$

  1. $\phi_h(n) = n^{14}$. λͺ¨λ“  $n\in N$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $n^{15} = 1_G$μ΄λ―€λ‘œ, $\phi_h(n) = n^{14} = n^{-1}$. λ”°λΌμ„œ, λ‹€μŒκ³Ό 같은 λ™ν˜•μ΄ 성립.

$$ N\rtimes H \cong D_{30}. $$

$\SetZ/30\SetZ, \SetZ/3\SetZ\times D_{10}, \SetZ/5\SetZ\times D_6, D_{30}$λŠ” μ„œλ‘œ λ™ν˜•μ΄μ§€ μ•Šμ€κ²ƒμ„ ν™•μΈν•˜λŠ” 것은 쉽닀.

  • 주어진 κ΅° μ€‘μ—μ„œ $\SetZ/30\SetZ$λŠ” μœ μΌν•œ abelianκ΅°μ΄λ―€λ‘œ, λ‚˜λ¨Έμ§€ μ…‹κ³Ό λ™ν˜•μ΄ μ•„λ‹ˆλ‹€.
  • $\SetZ/3\SetZ\times D_{10}$의 μ€‘μ‹¬μ—λŠ” μœ„μˆ˜ 3인 μ›μ†Œκ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ§€λ§Œ μœ„μˆ˜ 5인 μ›μ†ŒλŠ” μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€.
  • $\SetZ/5\SetZ\times D_6$의 μ€‘μ‹¬μ—λŠ” μœ„μˆ˜ 5인 μ›μ†Œκ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ§€λ§Œ μœ„μˆ˜ 3인 μ›μ†ŒλŠ” μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€.
  • $D_{10}$의 μ€‘μ‹¬μ—λŠ” μœ„μˆ˜ 3인 μ›μ†Œ, μœ„μˆ˜ 5인 μ›μ†Œ λͺ¨λ‘ μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€.

λ”°λΌμ„œ, μœ„μˆ˜ 30인 ꡰ은 $\SetZ/30\SetZ, \SetZ/3\SetZ\times D_{10},\SetZ/5\SetZ\times D_6, D_{30}$ μ€‘μ˜ μ–΄λŠ ν•˜λ‚˜μ™€ λ™ν˜•μ΄λ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • μœ„μˆ˜ 30인 κ΅°μ—λŠ” μœ„μˆ˜ 15인 뢀뢄ꡰ이 λ°˜λ“œμ‹œ μ‘΄μž¬ν•¨μ„ λ³΄μ˜€λ‹€.
  • μœ„μˆ˜ 30인 ꡰ은 $\SetZ/30\SetZ, \SetZ/3\SetZ\times D_{10}, \SetZ/5\SetZ\times D_6, D_{30}$ μ€‘μ˜ μ–΄λŠ ν•˜λ‚˜μ™€ λ™ν˜•μž„μ„ λ³΄μ˜€λ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 1 ηΎ€θ«–ε…₯ι–€γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.

  1. 3은 μ†Œμˆ˜μ΄λ―€λ‘œ, 3-Sylow λΆ€λΆ„κ΅°μ˜ λ‹¨μœ„μ›μ„ μ œμ™Έν•œ μ›μ†ŒλŠ” μœ„μˆ˜ 3μ΄λΌλŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ˜ν•œ, $S_3$, $S_3’$을 $S_3\neq S_3’$인 3-Sylow 뢀뢄ꡰ이라고 ν•  λ•Œ, $S_3 \cap S_3’\neq \left\{ 1_G \right\}$라고 κ°€μ •ν•˜λ©΄, $x\neq 1_G$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬ $S_3 = \langle x \rangle = S_3’$μ΄λ―€λ‘œ λͺ¨μˆœ. λ”°λΌμ„œ $S_3 \cap S_3’= \left\{ 1_G \right\}$ μ΄λ―€λ‘œ, μ΄λŸ¬ν•œ 결둠을 μ–»λŠ”λ‹€. 5-Sylow 뢀뢄ꡰ에 λŒ€ν•΄μ„œλ„ λ§ˆμ°¬κ°€μ§€.β†©οΈŽ

  2. μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°, μž‰μ—¬κ΅°μ˜ 문제 1.β†©οΈŽ

  3. $\SetZ/3\SetZ$κ³Ό $\SetZ/5\SetZ$κ°€ $N$의 μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ΄λ―€λ‘œ, $\phi_h$λ₯Ό 각각 μ œν•œν•˜μ—¬ μƒˆλ‘œμš΄ μ€€λ™ν˜• $\Phi_1\colon H\to\text{Aut}(\SetZ/3\SetZ)$, $\Phi_2\colon H\to\text{Aut}(\SetZ/5\SetZ)$λ₯Ό μœ λ„ν•  수 μžˆλ‹€. 이λ₯Ό μ΄μš©ν•œ μ •μ˜λœ 반직곱이라고 μƒκ°ν•˜λ©΄ 2번째 λ“±ν˜Έκ°€ μ„±λ¦½ν•˜κ³  μžˆμŒμ„ 반직곱의 μ •μ˜λ‘œλΆ€ν„° 확인할 수 μžˆλ‹€.β†©οΈŽ

μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°, μž‰μ—¬κ΅°

μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ˜ μ •μ˜

μ •μ˜ 1. $G$λ₯Ό κ΅°, $N$을 $G$의 뢀뢄ꡰ이라고 ν•˜μž. λ‹€μŒ 쑰건은 λͺ¨λ‘ λ™μΉ˜μ΄λ©°(μ—°μŠ΅λ¬Έμ œ), 이λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” λΆ€λΆ„κ΅° $N$을 $G$의 μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°normalΒ subgroup이라고 ν•œλ‹€. $N$이 $G$의 μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ΄λΌλŠ” 것을 $N \vartriangleleft G$와 같이 λ‚˜νƒ€λ‚Έλ‹€.

  1. μž„μ˜μ˜ $g\in G$, $n\in N$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $gng^{-1} \in N$.
  2. μž„μ˜μ˜ $g\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $gNg^{-1} \subset N$.
  3. μž„μ˜μ˜ $g\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $gNg^{-1} = N$.
  4. μž„μ˜μ˜ $g\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $gN = Ng$. 즉, μ™Όμͺ½ μž‰μ—¬λ₯˜μ™€ 였λ₯Έμͺ½ μž‰μ—¬λ₯˜κ°€ μΌμΉ˜ν•œλ‹€. β€”

예 1. $G$의 λΆ€λΆ„κ΅° $\{1_G\}$와 $G$λŠ” μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ΄λ‹€. β€”

예 2. $G$κ°€ abelian ꡰ이라면, $G$의 μž„μ˜μ˜ 뢀뢄ꡰ은 μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ΄λ‹€. β€”

문제 1. $G$의 μ§€μˆ˜ 2인 λΆ€λΆ„κ΅° $H$λŠ” μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μž„μ„ 보여라. (λ”°λΌμ„œ, $A_n \vartriangleleft\mathfrak S_n$이닀.) β€”

문제 2. μ€€λ™ν˜• $\phi:G\to H$κ°€ μ£Όμ–΄μ‘Œμ„ λ•Œ, $\text{Ker}(\phi) \vartriangleleft G$ μž„μ„ 보여라. (λ”°λΌμ„œ, $\text{SL}_n(\SetR) \vartriangleleft \text{GL}_n(\SetR)$이닀.) β€”

μž‰μ—¬κ΅°μ˜ μ •μ˜

λͺ…μ œ 1. κ΅° $G$와 κ·Έ μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅° $N$이 μ£Όμ–΄μ‘Œμ„ λ•Œ, $\phi: G/N \times G/N \ni (g_1N, g_2N) \mapsto g_1g_2N \in G/N$은 well-defined인 사상이닀. λ˜ν•œ, $\phi$λ₯Ό μ—°μ‚°μœΌλ‘œ ν•˜μ—¬, $G/N$은 ꡰ을 이룬닀. β€”

증λͺ…. $g_1N = g_1’N$, $g_2N = g_2’N$이라고 ν•˜μž. $g_1’= g_1n_1$, $g_2’= g_2n_2$라고 ν•˜λ©΄, $g_1’g_2’= g_1n_1g_2n_2 = g_1g_2g_2^{-1}n_1g_2n_2$, μ—¬κΈ°μ„œ, $N$은 μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ΄λ―€λ‘œ, $g_2^{-1}n_1g_2n_2 \in N$. λ”°λΌμ„œ, $g_1g_2N = g_1g_2g_2^{-1}n_1g_2n_2N = g_1’g_2’N$, $\phi$λŠ” well-defined인 사상이닀.

$\phi$λ₯Ό $G/N$ μƒμ˜ μ—°μ‚°μœΌλ‘œ 보면,

  1. μž„μ˜μ˜ $a,b,c\in G$에 μ˜ν•œ, $aN, bN, cN\in G/N$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $aN(bNcN) = aN(bcN) = (a(bc))N = ((ab)c)N = (abN) = cN = (aNbN)cN$.
  2. $N$은 $G/N$의 λ‹¨μœ„μ›μ΄λ‹€.
  3. μž„μ˜μ˜ $g\in G$에 μ˜ν•œ, $gN\in G/N$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $g^{-1}N$은 $gN$의 역원이닀.

이상에 μ˜ν•˜μ—¬ $G/N$은 ꡰ을 이룬닀. $\square$

μ •μ˜ 2. λͺ…μ œ 1의 κ΅° $G/N$을 $G$의 $N$에 μ˜ν•œ μž‰μ—¬κ΅°, ν˜Ήμ€ λͺ«κ΅°quotientΒ group이라고 ν•œλ‹€. β€”

μ •μ˜ 3. 사상 $\pi: G \ni g \mapsto gN \in G/N$이 전사인 μ€€λ™ν˜•μΈ 것은 λ°”λ‘œ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. 이λ₯Ό μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ μ€€λ™ν˜• ν˜Ήμ€ μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ 전사라고 ν•œλ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • κ΅° $G$와 κ·Έ λΆ€λΆ„κ΅° $N$에 λŒ€ν•˜μ—¬, μž„μ˜μ˜ $g\in G$, $n\in N$에 λŒ€ν•΄, $gng^{-1}\in N$ 일 λ•Œ, $N$은 $G$의 μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°, $N\vartriangleleft G$와 같이 λ‚˜νƒ€λ‚Έλ‹€κ³  μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • 특히 $N\vartriangleleft G$일 λ•Œ, κ·Έ μž‰μ—¬λ₯˜ $G/N$ μƒμ—μ„œ $g_1Ng_2N = g_1g_2N$κ³Ό 같이 연산을 μ •μ˜ν•˜μ—¬, $G/N$이 ꡰ을 μ΄λ£¨λŠ” 것을 보이고, 이λ₯Ό μž‰μ—¬κ΅°μœΌλ‘œ μ •μ˜ν–ˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 1 η’°γ¨δ½“γ¨γ‚¬γƒ­γ‚’η†θ«–γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.

$p$-κ΅°

$p$-ꡰ의 μ •μ˜

μ •μ˜ 1($p$-κ΅°). $G$λ₯Ό μœ ν•œκ΅°μ΄λΌκ³  ν•˜μž. $|G| = p^e$ ($p$λŠ” μ†Œμˆ˜, $e\in\SetZ_{>0}$) 일 λ•Œ, $G$λ₯Ό $p$-ꡰ이라고 ν•œλ‹€. β€”

$p$-ꡰ의 μ„±μ§ˆ

λͺ…μ œ 1. $G$λ₯Ό $p$-ꡰ이라고 ν•˜μž. 이 λ•Œ, $\left\{ 1_G \right\} \neq N \vartriangleleft G$ 라고 ν•  λ•Œ, $N\cap \text{Z}(G) \neq \left\{ 1_G \right\}$이닀. 특히, μž„μ˜μ˜ $p$-κ΅° $G$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\text{Z}(G) \neq \left\{ 1_G \right\}$ 이닀. β€”

증λͺ…. $\phi: G\times N \ni (g,n)\mapsto gng^{-1} \in N$κ³Ό 같은 μž‘μš©μ„ μƒκ°ν•œλ‹€. $|G| = p^e$라고 ν•˜λ©΄, Lagrange 정리에 μ˜ν•˜μ—¬ $|N| = p^a$ ($0<a\leq e$)와 같이 λ‚˜νƒ€λ‚΄μ–΄μ§„λ‹€. λ§Œμ•½, $N \cap \text{Z}(G) = \left\{ 1_G \right\}$라고 κ°€μ •ν•˜λ©΄, μž‘μš© $\phi$에 μ˜ν•œ κΆ€λ„μ˜ ν¬κΈ°λŠ” λͺ¨λ‘ $p^b$ ($0\leq b\leq a$)와 같이 λ‚˜νƒ€λ‚΄μ–΄μ§€λŠ” λ™μ‹œμ—, 크기 $1$의 κΆ€λ„λŠ” $\left\{ 1_G \right\}$κ°€ μœ μΌν•˜κ²Œ λœλ‹€. λ”°λΌμ„œ, 크기 $1$이 μ•„λ‹Œ λ‚˜λ¨Έμ§€ κΆ€λ„μ˜ 크기λ₯Ό 각각 $p^{b_1}, \ldots, p^{b_m}$ ($b_1,\ldots,b_m > 0$)라고 ν•˜λ©΄, $p^a =|N| = 1 +p^{b_1} + \cdots + p^{b_m}$이닀. ν•˜μ§€λ§Œ 양변을 $p$둜 λ‚˜λˆˆ λ‚˜λ¨Έμ§€κ°€ μΌμΉ˜ν•˜μ§€ μ•ŠμœΌλ―€λ‘œ μ΄λŠ” λͺ¨μˆœ. $\square$

정리 2. μž„μ˜μ˜ $p$-ꡰ은 λ©±μ˜κ΅°μ΄λ‹€. β€”

증λͺ…. $G$λ₯Ό $p$-ꡰ이라고 ν•˜μž. μ—¬κΈ°μ„œ, $N_0 = \left\{ 1_G \right\}$, $N_{i+1} = \left\{ x\in G\mid xN_i \in \text{Z}(G/N_i) \right\}$ 와 같이, μ§‘ν•©μ˜ μ—΄ $N_i$λ₯Ό μ •μ˜ν•˜λ©΄, μž„μ˜μ˜ $i\geq 0$에 λŒ€ν•˜μ—¬ λ‹€μŒμ„ λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” 것을 귀납법을 톡해 μ•Œ 수 μžˆλ‹€.

  1. $N_i$λŠ” $G$의 λΆ€λΆ„κ΅°, λ™μ‹œμ— $N_i \vartriangleleft G$. (μ—°μŠ΅λ¬Έμ œ)
  2. $N_{i+1}/N_i = \text{Z}(G/N_i)$. (μ •μ˜λ‘œλΆ€ν„° λΆ„λͺ…)

Lagrange 정리에 μ˜ν•˜μ—¬, $N_i\subsetneq G$λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” $i\geq 0$에 λŒ€ν•΄ $G/N_i$λŠ” $p$-ꡰ이닀. λ”°λΌμ„œ, λͺ…μ œ 1에 μ˜ν•˜μ—¬, $\left\{ N_i \right\}\neq\text{Z}(G/N_i) = N_{i+1}/N_i$, $N_i \subsetneq N_{i+1}$, $G$λŠ” μœ ν•œκ΅°μ΄λ―€λ‘œ, $N_n = G$인 $n\geq 0$이 μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬,

$$ \left\{ 1 \right\} = N_0 \subsetneq N_1 \subsetneq \cdots \subsetneq N_n = G $$

이닀. λ”°λΌμ„œ 멱영ꡰ의 μ •μ˜μ— μ˜ν•˜μ—¬ $G$λŠ” 멱영ꡰ. $\square$

λͺ…μ œ 3. $G$λ₯Ό μœ ν•œκ΅°μ΄λΌκ³  ν•˜μž. $|G| = p^2$ ($p$λŠ” μ†Œμˆ˜) 라고 ν•˜λ©΄, $G$λŠ” abelian이닀. β€”

증λͺ…. $G$κ°€ abelian이 μ•„λ‹ˆλΌκ³ , 즉, $\text{Z}(G) \subsetneq G$라고 κ°€μ •ν•˜μž. λͺ…μ œ 1에 μ˜ν•˜μ—¬ $1 < |\text{Z}(G)| < |G| = p^2$, Lagrange 정리에 μ˜ν•˜μ—¬ $|\text{Z}(G)| = p$ μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. $x\in G$에 λŒ€ν•΄, $x\notin\text{Z}(G)$라고 ν•˜λ©΄, $x\in \text{Z}_G(x)$μ΄λ―€λ‘œ, $\text{Z}(G) \subsetneq \text{Z}_G(x)$이닀. λ”°λΌμ„œ, $p = |\text{Z}(G)| < |\text{Z}_G(x)|$, $|\text{Z}_G(x)| = p^2 = |G|$이고, $G$λŠ” μœ ν•œκ΅°, $\text{Z}_G(x)$λŠ” $G$의 λΆ€λΆ„κ΅°μ΄λ―€λ‘œ, $\text{Z}_G(x) = G$이닀. μ΄λŠ” $x\in \text{Z}(G)$λ₯Ό μ˜λ―Έν•˜λ―€λ‘œ, λͺ¨μˆœ. $\square$

μ—°μŠ΅λ¬Έμ œ

문제 1. μœ„μˆ˜ 56인 ꡰ은 κ°€ν•΄κ΅°μž„μ„ 보여라. β€”

풀이. $56 = 2^3\cdot 7$이고, 7-Sylow 뢀뢄ꡰ은 1κ°œμ΄κ±°λ‚˜ 8κ°œμ΄λ‹€. λ§Œμ•½ 7-Sylow 뢀뢄ꡰ이 1개, 즉, $P_7 \vartriangleleft G$이라면, $P_7$κ³Ό $G/P_7$은 각각 7-κ΅°κ³Ό 2-κ΅°μ΄λ―€λ‘œ, β€œκ΅ν™˜μžκ΅°, κ°€ν•΄κ΅°β€μ˜ 정리 4에 μ˜ν•˜μ—¬ $G$λŠ” 가해ꡰ이닀.

7-Sylow 뢀뢄ꡰ이 8개 μ‘΄μž¬ν•˜λŠ” 경우, $P_7$와 $P_7’$이 μ„œλ‘œ λ‹€λ₯Έ 7-Sylow 뢀뢄ꡰ이라고 ν•  λ•Œ, $x\in P_7 \cap P_7’$인 λ™μ‹œμ— $x \neq 1$이라고 ν•˜λ©΄, $P_7 = \langle x \rangle = P_7’$μ΄λ―€λ‘œ, $P_7 \cap P_7’$은 자λͺ…ν•˜λ‹€λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ”°λΌμ„œ 각 8개의 7-Sylow λΆ€λΆ„κ΅°μœΌλ‘œλΆ€ν„° μœ„μˆ˜ 7인 μ›μ†Œκ°€ 6κ°œμ”©, 총 48개 μ‘΄μž¬ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ”°λΌμ„œ μœ„μˆ˜κ°€ 1, 2, 4, 8인 μ›μ†ŒλŠ” 아무리 λ§Žμ•„λ„ 8κ°œλΌλŠ” 것을 μ•Œ 수 있고, 이 경우, μœ„μˆ˜ 8인 2-Sylow 뢀뢄ꡰ은 단 ν•˜λ‚˜λ°–μ— μ‘΄μž¬ν•  수 μ—†μœΌλ―€λ‘œ $P_2 \vartriangleleft G$이닀. $P_7\vartriangleleft G$인 κ²½μš°μ™€ λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ $G$λŠ” 가해ꡰ이닀. β€”

문제 2. μœ„μˆ˜ 12인 ꡰ은 κ°€ν•΄κ΅°μž„μ„ 보여라. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • μœ ν•œκ΅° $G$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $|G| = p^e$ ($p$λŠ” μ†Œμˆ˜, $e\in\SetZ_{>0}$) 일 λ•Œ, $G$λŠ” $p$-ꡰ이라고 μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • $G$κ°€ $p$-ꡰ이라면, $\text{Z}(G)\neq \left\{ 1_G \right\}$μž„μ„ λ³΄μ˜€λ‹€. 이λ₯Ό μ΄μš©ν•˜μ—¬:
    • μž„μ˜μ˜ $p$-ꡰ은 λ©±μ˜κ΅°μž„μ„ λ³΄μ˜€λ‹€. λ”°λΌμ„œ, β€œ$p$-κ΅° $\subset$ 멱영ꡰ $\subset$ κ°€ν•΄κ΅° $\subset$ λΉ„λ‹¨μˆœκ΅°β€μ˜ ν•¨μ˜ 관계가 성립함을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€.
    • 특히, $|G| = p^2$인 경우, $G$λŠ” abelianμž„μ„ λ³΄μ˜€λ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 1 ηΎ€θ«–ε…₯ι–€γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.