멱영ꡰ

멱영ꡰ의 μ •μ˜

μ •μ˜ 1(멱영ꡰ). $G$λ₯Ό ꡰ이라고 ν•˜μž. ꡰ의 μ—΄ $G = G_0 \supset G_1 \supset\cdots \supset G_n = \left\{ 1_G \right\}$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬, λͺ¨λ“  $i=0,\ldots,n-1$에 λŒ€ν•˜μ—¬ λ‹€μŒ 쑰건을 λ§Œμ‘±ν•œλ‹€λ©΄, $G$λŠ” 멱영ꡰnilpotentΒ group이라고 ν•œλ‹€.

  1. $G_{i+1} \vartriangleleft G$.
  2. $G_i/G_{i+1} \subset \text{Z}(G/G_{i+1})$. β€”

μ£Ό.

  1. μž„μ˜μ˜ abelian ꡰ은 λ©±μ˜κ΅°μ΄λ‹€.
  2. μž„μ˜μ˜ 자λͺ…ν•˜μ§€ μ•Šμ€ 멱영ꡰ $G$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $G$의 쀑심 $\text{Z}(G)$λŠ” 자λͺ…ν•˜μ§€ μ•Šλ‹€. $G_i$κ°€ 자λͺ…ν•˜μ§€ μ•Šμ€ μ΅œλŒ€μ˜ $i$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $G_i\subset\text{Z}(G)$ 이기 λ•Œλ¬Έ. β€”

λͺ…μ œ 1. μž„μ˜μ˜ λ©±μ˜κ΅°μ€ 가해ꡰ이닀. β€”

증λͺ…. μ •μ˜ 1의 멱영ꡰ과 κ·Έ ꡰ의 열을 κ·ΈλŒ€λ‘œ μ‚¬μš©ν•œλ‹€. $G_{i+1}\vartriangleleft G$μ΄λ―€λ‘œ, $G_{i+1} \vartriangleleft G_i$이닀. λ˜ν•œ, $D(G_i) =[G_i, G_i] \subset [G_i, G] \subset G_{i+1}$κ°€ μ •μ˜ 1의 쑰건 2λ‘œλΆ€ν„° μ„±λ¦½ν•˜λ―€λ‘œ, $G_i/G_{i+1}$은 abelian1. λ”°λΌμ„œ $G$λŠ” κ°€ν•΄κ΅°2이닀. $\square$

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • λ©±μ˜κ΅°μ„ μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • λ©±μ˜κ΅°μ€ κ°€ν•΄κ΅°μž„μ„ λ³΄μ˜€λ‹€. λ”°λΌμ„œ, β€œabelian κ΅° $\subset$ 멱영ꡰ $\subset$ κ°€ν•΄κ΅° $\subset$ λΉ„λ‹¨μˆœκ΅°β€μ˜ ν•¨μ˜ 관계가 성립함을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 1 ηΎ€θ«–ε…₯ι–€γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.

  1. κ΅ν™˜μžκ΅°κ³Ό κ°€ν•΄κ΅°, λͺ…μ œ 2.β†©οΈŽ

  2. κ΅ν™˜μžκ΅°κ³Ό κ°€ν•΄κ΅°, 정리 4.β†©οΈŽ

κ΅ν™˜μžκ΅°, κ°€ν•΄κ΅°

κ΅ν™˜μžκ΅°μ˜ μ •μ˜

μ •μ˜ 1(κ΅ν™˜μžκ΅°). $G$λ₯Ό ꡰ이라고 ν•˜μž.

  1. $x,y\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $[x,y] \coloneqq xyx^{-1}y^{-1}\in G$λ₯Ό $x,y$의 κ΅ν™˜μžcommutator라고 ν•œλ‹€.
  2. $G$의 λΆ€λΆ„κ΅° $H, K\subset G$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\left\{ [x,y] \mid x\in H, y\in K \right\}$에 μ˜ν•΄ μƒμ„±λ˜λŠ” ꡰ을 $[H,K]$와 같이 μ“°κΈ°λ‘œ ν•œλ‹€.
  3. $D(G) \coloneqq [G,G]$λ₯Ό $G$의 κ΅ν™˜μžκ΅°commutatorΒ group이라고 ν•œλ‹€. β€”

μ£Ό. $G$λ₯Ό ꡰ이라고 ν•  λ•Œ:

  1. $x,y\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $[x,y] = 1_G$λŠ” $xy=yx$와 λ™μΉ˜.
  2. $G$κ°€ abelian인 것과 $D(G)$κ°€ 자λͺ…ν•œ 것은 λ™μΉ˜. β€”

문제 1.

  1. $D(\mathfrak S_n) = A_n$ μž„μ„ 보여라. (힌트: $A_n$은 길이 3인 μˆœνšŒμΉ˜ν™˜μ— μ˜ν•˜μ—¬ μƒμ„±λœλ‹€.)
  2. $n\geq 5$일 λ•Œ, $D(A_n) = A_n$ μž„μ„ 보여라. (힌트: $i,j,k,l,m$이 μ„œλ‘œ λ‹€λ₯Έ $X_n$의 μ›μ†ŒλΌκ³  ν•  λ•Œ, $[(ijl), (ikm)] = (ijk)$.) β€”

λΆ€λΆ„κ΅°μœΌλ‘œμ„œμ˜ κ΅ν™˜μžκ΅°

κ΅° $G$와 κ·Έ λΆ€λΆ„κ΅° $H, N$이 주어지고, 특히 $N$은 $G$의 μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ΄λΌκ³  ν•˜μž. 이 λ•Œ,

$$ D(HN/N) = \langle [xN,yN] | x,y\in H \rangle = \langle [x,y]N | x,y\in H \rangle = D(H)N/N $$

κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. 특히 $G = H$인 경우, $D(G/N) = D(G)N/N$이닀.

λͺ…μ œ 1. $G$λ₯Ό ꡰ이라고 ν•˜μž.

  1. $H$λ₯Ό $G$의 뢀뢄ꡰ이라고 ν•  λ•Œ, $D(H) \subset D(G)$.
  2. $D(G) \vartriangleleft G$. β€”

증λͺ…. 1은 μ •μ˜λ‘œλΆ€ν„° μ•Œ 수 μžˆλ‹€. 2 μ—­μ‹œ, μž„μ˜μ˜ $x,y,g\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $g[x,y]g^{-1} = [gxg^{-1}, gyg^{-1}]$, $gD(G)g^{-1} \subset D(G)$인 것을 확인할 수 μžˆμœΌλ―€λ‘œ, $D(G)$λŠ” $G$의 μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°. $\square$

λͺ…μ œ 2. $G$λ₯Ό κ΅°, $N$을 $G$의 μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ΄λΌκ³  ν•˜μž. λ‹€μŒμ€ λͺ¨λ‘ λ™μΉ˜μ΄λ‹€.

  1. $G/N$λŠ” abelian.
  2. $D(G)\subset N$.

λ”°λΌμ„œ, $G/D(G)$λŠ” abelian이닀. β€”

증λͺ….

  • $G/N$이 abelian.
  • $\iff$ $D(G/N)$ ($= D(G)N/N$)은 자λͺ….
  • $\iff$ $D(G) \subset N$. $\square$

μ£Ό. $G’$이 abelian, $f: G\to G’$이 μ€€λ™ν˜•μ΄λΌκ³  ν•˜μž. μ€€λ™ν˜•μ •λ¦¬μ— μ˜ν•˜μ—¬ $G/\text{Ker}(f) \cong \text{Im}(f) \subset G’$은 abelian, λ”°λΌμ„œ, $D(G)\subset \text{Ker}(f)$μž„μ„ 이 λͺ…μ œλ₯Ό ν†΅ν•˜μ—¬ μ•Œ 수 μžˆμœΌλ―€λ‘œ, μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ μ€€λ™ν˜• $\pi: G\to G/D(G)$κ°€ μ£Όμ–΄μ‘Œμ„ λ•Œ, μ€€λ™ν˜•μ˜ λΆ„ν•΄λ₯Ό 톡해 $g\circ \pi = f$λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” $g: G/D(G) \to G’$κ°€ 단 ν•˜λ‚˜ μ‘΄μž¬ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. β€”

κ°€ν•΄κ΅°μ˜ μ •μ˜

κ΅° $G$κ°€ μ£Όμ–΄μ‘Œμ„ λ•Œ, κ΅ν™˜μžκ΅°μ„ λ°˜λ³΅ν•˜μ—¬ μ–»μ–΄μ„œ ꡰ의 열을 λ§Œλ“€ 수 μžˆλ‹€. κ΅¬μ²΄μ μœΌλ‘œλŠ”, $D_0(G)\coloneqq G$, $D_{i+1}(G) = D(D_i(G))$으둜 $D_n(G)$을 μ •μ˜ν•  λ•Œ, $G=D_0(G)\supset D_1(G)\supset D_2(G) \supset \cdots$ 와 같은 κ°μ†Œμ—΄μ„ 얻을 수 μžˆλ‹€.

μ •μ˜ 2(κ°€ν•΄κ΅°). $G$λ₯Ό ꡰ이라고 ν•˜μž. $D_n(G) = \left\{ 1_G \right\}$인 $n\geq 0$κ°€ μ‘΄μž¬ν•  λ•Œ, $G$λŠ” κ°€ν•΄κ΅°solvableΒ group이라고 ν•œλ‹€. β€”

예 1. μž„μ˜μ˜ abelian ꡰ은 가해ꡰ이닀. β€”

보쑰정리 3. $G$λ₯Ό 가해ꡰ이라고 ν•˜μž.

  1. $H$λ₯Ό $G$의 뢀뢄ꡰ이라고 ν•˜λ©΄, $H$λŠ” 가해ꡰ이닀.
  2. $N\vartriangleleft G$라고 ν•˜λ©΄, $G/N$은 가해ꡰ이닀. β€”

증λͺ….

  1. 귀납법을 μ΄μš©ν•˜λ©΄, λͺ¨λ“  $i\geq 0$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $D_i(H) \subset D_i(G)$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ”°λΌμ„œ $H$λŠ” κ°€ν•΄κ΅°.
  2. μ—­μ‹œ 귀납법을 μ΄μš©ν•˜μ—¬ λͺ¨λ“  $i\geq 0$에 λŒ€ν•΄ $D_i(G/N) = D_i(G)N/N$이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 보일 수 μžˆλ‹€. ꡬ체적으둜 과정을 μ„€λͺ…ν•˜λ©΄,
    • $D_0(G/N) = G/N = D_0(G)N/N$.
    • $D_i(G/N) = D_{i}(G)N/N$이 μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, $D_{i+1}(G/N) = D(D_{i}(G/N)) = D(D_{i}(G)N/N) = D_{i+1}(G)N/N$. $\square$

정리 4. $G$λ₯Ό κ΅°, $N\vartriangleleft G$라고 ν•˜μž. λ‹€μŒμ€ λͺ¨λ‘ λ™μΉ˜μ΄λ‹€.

  1. $G$λŠ” 가해ꡰ이닀.
  2. $G/N$와 $N$이 λ™μ‹œμ— 가해ꡰ이닀.
  3. λ‹€μŒκ³Ό 같은 μ‚¬μŠ¬ $G = G_0 \vartriangleright G_1 \vartriangleright \cdots \vartriangleright G_n = \left\{ 1 \right\}$ 이 μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬, μž„μ˜μ˜ $i\geq 0$에 λŒ€ν•΄ $G_i/G_{i+1}$κ°€ abelian이닀. β€”

증λͺ….

  • 1이면 2. 보쑰정리 3μ—μ„œ 이미 증λͺ…ν–ˆλ‹€.
  • 2이면 1. $D_n(N) = \left\{ 1 \right\}$, 그리고 $D_m(G/N) = \left\{ 1 \right\}$라고 ν•˜μž. κ·Έλ ‡λ‹€λ©΄, $\left\{ 1 \right\} = D_m(G/N) = D_m(G)N/N$, $D_m(G) \subset N$이닀. λ”°λΌμ„œ, $D_{n+m}(G) \subset D_n(N) = \left\{ 1 \right\}$.
  • 1이면 3. $G_i \coloneqq D_i(G)$둜 두면, λͺ…μ œ 1κ³Ό λͺ…μ œ 2에 μ˜ν•˜μ—¬ $\left\{ G_i\right\}$ κ°€ 3의 μ‚¬μŠ¬λ‘œμ„œμ˜ 쑰건을 λ§Œμ‘±ν•¨μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€.
  • 3이면 1. $G_n$은 가해ꡰ이닀. λ˜ν•œ, μž„μ˜μ˜ $i\geq 0$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $G_{i+1}$이 가해ꡰ이라면, $G_{i}/G_{i+1}$은 abelianμ΄λ―€λ‘œ κ°€ν•΄κ΅°, λ”°λΌμ„œ $G_i$ μ—­μ‹œ 가해ꡰ이닀. 귀납법에 따라 $G_0 = G$λŠ” κ°€ν•΄κ΅°. $\square$

μ •μ˜ 3(λ‹¨μˆœκ΅°). κ΅° $G$κ°€ abelian이 μ•„λ‹Œ λ™μ‹œμ—, $G$의 자λͺ…ν•˜μ§€ μ•Šμ€ – 즉, $\left\{ 1_G \right\}$, $G$ μ΄μ™Έμ˜ – μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ„ 가지지 μ•ŠλŠ”λ‹€λ©΄, $G$λŠ” λ‹¨μˆœκ΅°simpleΒ group이라고 ν•œλ‹€. β€”

μ •μ˜λ‘œλΆ€ν„° λ‹¨μˆœκ΅°μ€ 가해ꡰ이 μ•„λ‹˜μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€.

문제 2.

  • $\mathfrak S_4$와 $A_4$κ°€ κ°€ν•΄κ΅°μž„μ„ 보여라. (힌트: $A_4 \vartriangleright$ Klein 4원ꡰ $\vartriangleright$ 자λͺ…κ΅°.)
  • $n\geq 5$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\mathfrak S_n$κ³Ό $A_n$이 가해ꡰ이 μ•„λ‹˜μ„ 보여라. β€”

사싀, $n\geq 5$라면 $A_n$은 λ‹¨μˆœκ΅°μ΄λ‹€.

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • κ΅° $G$와 $x,y\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $[x,y] \coloneqq xyx^{-1}y^{-1}$을 $x,y$의 κ΅ν™˜μžλ‘œ, $x,y\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $[x,y]$의 ν˜•νƒœλ‘œ λ‚˜νƒ€λ‚΄μ–΄μ§€λŠ” μ›μ†Œλ“€λ‘œλΆ€ν„° μƒμ„±λ˜λŠ” λΆ€λΆ„κ΅° $D(G)$λ₯Ό κ΅ν™˜μžκ΅°μœΌλ‘œ μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • κ΅° $G$의 κ΅ν™˜μžκ΅° $D(G)$λŠ” μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ΄κ³ , μž„μ˜μ˜ $N\vartriangleleft G$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $G/N$이 abelian일 ν•„μš”μΆ©λΆ„μ‘°κ±΄μ΄ $D(G) \subset N$μž„μ„ λ³΄μ˜€λ‹€.
    • 이λ₯Ό μ΄μš©ν•˜μ—¬, $G’$이 abelian이고, $f\colon G\to G’$κ°€ μ€€λ™ν˜•, $\pi\colon G \to D(G)$κ°€ μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ μ€€λ™ν˜•μΌ λ•Œ, μ€€λ™ν˜•μ˜ λΆ„ν•΄λ₯Ό 톡해 $g\circ\pi = f$λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” μœ μΌν•œ μ€€λ™ν˜• $g\colon G/D(G) \to G’$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜λŠ” 것을 λ³΄μ˜€λ‹€.
  • κ΅ν™˜μžκ΅°μ„ μ΄μš©ν•˜μ—¬ 가해ꡰ을 μ •μ˜ν–ˆλ‹€. λ˜ν•œ 이 μ •μ˜κ°€ (정리 4λ₯Ό ν†΅ν•˜μ—¬) μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ˜ μ‚¬μŠ¬μ„ μ΄μš©ν•œ κ°€ν•΄κ΅°μ˜ μ •μ˜μ™€ 동등함을 λ³΄μ˜€λ‹€.
  • abelian이 μ•„λ‹Œ λ™μ‹œμ— 자λͺ…ν•˜μ§€ μ•Šμ€ μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ„ 갖지 μ•ŠλŠ” ꡰ으둜 λ‹¨μˆœκ΅°μ„ μ •μ˜ν–ˆλ‹€. μ •μ˜μ— 따라 λ‹¨μˆœκ΅°μ€ 가해ꡰ이 μ•„λ‹ˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 1 ηΎ€θ«–ε…₯ι–€γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.