μμ, μ μμ
μ μ 1(μμμ 곡리). 곡μ§ν©μ΄ μλ μ§ν© $A$μ μ΄νκ΄κ³ $\leq$κ° λ€μ 쑰건μ λ§μ‘±νλ€λ©΄, $\leq$λ $A$μ μμorderμ΄κ³ , $(A,\leq)$λ μμμ§ν©μ΄λΌκ³ νλ€.
- λ°μ¬λ²μΉ β μμμ $a\in A$μ λνμ¬ $a\leq a$.
- λ°λμΉλ²μΉ β μμμ $a,b\in A$μ λνμ¬ $a\leq b$μΈ λμμ $b\leq a$μ΄λ©΄, $a=b$μ΄λ€.
- μΆμ΄λ²μΉ β μμμ $a,b,c\in A$μ λνμ¬ $a\leq b$μΈ λμμ $b\leq c$μ΄λ©΄, $a\leq c$μ΄λ€. β
μ 1. $\SetN$, $\SetZ$, $\SetQ$, $\SetR$ μμ μ£Όμ΄μ§ ν΅μμ μΈ μμλ μμμ 곡리λ₯Ό λ§μ‘±νλ€. μμΌλ‘λ λ³λμ μΈκΈ μμ΄ μμμ§ν©μΌλ‘μ $\SetN$, $\SetZ$, $\SetQ$, $\SetR$λ₯Ό μ¬μ©νλ€λ©΄, ν΅μμ μΈ μμλ₯Ό μλ―Ένλ κ²μΌλ‘ νλ€. β
μ 2. $\SetZ_{>0}$ μμμ, $b\in\SetZ_{>0}$κ° $a\in\SetZ_{>0}$λ‘ λλμ΄ λ¨μ΄μ§ λ, $a\mid b$λΌκ³ νλ©΄, β$\mid$βλ μμμ΄λ€. β
μ 3. $\mathfrak M$μ μμμ μ§ν©κ³λΌκ³ ν λ, $\mathfrak M$ μμ μ΄νκ΄κ³μΈ ν¬ν¨κ΄κ³ β$\subset$βμ μμμ 곡리λ₯Ό λ§μ‘±νλ€. β
μ£Ό. μμλ₯Ό λνλ΄λ μ΄νκ΄κ³μ κΈ°νΈλ‘λ μ΄λ€ κ²μ μ¬μ©ν΄λ μκ΄μμ§λ§, $\leq$λ κ·Έ μ€μμλ λ§μ΄ μ¬μ©λλ κΈ°νΈ μ€ νλμ΄λ€. μμΌλ‘λ λ³λμ μΈκΈμ΄ μλ ν κΈ°νΈ $\leq$λ μ μ 1μ 곡리λ₯Ό λ§μ‘±νλ μμκ΄κ³λ₯Ό λνλ΄λ κ²μΌλ‘ νλ€. λν, κΈ°νΈ $\leq$λ₯Ό μ¬μ©ν λμλ, κΈ°νΈ $\geq$, $<$, $>$λ₯Ό λμμ λμ νμ¬:
- β$a\leq b$βμ β$b\geq a$βλ κ°μ μλ―Έ
- β$a\leq b$μΈ λμμ $a\neq b$βμ β$a<b$β, β$b>a$βλ κ°μ μλ―Έ
κ° λλλ‘ νλ€1. β
μ μ 2. μμμ§ν© $(A,\leq)$κ° μ£Όμ΄μ§ λ, μμμ $a,b\in A$μ λνμ¬ $a\leq b$λ $a\geq b$ μ€ μ μ΄λ νλκ° μ±λ¦½νλ€λ©΄2, $\leq$λ $A$μ μ μμtotalΒ orderμ΄κ³ , $(A,\leq)$λ μ μμμ§ν©μ΄λΌκ³ νλ€. β
μ 4. μ 1μμμ μμλ μ μμμ΄λ€. νμ§λ§ μ 2μ μ 3μ μμλ μ μμμ΄μ§ μλ€. β
μ΅λ, μ΅μ, κ·Ήλ, κ·Ήμ
μ μ 3(μ΅λ, μ΅μ). $(A,\leq)$λ₯Ό μμμ§ν©μ΄λΌκ³ νμ. $a\in A$μ΄κ³ , μμμ $x\in A$μ λνμ¬ $x\leq a$κ° μ±λ¦½νλ€λ©΄, $a$λ $A$μ μ΅λgreatest μμλΌκ³ νλ€. λν, $b\in A$μ΄κ³ , μμμ $x\in A$μ λνμ¬ $b\leq x$κ° μ±λ¦½νλ€λ©΄, $b$λ $A$μ μ΅μleast μμλΌκ³ νλ€. β
μ£Ό.
- λΉμ°νμ§λ§, λͺ¨λ μμμ§ν©μ μ΅λ νΉμ μ΅μμΈ μμκ° μ‘΄μ¬νμ§λ μλλ€. $\SetN$μλ μ΅μ μμ $0$κ° μ‘΄μ¬νμ§λ§, μ΅λ μμλ μ‘΄μ¬νμ§ μλλ€. $\SetZ$, $\SetQ$, $\SetR$μλ μ΅μ μμμ μ΅λ μμκ° λͺ¨λ μ‘΄μ¬νμ§ μλλ€.
- λ§μ½ $A$μ μ΅λ μμκ° μ‘΄μ¬νλ€λ©΄, μ΄λ μ μΌνλ€. μ€μ λ‘ $a,a’\in A$κ° λμμ $A$μ μ΅λ μμλΌκ³ νλ€λ©΄, μ μλ‘λΆν° $a\leq a’$μΈ λμμ $a’\leq a$μ΄λ―λ‘ $a=a’$μ΄λ€. λ§μ°¬κ°μ§λ‘ μ΅μ μμκ° μ‘΄μ¬νλ€λ©΄, μ΄λ μ μΌνλ€. μ΄ μ¬μ€μ λ°λΌ, $A$μ μ΅λ μμ νΉμ μ΅μ μμκ° μ‘΄μ¬νλ€λ©΄, κ°κ°μ $\max A$μ $\min A$λ‘ μ°κΈ°λ‘ νλ€. β
μ μ 4(κ·Ήλ, κ·Ήμ). $(A,\leq)$λ₯Ό μμμ§ν©μ΄λΌκ³ νμ. $a\in A$μ΄κ³ , $a<x$μΈ $x\in A$κ° μ‘΄μ¬νμ§ μλλ€λ©΄, $a$λ $A$μ κ·Ήλmaximal μμλΌκ³ νλ€. λν, $b\in A$μ΄κ³ , μμμ $x\in A$μ λνμ¬ $x<b$μΈ $x\in A$κ° μ‘΄μ¬νμ§ μλλ€λ©΄, $b$λ $A$μ κ·Ήμminimal μμλΌκ³ νλ€. β
λͺ μ 1. $(A,\leq)$λ₯Ό μμμ§ν©μ΄λΌκ³ νμ. $\max A$κ° μ‘΄μ¬νλ€λ©΄, μ΄λ $A$μ μ μΌν κ·Ήλ μμμ΄λ€. λ§μ°¬κ°μ§λ‘, $\min A$κ° μ‘΄μ¬νλ€λ©΄, μ΄λ $A$μ μ μΌν κ·Ήμ μμμ΄λ€. β
μ¦λͺ . $a=\max A$λΌκ³ νμ. μ μλ‘λΆν° $a$κ° $A$μ κ·Ήλ μμμΈ κ²μ λΆλͺ νλ€. λν, $a\neq a’$μΈ $a’\in A$μ λνμ¬ $a’\leq a$κ° μ±λ¦½, $a'<a$μ΄λ―λ‘, $a’$λ κ·Ήλ μμμΌ μ μλ€. λ°λΌμ $a$λ $A$μ μ μΌν κ·Ήλ μμμ΄λ€. μ΅μ μμμ λν΄μλ λ§μ°¬κ°μ§. $\square$
μ£Ό.
- μ΅λ/μ΅μμ λ§μ°¬κ°μ§λ‘, κ·Ήλ/κ·ΉμμΈ μμκ° νμ μ‘΄μ¬ν리λΌλ 보μ₯μ μλ€.
- λͺ
μ 1μμ λ³΄μΈ κ²μ²λΌ μ΅λ/μ΅μμΈ μμκ° μ‘΄μ¬νλ€λ©΄ μ΄λ νμ μ μΌν κ·Ήλ/κ·Ήμ μμκ° λμ§λ§, μ΅λ/μ΅μμΈ μμκ° μ‘΄μ¬νμ§ μμλ κ·Ήλ/κ·ΉμμΈ μμκ° μ‘΄μ¬ν μ μλ€. μ΄ κ²½μ°, κ·Ήλ/κ·ΉμμΈ μμλ 볡μ μ‘΄μ¬ν μ μλ€.
- μλ₯Ό λ€μ΄, μ 2μ μμλ₯Ό $\SetZ_{>1}$μ μ μ©νλ©΄, μμμΈ μμλ κ·Ήμ μμκ° λλ©°, μ΄λ 무μν μ‘΄μ¬νλ€λ κ²μ μ μ μλ€.
- μ μμμ§ν©μμλ μ΅λ/μ΅μμΈ κ²κ³Ό κ·Ήλ/κ·ΉμμΈ κ²μ μλ‘ λμΉμ΄λ€. β
μκ³, νκ³, μν, νν
μ μ 5(μκ³, νκ³, μ κ³). $(A,\leq)$λ₯Ό μμμ§ν©, $M$μ $M\neq\emptyset$μΈ $A$μ λΆλΆμ§ν©μ΄λΌκ³ νμ.
- $a\in A$μ΄κ³ , μμμ $x\in M$μ λνμ¬ $x\leq a$κ° μ±λ¦½νλ€λ©΄, $a$λ $M$μ μκ³upperΒ boundλΌκ³ νλ©°, μκ³κ° μ‘΄μ¬νλ $A$μ λΆλΆμ§ν©μ μλ‘ μ κ³boundedΒ fromΒ aboveμΈ $A$μ λΆλΆμ§ν©μ΄λΌκ³ νλ€.
- λ§μ°¬κ°μ§λ‘, $b\in A$μ΄κ³ , μμμ $x\in M$μ λνμ¬ $b\leq x$κ° μ±λ¦½νλ€λ©΄, $b$λ $M$μ νκ³lowerΒ boundλΌκ³ νλ©°, νκ³κ° μ‘΄μ¬νλ $A$μ λΆλΆμ§ν©μ μλλ‘ μ κ³boundedΒ fromΒ belowμΈ $A$μ λΆλΆμ§ν©μ΄λΌκ³ νλ€.
- μμ μλλ‘ λμμ μ κ³μΈ $A$μ λΆλΆμ§ν©μ $A$μ μ κ³boundedμΈ λΆλΆμ§ν©μ΄λΌκ³ νλ€. β
λΉμ°νμ§λ§, λΆλΆμ§ν© $M$μ μμμ§ν©μΌλ‘ λ³Ό λ, $\max M$μ΄ μ‘΄μ¬νλ€λ©΄, $M$μ μλ‘ μ κ³μ΄λ€. νμ§λ§, $M$μ΄ μλ‘ μ κ³μΈ μμμ§ν©μ΄λΌκ³ ν΄λ κ·Έ μκ³κ° $M$μ μνμ§ μμ μλ μμΌλ―λ‘, μ΄ κ²½μ° $\max M$μ΄ μ‘΄μ¬ν리λΌλ 보μ₯μ μλ€.
μμμ§ν© $(A,\leq)$μ λΆλΆμ§ν© $M$μ λνμ¬, $M$μ μκ³ μ 체μ μ§ν©μ $M^*$, νκ³ μ 체μ μ§ν©μ $M_*$μΌλ‘ λνλΈλ€λ©΄, $M$μ΄ μλ‘ μ κ³μΈ κ²μ $M^*\neq\emptyset$μΈ κ²κ³Ό λμΉμ΄λ€. λ§μ°¬κ°μ§λ‘, $M$μ΄ μλλ‘ μ κ³μΈ κ²μ $M_*\neq\emptyset$κ³Ό λμΉ.
μ μ 6(μν, νν). $(A,\leq)$λ₯Ό μμμ§ν©, $M$μ $M\neq\emptyset$μΈ $A$μ λΆλΆμ§ν©μ΄λΌκ³ νμ. $M$μ μκ³ μ 체μ μ§ν© $M^*$μ λνμ¬, $\min M^*$μ΄ μ‘΄μ¬νλ€λ©΄, μ΄λ₯Ό μνsupremumμ΄λΌκ³ νμ¬, $\sup M$μ κ°μ΄ λνλΈλ€. λ§μ°¬κ°μ§λ‘, $M$μ νκ³ μ 체μ μ§ν© $M_*$μ λνμ¬, $\min M_*$μ΄ μ‘΄μ¬νλ€λ©΄, μ΄λ₯Ό ννinfimumμ΄λΌκ³ νμ¬, $\inf M$μ κ°μ΄ λνλΈλ€. β
λͺ μ 2. $(A,\leq)$λ₯Ό μμμ§ν©, $M$μ $M\neq\emptyset$μΈ $A$μ λΆλΆμ§ν©μ΄λΌκ³ νμ. $\max M$μ΄ μ‘΄μ¬νλ€λ©΄, μ΄λ $\sup M$κ³Ό μΌμΉνλ€. μμΌλ‘, $\sup M$μ΄ μ‘΄μ¬νλ λμμ $\sup M\in M$μ΄λΌλ©΄, μ΄λ $\max M$κ³Ό μΌμΉνλ€. λ§μ°¬κ°μ§λ‘, $\min M$κ³Ό $\inf M$μ λν΄μλ μ΄μ κ°μ μ±μ§μ΄ μ±λ¦½νλ€. β
μ¦λͺ . $a = \sup M$μ λ€μ λ 쑰건μ λ§μ‘±νλ κ²κ³Ό λμΉμ΄λ€.
- μμμ $x\in M$μ λνμ¬ $x\leq a$.
- $a’\in A$λΌκ³ ν λ, μμμ $x\in M$μ λνμ¬ $x\leq a’$λΌλ©΄ $a\leq a’$.
$a=\max M$μ΄ μ‘΄μ¬νλ€λ©΄, 쑰건 1μ λ§μ‘±νλ κ²μ λΉμ°νλ€. λν, $a\in M$μ΄λ―λ‘ μμμ $x\in M$μ λνμ¬ $x\leq a’$μΈ $a’\in A$μ λνμ¬ $a\leq a’$μΈ κ² μμ λΉμ°. λ°λΌμ $a=\sup M$.
λ°λλ‘, $\sup M$μ΄ μ‘΄μ¬νλ€λ©΄, 1μ 쑰건μ λ§μ‘±νκ³ , $\sup M\in M$μ΄λ―λ‘, $\sup M = \max M$μ΄λ€. $\min M$κ³Ό $\inf M$μ λν΄μλ λ§μ°¬κ°μ§. $\square$
μ£Ό. $\max M$μ΄ μ‘΄μ¬νμ§ μλλΌλ, $\sup M$μ΄ μ‘΄μ¬ν μ μλ€. μλ₯Ό λ€μ΄, μμμ§ν© $A=\SetR$μ λΆλΆμ§ν© $M=(-\infty,0)$μ κ²½μ°, $\max M$μ΄ μ‘΄μ¬νμ§ μμ§λ§, $\sup M=0$μΈ κ²μ νμΈν μ μλ€. μ€μ λ‘, μμμ $\SetR$μ μλ‘ μ κ³μΈ λΆλΆμ§ν© $M$μ νμ μν $\sup M$μ κ°λλ€. μ΄λ¬ν μ±μ§μ μ€μμ μ°μμ±continuityΒ ofΒ realΒ numbers νΉμ μ€μμ μλΉμ±μ΄λΌκ³ νλ€. β
μ 5. μμμ§ν© $\SetQ$μ λΆλΆμ§ν© $M\coloneqq \left\{ x\in\SetQ\mid x>0, x^2<2 \right\}$λ $\SetQ$ μμμ μνμ κ°μ§ μλλ€. λ§μ½, μν $a=\sup M$μ΄ μ‘΄μ¬νλ€κ³ κ°μ νλ€λ©΄ $a>0$μ΄κ³ , $a^2=2$μΌ μλ μμΌλ―λ‘ $a^2<2$μ΄κ±°λ $a^2>2$μ΄λ€.
- $a^2<2$μΈ κ²½μ°: $a\in M$μ΄λ―λ‘, $a=\max M$μ΄λ€. νμ§λ§, $a’=(3a+4)/(2a+3)$μΌλ‘ λλ©΄, $a’\in M$μΈ λμμ $a<a’$μΈ κ²μ μ μ μλ€. μ΄λ λͺ¨μ.
- $a^2>2$μΈ κ²½μ°: μμ $a’=(3a+4)/(2a+3)$μΌλ‘ λλ©΄, $a’$λ $M$μ μκ³μΈ λμμ $a'<a$μ΄λ€. μ΄λ $a$κ° μνμ΄λΌλ κ°μ μ λͺ¨μ.
λ°λΌμ $\sup M$μ μ‘΄μ¬νμ§ μλλ€. β
μ΄ ν¬μ€νΈμμλβ¦
- μμμ μ μμλ₯Ό μ μνλ€.
- μμμ§ν©μ μ΅λ, μ΅μ, κ·Ήλ, κ·Ήμ μμμ κ°λ μ μ μνλ€.
- μμμ§ν©κ³Ό κ·Έ λΆλΆμ§ν©μ΄ μ£Όμ΄μ‘μ λμ μκ³, νκ³, μν, ννμ κ°λ μ μ μνλ€.
μ°Έκ³ λ¬Έν
- ζΎε ε倫οΌγιεγ»δ½ηΈε ₯ιγοΌε²©ζ³’ζΈεΊοΌ1968οΌ