μ€‘κ΅­μΈμ˜ λ‚˜λ¨Έμ§€ 정리

μ€‘κ΅­μΈμ˜ λ‚˜λ¨Έμ§€ 정리

정리 1(μ€‘κ΅­μΈμ˜ λ‚˜λ¨Έμ§€ 정리ChineseΒ RemainderΒ Theorem,Β CRT1). $A$λ₯Ό λΉ„μžλͺ…ν•œ κ°€ν™˜ν™˜, $I_1,\ldots,I_n\subsetneq A$λ₯Ό $A$의 아이디얼이라고 ν•˜μž. $I_1,\ldots,I_n$ 쀑 μ–΄λŠ 두 개λ₯Ό 선택해도 μ„œλ‘œμ†Œ2라면, λ‹€μŒμ΄ μ„±λ¦½ν•œλ‹€.

  1. $i=1,\ldots,n$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $I_i$와 $\prod_{j\neq i}I_j$λŠ” μ„œλ‘œμ†Œ.
  2. $I_1\cap\cdots\cap I_n = I_1\cdots I_n$.
  3. $A/(I_1\cap\cdots\cap I_n) \cong A/I_1\times\cdots\times A/I_n$. β€”

증λͺ….

1의 증λͺ…. $i=1$이라고 해도 μΌλ°˜μ„±μ„ μžƒμ§€ μ•ŠμœΌλ―€λ‘œ, $I_1 + I_2\cdots I_n = A$μž„μ„ 보이자. 각 $j=2,\ldots,n$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $x_j + y_j = 1$인 $x_j\in I_1$, $y_j\in I_j$을 μ·¨ν•  수 μžˆλ‹€. μ—¬κΈ°μ„œ $(x_2+y_2)\cdots(x_n+y_n) = 1$이고, μ’Œλ³€μ„ μ „κ°œν–ˆμ„ λ•Œ, $y_2\cdots y_n\in I_2\cdots I_n$을 μ œμ™Έν•œ 항은 λͺ¨λ‘ $I_1$의 μ›μ†Œμ΄λ―€λ‘œ, $I_1 + I_2\cdots I_n = A$인 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€.

2의 증λͺ…. $n$에 κ΄€ν•œ κ·€λ‚©λ²•μœΌλ‘œ 보이자.

  • $n = 2$인 경우: $I_1I_2\subset I_1\cap I_2$이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 λ‹Ήμ—°. $x+y=1$이 λ˜λ„λ‘ $x\in I_1$, $y\in I_2$λ₯Ό μ·¨ν•˜λ©΄, $a\in I_1\cap I_2$라고 ν•  λ•Œ, $a=ax+ay\in I_1I_2$. λ”°λΌμ„œ $I_1\cap I_2\subset I_1I_2$.
  • $I_1\cap\cdots\cap I_{n-1} = I_1\cdots I_{n-1}$($= J$)κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€κ³  ν•˜λ©΄, 1μ—μ„œ λ³΄μΈλŒ€λ‘œ $J + I_n = A$. λ”°λΌμ„œ, $n=2$인 κ²½μš°μ—μ„œ λ³΄μΈλŒ€λ‘œ, $I_1\cap\cdots\cap I_{n} = J \cap I_n = JI_n = I_1\cdots I_n$.

3의 증λͺ…. ν™˜μ˜ μ€€λ™ν˜•μ •λ¦¬λ₯Ό μ΄μš©ν•œλ‹€.

  • $n=2$인 경우λ₯Ό λ¨Όμ € 보이자. $\phi\colon A\ni a\mapsto (a+I_1, a+I_2)\in A/I_1\times A/I_2$와 같은 μ€€λ™ν˜•μ„ 생각할 λ•Œ, $\text{Ker}(\phi) = I_1\cap I_2$인 것은 ν™˜μ˜ 직곱의 μ •μ˜λ‘œλΆ€ν„° λ‹Ήμ—°ν•˜λ‹€. λ˜ν•œ, $I_1+I_2=A$μ΄λ―€λ‘œ, $x+y=1$인 $x\in I_1$, $y\in I_2$ λ₯Ό μ·¨ν•˜λ©΄, μž„μ˜μ˜ $a,b\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\phi(ay+bx)=(a+I_1,b+I_2)$ μ΄λ―€λ‘œ $\phi$λŠ” 전사이닀3. λ”°λΌμ„œ ν™˜μ˜ μ€€λ™ν˜•μ •λ¦¬μ— μ˜ν•˜μ—¬, $A/(I_1\cap I_2) \cong A/I_1 \times A/I_2$이닀.
  • $n>2$인 경우 μ—­μ‹œ, $J = I_1\cdots I_{n-1}$으둜 두면, 2μ—μ„œ λ³΄μΈλŒ€λ‘œ $J=I_1\cap\cdots\cap I_{n-1}$ 이고, 1μ—μ„œ λ³΄μΈλŒ€λ‘œ $J+I_n=A$μ΄λ―€λ‘œ, $n=2$일 λ•Œμ™€ λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ $A/(I_1\cap\cdots\cap I_n) = A/(J\cap I_n) \cong A/J\times A/I_n$. 이와 같은 μž‘μ—…μ„ λ°˜λ³΅ν•˜λ©΄ $A/J= A/I_1\times\cdots\times A/I_n$μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆμœΌλ―€λ‘œ, λ™ν˜•μ΄ 보여진닀. $\square$

보쑰정리 2. $I, J$κ°€ λΉ„μžλͺ…ν•œ κ°€ν™˜ν™˜ $A$의 μ„œλ‘œμ†ŒμΈ 아이디얼이고, $a,b\in\SetZ_{>0}$라면, $I^a$와 $J^b$ μ—­μ‹œ μ„œλ‘œμ†Œμ΄λ‹€. β€”

증λͺ…. $x+y = 1$이도둝 $x\in I$, $y\in J$λ₯Ό μ·¨ν•˜λ©΄, $1 = (x+y)^{a+b} \in I^a+J^b$μž„μ„ μ΄ν•­μ •λ¦¬λ‘œλΆ€ν„° 확인할 수 μžˆλ‹€. $\square$

예 1. $300 = 2^2\cdot3\cdot5^2$이고, $2,3,5$λŠ” (μ–΄λŠ 두 개λ₯Ό 택해도) μ„œλ‘œμ†Œμ΄λ―€λ‘œ, 정리 1κ³Ό 보쑰정리 2에 μ˜ν•˜μ—¬ $\SetZ/300\SetZ \cong \SetZ/4\SetZ\times\SetZ/3\SetZ\times\SetZ/25\SetZ$. β€”

예 2. 예 1κ³Ό λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, $\SetC[x]/(x(x-1)^2(x+2)^3)\cong\SetC[x]/(x)\times\SetC[x]/((x-1)^2)\times\SetC[x]/((x+2)^3)$. β€”

μ—°μŠ΅λ¬Έμ œ

문제 1. $x\equiv 1\mod 2$, $x\equiv 2\mod 5$, $x\equiv 8\mod 13$을 λͺ¨λ‘ λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” μ •μˆ˜λ₯Ό λͺ¨λ‘ κ΅¬ν•˜μ—¬λΌ. β€”

풀이.

  • Euclidean ν˜Έμ œλ²•μ„ μ΄μš©ν•˜λ©΄, $-4\in 2\SetZ$, $5\in 5\SetZ$, $-4+5=1$와 같이 $x\in 2\SetZ$, $y\in 5\SetZ$, $x+y=1$λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” 쌍 $(x,y)$λ₯Ό 찾을 수 μžˆλ‹€. CRT에 μ˜ν•˜μ—¬ $\SetZ/10\SetZ \cong \SetZ/2\SetZ\times\SetZ/5\SetZ$이고, 이 λ™ν˜•μ‚¬μƒμ„ $\phi$라고 ν•˜λ©΄, $\phi(7+10\SetZ)=\phi(1\cdot 5+2\cdot(-4) + 10\SetZ)=(1+2\SetZ, 2+5\SetZ)$ 인 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ”°λΌμ„œ $x\equiv 1\mod 2$, $x\equiv 2\mod 5$일 ν•„μš”μΆ©λΆ„μ‘°κ±΄μ€ $x\equiv 7\mod 10$.
  • 같은 λ°©λ²•μœΌλ‘œ $x\equiv 7\mod 10$인 λ™μ‹œμ— $x\equiv 8\mod 13$을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” μ •μˆ˜ $x$λ₯Ό κ΅¬ν•˜λ©΄ λœλ‹€. $40\in 10\SetZ$, $-39\in 13\SetZ$, $40+(-39)=1$이고, $\SetZ/130\SetZ \cong \SetZ/10\SetZ\times\SetZ/13\SetZ$μ΄λ―€λ‘œ, 이 λ™ν˜•μ‚¬μƒμ„ $\psi$라고 ν•˜λ©΄, $\psi(47+130\SetZ)=\psi(7\cdot(-39)+8\cdot40+130\SetZ)=(7+10\SetZ,8+13\SetZ)$ 이닀. λ”°λΌμ„œ $x\equiv 47\mod 130$인 μ •μˆ˜ $x$κ°€ 문제의 λͺ¨λ“  쑰건을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” μ •μˆ˜μ˜ 전뢀이닀. β€”

문제 2. $I_1=(x^2+1,3)$, $I_2=(x+1)$을 $\SetZ[x]$의 아이디얼이라고 ν•˜μž. $f\equiv x\mod I_1$, $f\equiv 1\mod I_2$인 $f(x)\in\SetZ[x]$λ₯Ό ν•˜λ‚˜ 찾아라. β€”

풀이. $2-x^2\in I_1$, $x^2-1\in I_2$이고, $(2-x^2)+(x^2-1)=1$이닀. 풀이 1κ³Ό 같은 λ…Όλ¦¬λ‘œ, $f(x)=x(x^2-1)+1(2-x^2)=x^3-x^2-x+2$λŠ” 문제의 쑰건을 λ§Œμ‘±ν•˜λ©°, 직접 확인할 μˆ˜λ„ μžˆλ‹€. β€”

문제 3. $\SetZ[\sqrt{-5}]/(3) \cong \SetZ/3\SetZ\times\SetZ/3\SetZ$을 보여라. β€”

풀이. $\SetZ[x]$의 아이디얼 $(x-1,3)$κ³Ό $(x-2,3)$은 μ„œλ‘œμ†Œμ΄λ‹€. λ™μ‹œμ— $(x-1,3)(x-2,3)=(x^2+5,3)$이 μ„±λ¦½ν•˜λ―€λ‘œ, CRT에 μ˜ν•˜μ—¬,

$$ \begin{aligned} \SetZ[\sqrt{-5}]/(3)&\cong\SetZ[x]/(x^2+5,3) \\ &\cong\SetZ[x]/(x-1,3)\times\SetZ[x]/(x-2,3) \\ &\cong\SetZ/3\SetZ\times\SetZ/3\SetZ \end{aligned} $$

이 μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • ν™˜μ—μ„œμ˜ μ€‘κ΅­μΈμ˜ λ‚˜λ¨Έμ§€ 정리λ₯Ό 증λͺ…ν–ˆλ‹€.
  • ν™˜μ—μ„œμ˜ μ€‘κ΅­μΈμ˜ λ‚˜λ¨Έμ§€ 정리λ₯Ό μ΄μš©ν•œ λ™ν˜•μ˜ μ˜ˆμ‹œλ₯Ό μ œμ‹œν–ˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, β€œIntroduction to Commutative Algebra”, Addison-Wesley, 1969.
  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 1 ηΎ€θ«–ε…₯ι–€γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.
  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 2 η’°γ¨δ½“γ¨γ‚¬γƒ­γ‚’η†θ«–γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.

  1. Sun-tzu(孫子, μ†μž) 정리라고도 ν•œλ‹€. κ΄€λ ¨ κΈ€.β†©οΈŽ

  2. ν™˜ $A$의 두 아이디얼 $I,J$κ°€ μ•„μ΄λ””μ–Όλ‘œμ„œ μ„œλ‘œμ†ŒλΌλŠ” 것은, $I+J=A$μž„μ„ μ˜λ―Έν•œλ‹€.β†©οΈŽ

  3. μ‹€μ œλ‘œ, $I_1$κ³Ό $I_2$κ°€ μ„œλ‘œμ†Œμ΄μ§€ μ•Šλ‹€λ©΄, 전사이지 μ•Šλ‹€. $\phi$κ°€ 전사라고 ν•œλ‹€λ©΄, $\phi(a)=(I_1,1+I_2)$인 $a\in A$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€. $a\in I_1$, $1-a\in I_2$μ΄λ―€λ‘œ, $1=a+(1-a)\in I_1+I_2$, $I_1$κ³Ό $I_2$λŠ” μ„œλ‘œμ†Œμ΄λ‹€.β†©οΈŽ

ꡰ의 제3λ™ν˜•μ •λ¦¬, μ€€λ™ν˜•μ˜ λΆ„ν•΄

ꡰ의 제3λ™ν˜•μ •λ¦¬

정리 1(ꡰ의 제3λ™ν˜•μ •λ¦¬). κ΅° $G$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $H\vartriangleleft G$, $N\vartriangleleft G$, $H\supset N$이라면, $\left( G/N \right)/ \left( H/N \right) \cong G/H$이닀. β€”

증λͺ….

  • 사상 $\phi: G/N \ni gN \mapsto gH \in G/H$ κ°€ well-defined인 μ‚¬μƒμž„μ„ 보이도둝 ν•˜μž. $g,g’\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $gN = g’N$일 λ•Œ $\phi(gN) = \phi(g’N)$이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ”μ§€λ₯Ό ν™•μΈν•˜λ©΄ λœλ‹€. $gN=g’N$이라면, $g^{-1}g’\in N\subset H$μ΄λ―€λ‘œ, $\phi(gN) = gH = g’H = \phi(g’N)$이 성립, $\phi$λŠ” well-defined이닀.
  • λ‹€μŒμœΌλ‘œ, $\phi$κ°€ μ€€λ™ν˜•μ΄λΌλŠ” 것을 보이자. $g_1, g_2\in G$, $g_1N, g_2N\in G/N$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\phi((g_1N)(g_2N)) = \phi(g_1g_2N) = g_1g_2H = (g_1H)(g_2H) = \phi(g_1N)\phi(g_2N)$ μ΄λ―€λ‘œ $\phi$λŠ” μ€€λ™ν˜•μ΄λ‹€.
  • μž„μ˜μ˜ $gH \in G/H$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $gN\in G/N$이 μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬ $\phi(gN) = gH = X$μ΄λΌλŠ” 것은 μ‰½κ²Œ μ•Œ 수 μžˆμœΌλ―€λ‘œ, $\text{Im}(\phi) = G/H$.
  • λ˜ν•œ, $hN\in H/N$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\phi(hN) = hH = H$μ΄λ―€λ‘œ, $H/N \subset \text{Ker}(\phi)$. μ—­μœΌλ‘œ $g\in G$, $gN\in \text{Ker}(\phi)$라고 ν•˜λ©΄ $gH = \phi(gN) = H$μ΄λ―€λ‘œ $g\in H$, $gN\in H/N$, λ”°λΌμ„œ $\text{Ker}(\phi) = H/N$이닀. 이상과 μ€€λ™ν˜•μ •λ¦¬μ— 따라, $(G/N)/(H/N) = (G/N)/ \text{Ker}(\phi) \cong \text{Im}(\phi) = G/H$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. $\square$

예 1. 제3λ™ν˜•μ •λ¦¬μ— μ˜ν•˜μ—¬, $(\SetZ/12\SetZ)/(3\SetZ/12\SetZ)\cong \SetZ/3\SetZ$ μž„μ„ μ‰½κ²Œ 확인할 수 μžˆλ‹€. β€”

μ€€λ™ν˜•μ˜ λΆ„ν•΄

λͺ…μ œ 2. $\phi: G\to H$λ₯Ό ꡰ의 μ€€λ™ν˜•, $N\vartriangleleft G$이고 $\pi_N: G\to G/N$을 μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ μ€€λ™ν˜•μ΄λΌκ³  ν•  λ•Œ, λ‹€μŒ 두 쑰건은 λ™μΉ˜μ΄λ‹€.

  1. $N\subset \text{Ker}(\phi)$.
  2. $\phi = \psi_N\circ\pi_N$λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” μ€€λ™ν˜• $\psi_N: G/N\to H$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€. β€”

증λͺ….

  • 1이면 2. 제3λ™ν˜•μ •λ¦¬μ—μ„œ μ‚¬μš©ν•œ μ€€λ™ν˜•μ‚¬μƒκ³Ό 같은 μ€€λ™ν˜• $f: G/N\to G/\text{Ker}(\phi)$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ˜ν•œ μ€€λ™ν˜•μ •λ¦¬μ— μ˜ν•˜μ—¬ μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ μ€€λ™ν˜• $\pi: G\to G/\text{Ker}(\phi)$이 μ£Όμ–΄μ‘Œμ„ λ•Œ, $\phi = \psi\circ\pi$λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” (단사인) μ€€λ™ν˜• $\psi: G/\text{Ker}(\phi)\to H$이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€. μ—¬κΈ°μ„œ $\pi = f\circ\pi_N$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 μ •μ˜λ‘œλΆ€ν„° μ•Œ 수 있고, $\phi = \psi\circ\pi = \psi\circ f\circ\pi_N$ κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λ―€λ‘œ $\psi_N = \psi\circ f$둜 두면 λœλ‹€.
  • 2이면 1. $\phi = \psi_N\circ\pi_N$λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” μ€€λ™ν˜• $\psi_N$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€κ³  κ°€μ •ν•˜λ©΄, $N = \text{Ker}(\pi_N) \subset \text{Ker}(\phi)$. $\square$

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • κ΅° $G$와 $H, N \vartriangleleft G$, $H\supset N$을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” λΆ€λΆ„κ΅° $H, N$이 μ£Όμ–΄μ§ˆ λ•Œ, μ€€λ™ν˜• 사상 $\phi: G/N \ni gN\mapsto gH \in G/H$에 μ€€λ™ν˜•μ •λ¦¬λ₯Ό μ μš©ν•˜μ—¬ 제3λ™ν˜•μ •λ¦¬, 즉 $(G/N)/(H/N) \cong G/H$κ°€ 성립함을 λ³΄μ˜€λ‹€.
  • 제3λ™ν˜•μ •λ¦¬μ˜ 증λͺ…μ—μ„œ μ‚¬μš©ν•œ 것과 같은 사상을 μ΄μš©ν•˜μ—¬, μ€€λ™ν˜• $\phi: G\to H$와 $G$의 μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅° $N$, 그리고 μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ μ€€λ™ν˜• $\pi_N: G\to G/N$이 μ£Όμ–΄μ§ˆ λ•Œ, $\phi = \psi_N\circ\pi_N$을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” μ€€λ™ν˜• $\psi_N$이 μ‘΄μž¬ν•  ν•„μš”μΆ©λΆ„μ‘°κ±΄μ΄ $N\subset \text{Ker}(\phi)$μž„μ„ λ³΄μ˜€λ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 1 ηΎ€θ«–ε…₯ι–€γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.

ꡰ의 제2λ™ν˜•μ •λ¦¬

ꡰ의 제2λ™ν˜•μ •λ¦¬

정리 1(ꡰ의 제2λ™ν˜•μ •λ¦¬). $H, N$을 κ΅° $G$의 λΆ€λΆ„κ΅°, 특히 $N \vartriangleleft G$라고 ν•˜μž. 이 λ•Œ, λ‹€μŒ 사싀이 μ„±λ¦½ν•œλ‹€.

  1. $HN = NH$이닀.
  2. $HN$은 $G$의 뢀뢄ꡰ이닀.
  3. $H\cap N \vartriangleleft H$, $N\vartriangleleft HN$.
  4. $H/H\cap N\cong HN/N$. β€”

증λͺ….

  1. μž„μ˜μ˜ $h\in H$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $hN=Nh$μ΄λ―€λ‘œ $HN=NH$.
  2. $HN$이 λΆ€λΆ„κ΅°μ˜ 쑰건을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ”μ§€ ν™•μΈν•œλ‹€.
    1. $1_G = 1_G1_G \in HN$.
    2. $h_1, h_2\in H$, $n_1, n_2\in N$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $N$이 μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ΄λ―€λ‘œ $h_1n_1h_2n_2 \in h_1Nh_2N = h_1h_2NN\subset HN$.
    3. $h\in H$, $n\in N$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $(hn)^{-1}= n^{-1}h^{-1}\in NH = HN$.
  3. $H\cap N$이 $H$의 λΆ€λΆ„κ΅°, $N$이 $HN$의 λΆ€λΆ„κ΅°μ΄λΌλŠ” 것은 μ•ŒκΈ° 쉽닀. 이듀이 μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μž„μ„ 보이자.
    • $N\vartriangleleft H$인 λ™μ‹œμ—, μž„μ˜μ˜ $h, n\in H$에 λŒ€ν•΄ $hnh^{-1}\in H$μ΄λ―€λ‘œ, $h\in H$, $n\in H\cap N$이면 $hnh^{-1}\in H\cap N$. λ”°λΌμ„œ $H\cap N \vartriangleleft H$.
    • 2μ—μ„œ λ³΄μΈλŒ€λ‘œ, $HN$은 $N$을 ν¬ν•¨ν•˜λŠ” $G$의 λΆ€λΆ„κ΅°μ΄λ―€λ‘œ $N \vartriangleleft HN$.
  4. 3의 결과에 μ˜ν•˜μ—¬ $H/H\cap N$κ³Ό $HN/N$은 μž‰μ—¬κ΅°. 이 λ•Œ, $i: H\ni h\mapsto h\in HN$, $\pi: HN\ni hn\mapsto hnN = hN \in HN/N$을 μ΄μš©ν•˜μ—¬, 사상 $\phi = \pi\circ i$을 κ΅¬μΆ•ν•˜λ©΄, $i$와 $\pi$ λͺ¨λ‘ μ€€λ™ν˜•μ‚¬μƒμ΄λ―€λ‘œ, $\phi: H\to HN/N$μ—­μ‹œ μ€€λ™ν˜•μ‚¬μƒμ΄λ‹€.
    • μž„μ˜μ˜ $hnN = hN\in HN/N$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $h\in H$, $\phi(h) = hnN$μ΄λ―€λ‘œ, $\phi$λŠ” 전사이닀. λ”°λΌμ„œ $\text{Im}(\phi) = HN/N$.
    • $x\in H\cap N$이면 $\phi(x) = xN = N$, λ”°λΌμ„œ $x\in \text{Ker}(\phi)$μ΄λ―€λ‘œ $H\cap N \subset \text{Ker}(\phi)$. μ—­μœΌλ‘œ $x\in \text{Ker}(\phi) \subset H$라고 ν•˜λ©΄, $xN = \phi(x) = N$. λ”°λΌμ„œ $x\in H\cap N$, $\text{Ker}(\phi)= H\cap N$이닀. μ€€λ™ν˜•μ •λ¦¬μ— μ˜ν•˜μ—¬, $H/H\cap N = H/\text{Ker}(\phi) \cong \text{Im}(\phi) = HN/N$. $\square$

μ£Ό. 2κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 $\pi: G\to G/N$을 μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ μ€€λ™ν˜•μ΄λΌκ³  ν•  λ•Œ, $NH= \pi^{-1}(\pi(H))$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” κ²ƒμœΌλ‘œλΆ€ν„°λ„ 보일 수 μžˆλ‹€. (μ€€λ™ν˜•μ˜ μ˜ν•œ λΆ€λΆ„κ΅°μ˜ 상과 역상은 각 μ§‘ν•©μ˜ λΆ€λΆ„κ΅°μ΄λ―€λ‘œ. 이λ₯Ό ν™•μΈν•˜λŠ” 것은 μ—°μŠ΅λ¬Έμ œ) β€”

예 1. $G = \SetZ$, $H = m\SetZ$, $N = n\SetZ$둜 λ‘μž. μš°μ„  $H$와 $N$ λͺ¨λ‘ κ°€ν™˜κ΅°μ˜ λΆ€λΆ„κ΅°μ΄λ―€λ‘œ μ •κ·œλΆ€λΆ„κ΅°μ΄λ‹€. λ”°λΌμ„œ 제2λ™ν˜•μ •λ¦¬λ₯Ό μ΄μš©ν•˜λ©΄ $G = \gcd(m,n)$, $L = \text{lcm}(m,n)$으둜 ν•˜μ—¬ $m\SetZ/L\SetZ = H/H\cap N \cong HN / N = G\SetZ/n\SetZ$이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • κ΅° $G$와 λΆ€λΆ„κ΅° $H, N$이 주어지고, $N\vartriangleleft G$일 λ•Œ, μ€€λ™ν˜• 사상 $\phi: H\ni h\mapsto hN \in HN/N$에 μ€€λ™ν˜•μ •λ¦¬λ₯Ό μ μš©ν•˜μ—¬ 제2λ™ν˜•μ •λ¦¬, 즉, $H/H\cap N\cong HN/N$μž„μ„ λ³΄μ˜€λ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 1 ηΎ€θ«–ε…₯ι–€γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.

ꡰ의 μ€€λ™ν˜•μ •λ¦¬

ꡰ의 μ€€λ™ν˜•μ •λ¦¬

정리 1(ꡰ의 μ€€λ™ν˜•μ •λ¦¬). $\phi: G\to H$λ₯Ό ꡰ의 μ€€λ™ν˜•μ΄λΌκ³  ν•˜μž. $\pi: G\to G/\text{Ker}(\phi)$λ₯Ό μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ μ€€λ™ν˜•μ΄λΌκ³  ν•  λ•Œ, $\phi = \psi\circ\pi$λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” μ€€λ™ν˜• $\psi: G/\text{Ker}(\phi) \to H$κ°€ μœ μΌν•˜κ²Œ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€. λ˜ν•œ, $\psi$에 μ˜ν•˜μ—¬ $G/\text{Ker}(\phi)\cong \text{Im}(\phi)$이닀. β€”

증λͺ…. $N = \text{Ker}(\phi)$둜 λ‘μž. $\psi(gN) = \phi(g)$와 같이 $\psi$λ₯Ό μ •μ˜ν•  λ•Œ, $\psi$κ°€ well-defined인 μ‚¬μƒμž„μ„ λ¨Όμ € 보이자. λ°”κΎΈμ–΄ λ§ν•˜λ©΄, $gN = g’N$ 인 경우, $\psi(gN) = \psi(g’N)$이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 보이자. $gN = g’N$μ΄λ―€λ‘œ, $g’\in gN$, $g^{-1}g’\in N$μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ”°λΌμ„œ $\phi(g^{-1}g’) = 1_H$이고, $\psi(gN) = \phi(g) = \phi(g)\phi(g^{-1}g’) = \phi(g’) = \psi(g’N)$, $\psi$κ°€ well-definedμž„μ΄ 보여진닀. 이 $\psi$κ°€ $\phi=\psi\circ\pi$λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” 것은 λ°”λ‘œ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ˜ν•œ, $\pi$κ°€ μ „μ‚¬μ΄λ―€λ‘œ, μ΄λŸ¬ν•œ 쑰건을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” $G/\text{Ker} \to H$인 사상은 $\psi$κ°€ μœ μΌν•˜λ‹€λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€.

λ‹€μŒμœΌλ‘œ, $\psi$κ°€ μ€€λ™ν˜•μž„μ„ 보이자. $g_1,g_2\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\psi((g_1N)(g_2N)) = \psi(g_1g_2N) = \phi(g_1g_2) = \phi(g_1)\phi(g_2) = \psi(g_1N)\psi(g_2N)$ μ΄λ―€λ‘œ, $\psi$λŠ” μ€€λ™ν˜•μ΄λ‹€.

λ§ˆμ§€λ§‰μœΌλ‘œ, $\psi$에 μ˜ν•˜μ—¬, $G/\text{Ker}(\phi) \cong \text{Im}(\phi)$이 성립함을 보이자. μš°μ„ , $\psi$κ°€ λ‹¨μ‚¬μž„μ„ ν™•μΈν•˜μž. $\psi(gN) = 1_H$이라고 ν•  λ•Œ, $\phi(g) = \psi(gN) = 1_H$μ΄λ―€λ‘œ, $g\in \text{Ker}(\phi) = N$, $gN = N = 1_{G/N}$이 성립함을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ”°λΌμ„œ $\psi$λŠ” 단사. λ‹€μŒμœΌλ‘œ, $\psi(G/\text{Ker}(\phi)) = \text{Im}(\psi) = \text{Im}(\phi)$μž„μ„ 보이자. $g\in G$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\phi(g) = \psi(gN) \in \text{Im}(\psi)$μ΄λ―€λ‘œ $\text{Im}(\phi)\subset\text{Im}(\psi)$μž„μ€ λΆ„λͺ…ν•˜λ‹€. λ°˜λŒ€λ‘œ, μž„μ˜μ˜ $G/N$의 μ›μ†ŒλŠ” μ–΄λ–€ $g\in G$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬ $gN$의 꼴둜 λ‚˜νƒ€λ‚΄μ–΄μ§€λ―€λ‘œ, $\psi(gN) = \phi(g)\in \text{Im}(\phi)$, $\text{Im}(\psi)\subset\text{Im}(\phi)$, λ”°λΌμ„œ, $\text{Im}(\psi)=\text{Im}(\phi)$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. 이상을 μ •λ¦¬ν•˜λ©΄ $G/\text{Ker}(\phi) \cong \text{Im}(\phi)$. $\square$

μ£Ό. κ΅° $G$와 κ·Έ λΆ€λΆ„κ΅° $N$이 μ£Όμ–΄μ‘Œμ„ λ•Œ, μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ μ€€λ™ν˜• $\pi: G\to G/N$ μ—­μ‹œ μ€€λ™ν˜•μ΄λ―€λ‘œ, μ€€λ™ν˜•μ •λ¦¬κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. κ·Έ κ²°κ³ΌλŠ” λ‹Ήμ—°ν•˜κ²Œλ„, $\text{Im}(\pi) = G/N$, $\text{Ker}(\pi) = N$에 μ˜ν•˜μ—¬ $G/\text{Ker}(\pi) = G/N \cong G/N = \text{Im}(\pi)$. β€”

예 1. μ€€λ™ν˜•μ‚¬μƒ $\det:\text{GL}_n(\SetR)\to \SetR^{\times}$이 μ£Όμ–΄μ‘Œμ„ λ•Œ, $\text{Im}(\det) = \SetR^{\times}$, $\text{Ker}(\det) = \text{SL}_n(\SetR)$κ³Ό μ€€λ™ν˜•μ •λ¦¬μ— 따라, $\text{GL}_n(\SetR)/\text{SL}_n(\SetR) \cong \SetR^{\times}$ μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • ꡰ의 μ€€λ™ν˜•μ •λ¦¬, 즉, μ€€λ™ν˜• $\phi: G\to H$κ°€ μ£Όμ–΄μ‘Œμ„ λ•Œ, $G/\text{Ker}(\phi) \cong \text{Im}(\phi)$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 λ³΄μ˜€λ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • ι›ͺ江 ζ˜Žε½¦οΌŒγ€Žδ»£ζ•°ε­¦ 1 ηΎ€θ«–ε…₯ι–€γ€οΌŒζ—₯ζœ¬θ©•θ«–η€ΎοΌŒ2010.