μˆœμ„œ

μˆœμ„œ, μ „μˆœμ„œ

μ •μ˜ 1(μˆœμ„œμ˜ 곡리). 곡집합이 μ•„λ‹Œ 집합 $A$의 이항관계 $\leq$κ°€ λ‹€μŒ 쑰건을 λ§Œμ‘±ν•œλ‹€λ©΄, $\leq$λŠ” $A$의 μˆœμ„œorder이고, $(A,\leq)$λŠ” μˆœμ„œμ§‘ν•©μ΄λΌκ³  ν•œλ‹€.

  1. λ°˜μ‚¬λ²•μΉ™ β€” μž„μ˜μ˜ $a\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $a\leq a$.
  2. λ°˜λŒ€μΉ­λ²•μΉ™ β€” μž„μ˜μ˜ $a,b\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $a\leq b$인 λ™μ‹œμ— $b\leq a$이면, $a=b$이닀.
  3. 좔이법칙 β€” μž„μ˜μ˜ $a,b,c\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $a\leq b$인 λ™μ‹œμ— $b\leq c$이면, $a\leq c$이닀. β€”

예 1. $\SetN$, $\SetZ$, $\SetQ$, $\SetR$ 상에 주어진 톡상적인 μˆœμ„œλŠ” μˆœμ„œμ˜ 곡리λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•œλ‹€. μ•žμœΌλ‘œλ„ λ³„λ„μ˜ μ–ΈκΈ‰ 없이 μˆœμ„œμ§‘ν•©μœΌλ‘œμ„œ $\SetN$, $\SetZ$, $\SetQ$, $\SetR$λ₯Ό μ‚¬μš©ν•œλ‹€λ©΄, 톡상적인 μˆœμ„œλ₯Ό μ˜λ―Έν•˜λŠ” κ²ƒμœΌλ‘œ ν•œλ‹€. β€”

예 2. $\SetZ_{>0}$ μƒμ—μ„œ, $b\in\SetZ_{>0}$κ°€ $a\in\SetZ_{>0}$둜 λ‚˜λˆ„μ–΄ λ–¨μ–΄μ§ˆ λ•Œ, $a\mid b$라고 ν•˜λ©΄, β€œ$\mid$β€λŠ” μˆœμ„œμ΄λ‹€. β€”

예 3. $\mathfrak M$을 μž„μ˜μ˜ 집합계라고 ν•  λ•Œ, $\mathfrak M$ μƒμ˜ 이항관계인 포함관계 β€œ$\subset$”은 μˆœμ„œμ˜ 곡리λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•œλ‹€. β€”

μ£Ό. μˆœμ„œλ₯Ό λ‚˜νƒ€λ‚΄λŠ” μ΄ν•­κ΄€κ³„μ˜ κΈ°ν˜Έλ‘œλŠ” μ–΄λ–€ 것을 μ‚¬μš©ν•΄λ„ μƒκ΄€μ—†μ§€λ§Œ, $\leq$λŠ” κ·Έ μ€‘μ—μ„œλ„ 많이 μ‚¬μš©λ˜λŠ” 기호 쀑 ν•˜λ‚˜μ΄λ‹€. μ•žμœΌλ‘œλŠ” λ³„λ„μ˜ 언급이 μ—†λŠ” ν•œ 기호 $\leq$λŠ” μ •μ˜ 1의 곡리λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” μˆœμ„œκ΄€κ³„λ₯Ό λ‚˜νƒ€λ‚΄λŠ” κ²ƒμœΌλ‘œ ν•œλ‹€. λ˜ν•œ, 기호 $\leq$λ₯Ό μ‚¬μš©ν•  λ•Œμ—λŠ”, 기호 $\geq$, $<$, $>$λ₯Ό λ™μ‹œμ— λ„μž…ν•˜μ—¬:

  • β€œ$a\leq b$”와 β€œ$b\geq a$β€λŠ” 같은 의미
  • β€œ$a\leq b$인 λ™μ‹œμ— $a\neq b$”와 β€œ$a<b$”, β€œ$b>a$β€λŠ” 같은 의미

κ°€ λ˜λ„λ‘ ν•œλ‹€1. β€”

μ •μ˜ 2. μˆœμ„œμ§‘ν•© $(A,\leq)$κ°€ μ£Όμ–΄μ§ˆ λ•Œ, μž„μ˜μ˜ $a,b\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $a\leq b$λ‚˜ $a\geq b$ 쀑 적어도 ν•˜λ‚˜κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄2, $\leq$λŠ” $A$의 μ „μˆœμ„œtotalΒ order이고, $(A,\leq)$λŠ” μ „μˆœμ„œμ§‘ν•©μ΄λΌκ³  ν•œλ‹€. β€”

예 4. 예 1μ—μ„œμ˜ μˆœμ„œλŠ” μ „μˆœμ„œμ΄λ‹€. ν•˜μ§€λ§Œ 예 2와 예 3의 μˆœμ„œλŠ” μ „μˆœμ„œμ΄μ§€ μ•Šλ‹€. β€”

μ΅œλŒ€, μ΅œμ†Œ, κ·ΉλŒ€, κ·Ήμ†Œ

μ •μ˜ 3(μ΅œλŒ€, μ΅œμ†Œ). $(A,\leq)$λ₯Ό μˆœμ„œμ§‘ν•©μ΄λΌκ³  ν•˜μž. $a\in A$이고, μž„μ˜μ˜ $x\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $x\leq a$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, $a$λŠ” $A$의 μ΅œλŒ€greatest μ›μ†ŒλΌκ³  ν•œλ‹€. λ˜ν•œ, $b\in A$이고, μž„μ˜μ˜ $x\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $b\leq x$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, $b$λŠ” $A$의 μ΅œμ†Œleast μ›μ†ŒλΌκ³  ν•œλ‹€. β€”

μ£Ό.

  • λ‹Ήμ—°ν•˜μ§€λ§Œ, λͺ¨λ“  μˆœμ„œμ§‘ν•©μ— μ΅œλŒ€ ν˜Ήμ€ μ΅œμ†ŒμΈ μ›μ†Œκ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ§€λŠ” μ•ŠλŠ”λ‹€. $\SetN$μ—λŠ” μ΅œμ†Œ μ›μ†Œ $0$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ§€λ§Œ, μ΅œλŒ€ μ›μ†ŒλŠ” μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€. $\SetZ$, $\SetQ$, $\SetR$μ—λŠ” μ΅œμ†Œ μ›μ†Œμ™€ μ΅œλŒ€ μ›μ†Œκ°€ λͺ¨λ‘ μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€.
  • λ§Œμ•½ $A$의 μ΅œλŒ€ μ›μ†Œκ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, μ΄λŠ” μœ μΌν•˜λ‹€. μ‹€μ œλ‘œ $a,a’\in A$κ°€ λ™μ‹œμ— $A$의 μ΅œλŒ€ μ›μ†ŒλΌκ³  ν•œλ‹€λ©΄, μ •μ˜λ‘œλΆ€ν„° $a\leq a’$인 λ™μ‹œμ— $a’\leq a$μ΄λ―€λ‘œ $a=a’$이닀. λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ μ΅œμ†Œ μ›μ†Œκ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, μ΄λŠ” μœ μΌν•˜λ‹€. 이 사싀에 따라, $A$의 μ΅œλŒ€ μ›μ†Œ ν˜Ήμ€ μ΅œμ†Œ μ›μ†Œκ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, 각각을 $\max A$와 $\min A$둜 μ“°κΈ°λ‘œ ν•œλ‹€. β€”

μ •μ˜ 4(κ·ΉλŒ€, κ·Ήμ†Œ). $(A,\leq)$λ₯Ό μˆœμ„œμ§‘ν•©μ΄λΌκ³  ν•˜μž. $a\in A$이고, $a<x$인 $x\in A$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€λ©΄, $a$λŠ” $A$의 κ·ΉλŒ€maximal μ›μ†ŒλΌκ³  ν•œλ‹€. λ˜ν•œ, $b\in A$이고, μž„μ˜μ˜ $x\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $x<b$인 $x\in A$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€λ©΄, $b$λŠ” $A$의 κ·Ήμ†Œminimal μ›μ†ŒλΌκ³  ν•œλ‹€. β€”

λͺ…μ œ 1. $(A,\leq)$λ₯Ό μˆœμ„œμ§‘ν•©μ΄λΌκ³  ν•˜μž. $\max A$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, μ΄λŠ” $A$의 μœ μΌν•œ κ·ΉλŒ€ μ›μ†Œμ΄λ‹€. λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, $\min A$κ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, μ΄λŠ” $A$의 μœ μΌν•œ κ·Ήμ†Œ μ›μ†Œμ΄λ‹€. β€”

증λͺ…. $a=\max A$라고 ν•˜μž. μ •μ˜λ‘œλΆ€ν„° $a$κ°€ $A$의 κ·ΉλŒ€ μ›μ†ŒμΈ 것은 λΆ„λͺ…ν•˜λ‹€. λ˜ν•œ, $a\neq a’$인 $a’\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $a’\leq a$κ°€ 성립, $a'<a$μ΄λ―€λ‘œ, $a’$λŠ” κ·ΉλŒ€ μ›μ†ŒμΌ 수 μ—†λ‹€. λ”°λΌμ„œ $a$λŠ” $A$의 μœ μΌν•œ κ·ΉλŒ€ μ›μ†Œμ΄λ‹€. μ΅œμ†Œ μ›μ†Œμ— λŒ€ν•΄μ„œλ„ λ§ˆμ°¬κ°€μ§€. $\square$

μ£Ό.

  • μ΅œλŒ€/μ΅œμ†Œμ™€ λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, κ·ΉλŒ€/κ·Ήμ†ŒμΈ μ›μ†Œκ°€ 항상 μ‘΄μž¬ν•˜λ¦¬λΌλŠ” 보μž₯은 μ—†λ‹€.
  • λͺ…μ œ 1μ—μ„œ 보인 κ²ƒμ²˜λŸΌ μ΅œλŒ€/μ΅œμ†ŒμΈ μ›μ†Œκ°€ μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄ μ΄λŠ” 항상 μœ μΌν•œ κ·ΉλŒ€/κ·Ήμ†Œ μ›μ†Œκ°€ λ˜μ§€λ§Œ, μ΅œλŒ€/μ΅œμ†ŒμΈ μ›μ†Œκ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•Šμ•„λ„ κ·ΉλŒ€/κ·Ήμ†ŒμΈ μ›μ†Œκ°€ μ‘΄μž¬ν•  수 μžˆλ‹€. 이 경우, κ·ΉλŒ€/κ·Ήμ†ŒμΈ μ›μ†ŒλŠ” 볡수 μ‘΄μž¬ν•  수 μžˆλ‹€.
    • 예λ₯Ό λ“€μ–΄, 예 2의 μˆœμ„œλ₯Ό $\SetZ_{>1}$에 μ μš©ν•˜λ©΄, μ†Œμˆ˜μΈ μ›μ†ŒλŠ” κ·Ήμ†Œ μ›μ†Œκ°€ 되며, μ΄λŠ” 무수히 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€.
  • μ „μˆœμ„œμ§‘ν•©μ—μ„œλŠ” μ΅œλŒ€/μ΅œμ†ŒμΈ 것과 κ·ΉλŒ€/κ·Ήμ†ŒμΈ 것은 μ„œλ‘œ λ™μΉ˜μ΄λ‹€. β€”

상계, ν•˜κ³„, μƒν•œ, ν•˜ν•œ

μ •μ˜ 5(상계, ν•˜κ³„, μœ κ³„). $(A,\leq)$λ₯Ό μˆœμ„œμ§‘ν•©, $M$을 $M\neq\emptyset$인 $A$의 뢀뢄집합이라고 ν•˜μž.

  • $a\in A$이고, μž„μ˜μ˜ $x\in M$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $x\leq a$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, $a$λŠ” $M$의 상계upperΒ bound라고 ν•˜λ©°, 상계가 μ‘΄μž¬ν•˜λŠ” $A$의 뢀뢄집합을 μœ„λ‘œ μœ κ³„boundedΒ fromΒ above인 $A$의 뢀뢄집합이라고 ν•œλ‹€.
  • λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, $b\in A$이고, μž„μ˜μ˜ $x\in M$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $b\leq x$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, $b$λŠ” $M$의 ν•˜κ³„lowerΒ bound라고 ν•˜λ©°, ν•˜κ³„κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜λŠ” $A$의 뢀뢄집합을 μ•„λž˜λ‘œ μœ κ³„boundedΒ fromΒ below인 $A$의 뢀뢄집합이라고 ν•œλ‹€.
  • μœ„μ™€ μ•„λž˜λ‘œ λ™μ‹œμ— μœ κ³„μΈ $A$의 뢀뢄집합을 $A$의 μœ κ³„bounded인 뢀뢄집합이라고 ν•œλ‹€. β€”

λ‹Ήμ—°ν•˜μ§€λ§Œ, 뢀뢄집합 $M$을 μˆœμ„œμ§‘ν•©μœΌλ‘œ λ³Ό λ•Œ, $\max M$이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, $M$은 μœ„λ‘œ μœ κ³„μ΄λ‹€. ν•˜μ§€λ§Œ, $M$이 μœ„λ‘œ μœ κ³„μΈ μˆœμ„œμ§‘ν•©μ΄λΌκ³  해도 κ·Έ 상계가 $M$에 μ†ν•˜μ§€ μ•Šμ„ μˆ˜λ„ μžˆμœΌλ―€λ‘œ, 이 경우 $\max M$이 μ‘΄μž¬ν•˜λ¦¬λΌλŠ” 보μž₯은 μ—†λ‹€.

μˆœμ„œμ§‘ν•© $(A,\leq)$의 뢀뢄집합 $M$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $M$의 상계 μ „μ²΄μ˜ 집합을 $M^*$, ν•˜κ³„ μ „μ²΄μ˜ 집합을 $M_*$으둜 λ‚˜νƒ€λ‚Έλ‹€λ©΄, $M$이 μœ„λ‘œ μœ κ³„μΈ 것은 $M^*\neq\emptyset$인 것과 λ™μΉ˜μ΄λ‹€. λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, $M$이 μ•„λž˜λ‘œ μœ κ³„μΈ 것은 $M_*\neq\emptyset$κ³Ό λ™μΉ˜.

μ •μ˜ 6(μƒν•œ, ν•˜ν•œ). $(A,\leq)$λ₯Ό μˆœμ„œμ§‘ν•©, $M$을 $M\neq\emptyset$인 $A$의 뢀뢄집합이라고 ν•˜μž. $M$의 상계 μ „μ²΄μ˜ 집합 $M^*$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\min M^*$이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, 이λ₯Ό μƒν•œsupremum이라고 ν•˜μ—¬, $\sup M$와 같이 λ‚˜νƒ€λ‚Έλ‹€. λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, $M$의 ν•˜κ³„ μ „μ²΄μ˜ 집합 $M_*$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\min M_*$이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, 이λ₯Ό ν•˜ν•œinfimum이라고 ν•˜μ—¬, $\inf M$와 같이 λ‚˜νƒ€λ‚Έλ‹€. β€”

λͺ…μ œ 2. $(A,\leq)$λ₯Ό μˆœμ„œμ§‘ν•©, $M$을 $M\neq\emptyset$인 $A$의 뢀뢄집합이라고 ν•˜μž. $\max M$이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, μ΄λŠ” $\sup M$κ³Ό μΌμΉ˜ν•œλ‹€. μ—­μœΌλ‘œ, $\sup M$이 μ‘΄μž¬ν•˜λŠ” λ™μ‹œμ— $\sup M\in M$이라면, μ΄λŠ” $\max M$κ³Ό μΌμΉ˜ν•œλ‹€. λ§ˆμ°¬κ°€μ§€λ‘œ, $\min M$κ³Ό $\inf M$에 λŒ€ν•΄μ„œλ„ 이와 같은 μ„±μ§ˆμ΄ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

증λͺ…. $a = \sup M$은 λ‹€μŒ 두 쑰건을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” 것과 λ™μΉ˜μ΄λ‹€.

  1. μž„μ˜μ˜ $x\in M$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $x\leq a$.
  2. $a’\in A$라고 ν•  λ•Œ, μž„μ˜μ˜ $x\in M$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $x\leq a’$라면 $a\leq a’$.

$a=\max M$이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, 쑰건 1을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” 것은 λ‹Ήμ—°ν•˜λ‹€. λ˜ν•œ, $a\in M$μ΄λ―€λ‘œ μž„μ˜μ˜ $x\in M$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $x\leq a’$인 $a’\in A$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $a\leq a’$인 것 μ—­μ‹œ λ‹Ήμ—°. λ”°λΌμ„œ $a=\sup M$.

λ°˜λŒ€λ‘œ, $\sup M$이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€λ©΄, 1의 쑰건을 λ§Œμ‘±ν•˜κ³ , $\sup M\in M$μ΄λ―€λ‘œ, $\sup M = \max M$이닀. $\min M$κ³Ό $\inf M$에 λŒ€ν•΄μ„œλ„ λ§ˆμ°¬κ°€μ§€. $\square$

μ£Ό. $\max M$이 μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•Šλ”λΌλ„, $\sup M$이 μ‘΄μž¬ν•  수 μžˆλ‹€. 예λ₯Ό λ“€μ–΄, μˆœμ„œμ§‘ν•© $A=\SetR$의 뢀뢄집합 $M=(-\infty,0)$의 경우, $\max M$이 μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•Šμ§€λ§Œ, $\sup M=0$인 것을 확인할 수 μžˆλ‹€. μ‹€μ œλ‘œ, μž„μ˜μ˜ $\SetR$의 μœ„λ‘œ μœ κ³„μΈ 뢀뢄집합 $M$은 항상 μƒν•œ $\sup M$을 κ°–λŠ”λ‹€. μ΄λŸ¬ν•œ μ„±μ§ˆμ„ μ‹€μˆ˜μ˜ 연속성continuityΒ ofΒ realΒ numbers ν˜Ήμ€ μ‹€μˆ˜μ˜ 완비성이라고 ν•œλ‹€. β€”

예 5. μˆœμ„œμ§‘ν•© $\SetQ$의 뢀뢄집합 $M\coloneqq \left\{ x\in\SetQ\mid x>0, x^2<2 \right\}$λŠ” $\SetQ$ μƒμ—μ„œ μƒν•œμ„ 갖지 μ•ŠλŠ”λ‹€. λ§Œμ•½, μƒν•œ $a=\sup M$이 μ‘΄μž¬ν•œλ‹€κ³  κ°€μ •ν•œλ‹€λ©΄ $a>0$이고, $a^2=2$일 μˆ˜λŠ” μ—†μœΌλ―€λ‘œ $a^2<2$μ΄κ±°λ‚˜ $a^2>2$이닀.

  • $a^2<2$인 경우: $a\in M$μ΄λ―€λ‘œ, $a=\max M$이닀. ν•˜μ§€λ§Œ, $a’=(3a+4)/(2a+3)$으둜 두면, $a’\in M$인 λ™μ‹œμ— $a<a’$인 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. μ΄λŠ” λͺ¨μˆœ.
  • $a^2>2$인 경우: μ—­μ‹œ $a’=(3a+4)/(2a+3)$으둜 두면, $a’$λŠ” $M$의 상계인 λ™μ‹œμ— $a'<a$이닀. μ΄λŠ” $a$κ°€ μƒν•œμ΄λΌλŠ” 가정에 λͺ¨μˆœ.

λ”°λΌμ„œ $\sup M$은 μ‘΄μž¬ν•˜μ§€ μ•ŠλŠ”λ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • μˆœμ„œμ™€ μ „μˆœμ„œλ₯Ό μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • μˆœμ„œμ§‘ν•©μ˜ μ΅œλŒ€, μ΅œμ†Œ, κ·ΉλŒ€, κ·Ήμ†Œ μ›μ†Œμ˜ κ°œλ…μ„ μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • μˆœμ„œμ§‘ν•©κ³Ό κ·Έ 뢀뢄집합이 μ£Όμ–΄μ‘Œμ„ λ•Œμ˜ 상계, ν•˜κ³„, μƒν•œ, ν•˜ν•œμ˜ κ°œλ…μ„ μ •μ˜ν–ˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • 松坂 ε’Œε€«οΌŒγ€Žι›†εˆγƒ»δ½η›Έε…₯ι–€γ€οΌŒε²©ζ³’ζ›ΈεΊ—οΌŒ1968.

  1. 이 경우, $a<b$이면 $b<a$이지 μ•Šλ‹€. λ˜ν•œ $a<b$, $b<c$이면 $a<c$이닀.β†©οΈŽ

  2. β€œ$a<b$, $a=b$, $a>b$의 μ…‹ 쀑 ν•˜λ‚˜κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄β€μœΌλ‘œ λ°”κΎΈμ–΄ 말할 수 μžˆλ‹€. μ„Έ 쑰건 쀑 ν•˜λ‚˜κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, κ·Έ ν•˜λ‚˜λ§Œμ΄ μœ μΌν•˜κ²Œ μ„±λ¦½ν•œλ‹€.β†©οΈŽ

Minkowski 뢀등식

Minkowski 뢀등식

정리 1(Minkowski 뢀등식). μˆ˜μ—΄ $(a_n)_{n\in\SetN}$, $(b_n)_{n\in\SetN}$κ³Ό, $p\in [1,\infty)$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\sum_{i=0}^{\infty} |a_i|^p, \sum_{i=0}^{\infty} |b_i|^p < \infty$ 라고 ν•˜λ©΄, λ‹€μŒ 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•œλ‹€.

$$ \left( \sum_{i=0}^{\infty} |a_i + b_i|^p \right)^{1/p} \leq \left( \sum_{i=0}^{\infty} |a_i|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{i=0}^{\infty} |b_i|^p \right)^{1/p}. $$

λ˜ν•œ, λ“±ν˜ΈλŠ” $\exists(\lambda,\mu)\in \SetR^2_{\geq0}\setminus\left\{ (0,0) \right\},\forall n\in\SetN; \lambda a_n = \mu b_n$일 λ•Œμ— ν•œν•˜μ—¬ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

증λͺ…. $\|a_n\|_p \coloneqq (\sum_{n=0}^{\infty} |a_n|^p)^{1/p}$, $\|b_n\|_p \coloneqq (\sum_{n=0}^{\infty} |b_n|^p)^{1/p}$ 라고 ν•˜μž. $\| a_n + b_n \|_p \leq \|a_n\|_p + \|b_n\|_p$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 보이면 λœλ‹€.

μš°μ„ , $p=1$이라면, $\|a_n\|_p = \sum_{i=0}^{\infty} |a_i|$μ΄λ―€λ‘œ,

$$ \|a_n + b_n\|_p = \sum_{i=0}^{\infty} |a_i + b_i| \leq \sum_{i=0}^{\infty} |a_i| + \sum_{i=0}^{\infty} |b_i| = \|a_n\|_p + \|b_n\|_p $$

κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 μ‰½κ²Œ 확인할 수 μžˆλ‹€.

λ‹€μŒμœΌλ‘œ, $p>1$인 경우λ₯Ό μƒκ°ν•˜μž. μš°μ„ , $\|a_n + b_n\|_p^p = \sum_{i=0}^{\infty} |a_i+b_i|^p < 0$인 것을 보이자. $f(x) = x^p$λŠ”, $x\in\SetR_{> 0}$μ—μ„œ λ³Όλ‘ν•œ ν•¨μˆ˜μΈ 것을 λ°”λ‘œ 확인할 수 μžˆμœΌλ―€λ‘œ, 각 $i\in\SetN$에 λŒ€ν•˜μ—¬,

$$ \left|\frac{a_i + b_i}{2}\right|^p \leq \left|\frac{|a_i|+|b_i|}{2}\right|^p \leq \frac{|a_i|^p}{2} + \frac{|b_i|^p}{2}. $$

λ”°λΌμ„œ, $|a_i+b_i|^p\leq2^{p-1}(|a_i|^p+|b_i|^p)$, $\|a_n + b_n\|_p^p\leq 2^{p-1} (\|a_n\|_p^p + \|b_n\|_p^p) < \infty$이닀.

$\|a_n + b_n\|_p = 0$인 경우, 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 자λͺ…ν•˜λ―€λ‘œ, $\|a_n + b_n\|_p>0$인 κ²½μš°λ§Œμ„ μƒκ°ν•˜μž. $1/p + 1/q = 1$이 λ˜λ„λ‘ $q\in [1,\infty)$λ₯Ό μ •ν•˜λ©΄, HΓΆlder 뢀등식에 μ˜ν•˜μ—¬

$$ \begin{aligned} \| a_n + b_n\|_p^p &= \sum_{i=0}^{\infty} |a_i + b_i|^p = \sum_{i=0}^{\infty} |a_i+b_i|\cdot|a_i+b_i|^{p-1} \\ &\leq\sum_{i=0}^{\infty} |a_i|\cdot|a_i+b_i|^{p-1} + \sum_{i=0}^{\infty}|b_i|\cdot|a_i+b_i|^{p-1} \\ &\leq\left\{ \left(\sum_{i=0}^{\infty}|a_i|^p \right)^{1/p} +\left(\sum_{i=0}^{\infty}|b_i|^p\right)^{1/p}\right\}\left(\sum_{i=0}^{\infty}|a_i+b_i|^{q(p-1)}\right)^{1/q}\\ &=\left(\|a_n\|_p + \|b_n\|_p\right)\left(\sum_{i=0}^{\infty}|a_i+b_i|^{p}\right)^{1-1/p}\\ &=\left(\|a_n\|_p + \|b_n\|_p\right)\frac{\|a_n+b_n\|_p^p}{\|a_n+b_n\|_p} \end{aligned} $$

κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆμœΌλ―€λ‘œ, $\|a_n+b_n\|_p \leq \|a_n\|_p+\|b_n\|_p$λ₯Ό μ–»λŠ”λ‹€.

$\exists(\lambda,\mu)\in \SetR^2_{\geq0}\setminus\left\{ (0,0) \right\},\forall n\in\SetN; \lambda a_n = \mu b_n$ 이 μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, λ“±ν˜Έκ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 μ‰½κ²Œ 확인할 수 μžˆλ‹€. μ—­μœΌλ‘œ, λ“±ν˜Έκ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, μœ„μ˜ 첫번째 뢀등식($|a_i+b_i|\leq |a_i| + |b_i|$λ₯Ό μ΄μš©ν•˜λŠ” λΆ€λΆ„)μ—μ„œ λ“±ν˜Έκ°€ 성립해야 ν•˜λ―€λ‘œ, 각 $i\in\SetN$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $a_i$와 $b_i$의 적어도 ν•œ μͺ½μ΄ $0$μ΄κ±°λ‚˜, $a_i$와 $b_i$의 λΆ€ν˜Έκ°€ κ°™μ•„μ•Ό ν•œλ‹€. λ˜ν•œ, λ‘λ²ˆμ§Έ λΆ€λ“±μ‹μ—μ„œλ„ λ“±ν˜Έκ°€ μ„±λ¦½ν•˜μ—¬μ•Ό ν•˜λ―€λ‘œ, HΓΆlder λΆ€λ“±μ‹μ˜ λ“±ν˜Έμ„±λ¦½μ‘°κ±΄μ— μ˜ν•˜μ—¬, $\exists(\lambda’,\mu’)\in \SetR^2_{\geq0}\setminus\left\{ (0,0) \right\},\forall n\in\SetN; \lambda’ |a_n|^p = \mu’ |a_n+b_n|^p$. 이λ₯Ό μ’…ν•©ν•˜λ©΄, $\lambda = \lambda’-\mu’$, $\mu = \mu’$둜 두어, μœ„μ—μ„œ μ œμ‹œν•œ 쑰건이 λ“±ν˜Έκ°€ 성립할 ν•„μš”μ‘°κ±΄μ΄λΌλŠ” κ²ƒκΉŒμ§€ 확인할 수 μžˆλ‹€. $\square$

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • Minkowski 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 λ³΄μ˜€λ‹€.

λ…Έλ¦„κ³΅κ°„μ˜ μ •μ˜

λ…Έλ¦„μ˜ 곡리

μ •μ˜ 1(λ…Έλ¦„μ˜ 곡리). $\SetR$ ν˜Ήμ€ $\SetC$ μƒμ˜ 벑터곡간 $V$에 λŒ€ν•˜μ—¬, 사상 $\|\cdot\|\colon V\to \SetR$이 λ‹€μŒ 쑰건 1,2,3을 λ§Œμ‘±ν•œλ‹€λ©΄, 사상 $\|\cdot\|$을 노름norm이라고 ν•œλ‹€.

  1. μž„μ˜μ˜ $\vec x\in V$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\|\vec x\|\geq 0$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. λ˜ν•œ λ“±ν˜ΈλŠ” $\vec x = \vec 0$일 λ•Œμ— ν•œν•˜μ—¬ μ„±λ¦½ν•œλ‹€.
  2. μž„μ˜μ˜ $\vec x\in V$와 $\lambda\in \SetR$ (ν˜Ήμ€ $\lambda\in\SetC$)에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\|\lambda\vec x\| = |\lambda|\|\vec x\|$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€.
  3. 삼각뢀등식 – μž„μ˜μ˜ $\vec x, \vec y\in V$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\|\vec x+ \vec y\|\leq \|\vec x\| + \|\vec y\|$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

$\SetR$ ν˜Ήμ€ $\SetC$ μƒμ˜ 벑터곡간 $V$에 λŒ€ν•˜μ—¬ 노름 $\|\cdot\|$이 μ£Όμ–΄μ§ˆ λ•Œ, ν•¨μˆ˜ $d: V\times V\ni (\vec x,\vec y) \mapsto \|\vec x-\vec y\|\in\SetR$λ₯Ό μ •μ˜ν•˜λ©΄, $d$λŠ” $V$ μƒμ˜ κ±°λ¦¬ν•¨μˆ˜μž„μ„ 확인할 수 μžˆλ‹€. 이λ₯Ό 노름 $\|\cdot\|$에 μ˜ν•œ μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ 거리라고 ν•œλ‹€. λ”°λΌμ„œ, 노름곡간은 μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ 거리에 μ˜ν•˜μ—¬ κ±°λ¦¬κ³΅κ°„μœΌλ‘œ 생각할 수 μžˆλ‹€.

보쑰정리 1(Cauchy-Schwarz 뢀등식). 벑터곡간 $\SetR^n$κ³Ό, $\vec a = (a_1,\ldots, a_n), \vec b = (b_1\ldots, b_n) \in\SetR^n$에 λŒ€ν•˜μ—¬, λ‹€μŒ 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•œλ‹€.

$$ \left( \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right). $$

λ˜ν•œ, λ“±ν˜ΈλŠ” $\vec a$와 $\vec b$κ°€ μ„ ν˜•μ’…μ†μΌ λ•Œμ— ν•œν•˜μ—¬ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

증λͺ…. $\vec a = \vec b = \vec 0$ 일 λ•Œ, 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 자λͺ…ν•˜λ‹ˆ, μ–΄λŠ ν•œ μͺ½μ€ $\vec 0$이 μ•„λ‹Œ κ²½μš°λ§Œμ„ μƒκ°ν•˜μž. 이 경우, $\vec a \neq \vec 0$ 라고 해도 μΌλ°˜μ„±μ„ μžƒμ§€ μ•ŠμœΌλ‹ˆ $\vec a\neq \vec 0$라고 ν•˜μž.

$$ f(x) \coloneqq \sum_{i=1}^{n} (a_ix-b_i)^2 = \left( \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right)x^2-2\left( \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)x + \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) $$

라고 $f(x)$λ₯Ό μ •μ˜ν•˜λ©΄, $a_i\neq 0$인 $i=1,\ldots,n$이 μ‘΄μž¬ν•˜λ―€λ‘œ, $\sum_{i=1}^n a_i^2 \neq 0$. $f(x)$λŠ” 2차의 닀항식이닀. μ€‘κ°„μ˜ μ‹μœΌλ‘œλΆ€ν„° μ•Œ 수 μžˆλ“―μ΄, μž„μ˜μ˜ $x\in\SetR$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $f(x)\geq 0$μ΄λ―€λ‘œ, $f(x)$의 νŒλ³„μ‹ $D$에 λŒ€ν•˜μ—¬,

$$ D/4 = \left( \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)^2-\left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \leq 0 $$

μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ˜ν•œ, β€œ$\vec a\neq\vec 0$와 $\vec b$κ°€ μ„ ν˜•μ’…μ†μΈ 것”과 β€œ$\lambda\vec a = \vec b$이도둝 ν•˜λŠ” $\lambda\in\SetR$이 μ‘΄μž¬ν•˜λŠ” 것”은 λ™μΉ˜, 이 κ²½μš°μ— ν•œν•˜μ—¬ $f(\lambda)= 0$둜 $f(x)$λŠ” 쀑근 $\lambda$λ₯Ό κ°€μ§€λ―€λ‘œ, $D=0$. $\vec a$와 $\vec b$κ°€ μ„ ν˜•μ’…μ†μΈ 것과 λ“±ν˜Έ 성립은 λ™μΉ˜μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. $\square$

λ³„λ„μ˜ 증λͺ…. λ‹€μŒκ³Ό 같은 κ°„λ‹¨ν•œ 식 λ³€ν˜•μ„ 톡해 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€.

$$ \begin{aligned} \left( \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \right) -\left( \sum_{i=1}^{n}a_ib_i \right)^2 &= \sum_{i\neq j} a_i^2b_j^2-2\sum_{i<j}^{} a_ib_ia_jb_j \\ &= \sum_{i<j} (a_ib_j -a_jb_i)^2 \geq 0. \end{aligned} $$

μ—¬κΈ°μ„œ λ“±ν˜ΈλŠ” μž„μ˜μ˜ $i<j$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $a_ib_j-a_jb_i=0$일 λ•Œμ— ν•œν•˜μ—¬ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. 이 쑰건이 $\vec a$와 $\vec b$κ°€ μ„ ν˜•μ’…μ†μΈ 것과 λ™μΉ˜μΈ 것은 κ°„λ‹¨νžˆ 확인할 수 μžˆλ‹€. $\square$

이외에도, HΓΆlder λΆ€λ“±μ‹μ΄λ‚˜, λ‚΄μ μ˜ κ³΅λ¦¬λ‘œλΆ€ν„° Cauchy-Schwarz 뢀등식이 얻어진닀.

예 1(Euclidean 곡간). 점 $\vec a = (a_1, \ldots, a_n)\in \SetR^n$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\|\vec a\|_2 \coloneqq \sqrt{(a_1^2+\cdots+a_n^2)}$와 같이 사상 $\|\cdot\|: \SetR^n\to\SetR$을 μ •μ˜ν•˜λ©΄, μ •μ˜ 1의 λ…Έλ¦„μ˜ 곡리 1,2λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜κ³  μžˆλŠ” 것은 μ‰½κ²Œ 확인할 수 μžˆλ‹€. λ˜ν•œ, $\vec a = (a_1,\ldots,a_n), \vec b = (b_1,\ldots,b_n)\in\SetR^n$에 λŒ€ν•΄, 보쑰정리 1에 μ˜ν•˜μ—¬

$$ \begin{aligned} \|\vec a+\vec b\|_2^2 &=\sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i)^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2\sum_{i=1}^n a_ib_i \\ &\leq \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2 {\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)^{1/2} \left( \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \right)^{1/2}} \\ &= \left( \|\vec a\|_2 + \|\vec b\|_2 \right)^2. \end{aligned} $$

λ”°λΌμ„œ $\|\cdot\|$은 $\SetR^n$ μƒμ˜ 노름이닀. 이λ₯Ό Euclidean 노름이라고 ν•˜λ©°, 이 노름(ν˜Ήμ€ 이 노름에 μ˜ν•œ μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ 거리)이 λΆ€μ—¬λœ 벑터곡간 $\SetR^n$을 Euclidean 곡간이라고 ν•œλ‹€. β€”

예 2(Minkowski 곡간). $p\in [1,\infty)$라고 ν•˜μž. 점 $\vec a = (a_1, \ldots, a_n)\in \SetR^n$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $\|\vec a\|_p\coloneqq (|a_1|^p + \cdots + |a_n|^p)^{1/p}$와 같이 사상 $\|\cdot\|: \SetR^n\to\SetR$을 μ •μ˜ν•˜λ©΄, μ •μ˜ 1의 λ…Έλ¦„μ˜ 곡리 1,2λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜κ³  μžˆλŠ” 것은 μ‰½κ²Œ 확인할 수 μžˆλ‹€. λ˜ν•œ, $\vec a = (a_1,\ldots,a_n), \vec b = (b_1,\ldots,b_n)\in\SetR^n$에 λŒ€ν•΄, $\|\vec a + \vec b\|_p\leq \|\vec a\|_p + \|\vec b\|_p$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 Minkowski λΆ€λ“±μ‹μœΌλ‘œλΆ€ν„° 확인할 수 μžˆλ‹€. λ”°λΌμ„œ $\|\cdot\|_p$은 $\SetR^n$ μƒμ˜ 노름이닀. 이λ₯Ό Minkowski 노름이라고 ν•˜λ©°, 이 노름(ν˜Ήμ€ 이 노름에 μ˜ν•œ μžμ—°μŠ€λŸ¬μš΄ 거리)이 λΆ€μ—¬λœ 벑터곡간 $\SetR^n$을 Minkowski 곡간이라고 ν•œλ‹€. β€”

예 3(μ΅œλŒ“κ°’ 노름). 점 $\vec a = (a_1, \ldots, a_n)\in \SetR^n$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\|\vec a\|_\infty \coloneqq \max_{1\leq i\leq n} |a_i|$ 와 같이 사상 $\|\cdot\|_\infty: \SetR^n\to \SetR$을 μ •μ˜ν•˜λ©΄, μ΄λŠ” 노름이닀. (μ—°μŠ΅λ¬Έμ œ) 이λ₯Ό $\SetR^n$ μƒμ˜ μ΅œλŒ“κ°’ 노름이라고 ν•œλ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • 노름과 노름곡간을 μ •μ˜ν–ˆλ‹€.
  • Cauchy-Schwarz 뢀등식을 μ΄μš©ν•˜μ—¬, λ…Έλ¦„κ³΅κ°„μ˜ 예둜 Euclidean 곡간을 λ“€μ—ˆλ‹€.
  • Minkowski 뢀등식을 μ΄μš©ν•˜μ—¬, λ…Έλ¦„κ³΅κ°„μ˜ 예둜 Minkowski 곡간을 λ“€μ—ˆλ‹€.
  • λ…Έλ¦„μ˜ 예둜 μ΅œλŒ“κ°’ 노름을 λ“€μ—ˆλ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • 松坂 ε’Œε€«οΌŒγ€Žι›†εˆγƒ»δ½η›Έε…₯ι–€γ€οΌŒε²©ζ³’ζ›ΈεΊ—οΌŒ1968.

HΓΆlder 뢀등식

HΓΆlder 뢀등식

정리 1(HΓΆlder 뢀등식). μˆ˜μ—΄ $(a_n)_{n\in\SetN}$, $(b_n)_{n\in\SetN}$κ³Ό, ${1}/{p}+{1}/{q} = 1$λ₯Ό λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” νŒŒλΌλ―Έν„° $p,q\in (1,\infty)$에 λŒ€ν•˜μ—¬, μš°λ³€μ˜ κΈ‰μˆ˜κ°€ μˆ˜λ ΄ν•˜λŠ” ν•œ, λ‹€μŒ 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•œλ‹€.

$$ \sum_{n=0}^{\infty} |a_nb_n| \leq \left( \sum_{n=0}^{\infty} |a_n|^p \right)^{{1}/{p}}\left( \sum_{n=0}^{\infty} |b_n|^q \right)^{{1}/{q}}. $$

λ˜ν•œ, λ“±ν˜ΈλŠ” $\exists (\lambda,\mu)\in\SetR_{\geq 0}^2\setminus \left\{ (0,0) \right\}, \forall n\in\SetN; \lambda|a_n|^p = \mu|b_n|^q$ 일 λ•Œμ— ν•œν•˜μ—¬ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

증λͺ…. μš°λ³€μ˜ κΈ‰μˆ˜κ°€ μˆ˜λ ΄ν•˜λ―€λ‘œ, $\|a_n\|_p \coloneqq \left(\sum_{n=0}^{\infty} |a_n|^p\right)^{{1}/{p}}$, $\|b_n\|_q \coloneqq \left( \sum_{n=0}^{\infty} |b_n|^q \right)^{{1}/{q}}$둜 두도둝 ν•˜μž. $\|a_n\|_p=0$ ν˜Ήμ€ $\|b_n\|_q=0$ 인 경우, 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 λΆ„λͺ…ν•˜λ―€λ‘œ, $\|a_n\|_p, \|b_n\|_q>0$인 κ²½μš°λ§Œμ„ μƒκ°ν•˜λ„λ‘ ν•˜μž. Young 뢀등식에 μ˜ν•˜μ—¬ 각 $i\in\SetN$에 λŒ€ν•˜μ—¬

$$ \frac{|a_i|}{\|a_n\|_p}\cdot \frac{|b_i|}{\|b_n\|_q} \leq \frac{1}{p} \left( \frac{|a_i|}{\|a_n\|_p} \right)^p + \frac{1}{q} \left( \frac{|b_i|}{\|b_n\|_q} \right)^q $$

κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. λ”°λΌμ„œ,

$$ \begin{aligned} \frac{ \sum_{i=0}^{\infty} |a_ib_i| }{\|a_n\|_p\cdot\|b_n\|_q} &= \sum_{i=0}^{\infty} \frac{|a_i|}{\|a_n\|_p}\cdot \frac{|b_i|}{\|b_n\|_q} \\ &\leq \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{p} \left( \frac{|a_i|}{\|a_n\|_p} \right)^p + \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{q} \left( \frac{|b_i|}{\|b_n\|_q} \right)^q \\ &= \frac{1}{p}\cdot\frac{1}{\|a_n\|^p_p} \sum_{i=0}^{\infty} |a_i|^p + \frac{1}{q}\cdot\frac{1}{\|b_n\|^q_q} \sum_{i=0}^{\infty} |b_i|^q \\ &= \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. \end{aligned} $$

$\sum_{n=0}^{\infty} |a_nb_n| \leq \|a_n\|_p\cdot\|b_n\|_q= \left( \sum_{n=0}^{\infty} |a_n|^p \right)^{{1}/{p}}\left( \sum_{n=0}^{\infty} |b_n|^q \right)^{{1}/{q}}$ 이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€.

$\lambda \coloneqq \|b_n\|_q^q \geq 0$, $\mu \coloneqq \|a_n\|_p^p\geq 0$으둜 두어, λͺ¨λ“  $n\in\SetN$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $\lambda|a_n|^p = \mu|b_n|^q$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, Young λΆ€λ“±μ‹μ˜ λ“±ν˜Έμ„±λ¦½μ‘°κ±΄μ— μ˜ν•˜μ—¬ λ“±ν˜Έκ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. μ—­μœΌλ‘œ, μ–΄λ–€ $n_0\in\SetN$κ°€ μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬, $\lambda |a_{n_0}|^p \neq \mu |b_{n_0}|^q$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€κ³  ν•˜λ©΄, Young λΆ€λ“±μ‹μ˜ λ“±ν˜Έμ„±λ¦½μ‘°κ±΄μ— μ˜ν•˜μ—¬

$$ \frac{|a_{n_0}|}{\|a_n\|_p}\cdot \frac{|b_{n_0}|}{\|b_n\|_q} < \frac{1}{p} \left( \frac{|a_{n_0}|}{\|a_n\|_p} \right)^p + \frac{1}{q} \left( \frac{|b_{n_0}|}{\|b_n\|_q} \right)^q $$

μ΄λ―€λ‘œ, λ“±ν˜Έκ°€ μ„±λ¦½ν•˜μ§€ μ•ŠμŒμ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. $\square$

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • HΓΆlder 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 λ³΄μ˜€λ‹€.

Young 뢀등식

Young 뢀등식

정리 1(Young 뢀등식). $1/p + 1/q = 1$을 λ§Œμ‘±ν•˜λŠ” νŒŒλΌλ―Έν„° $p,q\in (1,\infty)$와, μ‹€μˆ˜ $a,b\geq 0$에 λŒ€ν•˜μ—¬, λ‹€μŒ 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•œλ‹€.

$$ ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} $$

λ˜ν•œ, λ“±ν˜ΈλŠ” $a^p=b^q$인 κ²½μš°μ— ν•œν•˜μ—¬ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

증λͺ…. $A \coloneqq a^p$, $B \coloneqq b^q$, $\theta \coloneqq 1/p$ 둜 λ‘μž. μ—¬κΈ°μ„œ, $A = 0$ ν˜Ήμ€ $B = 0$인 κ²½μš°μ— λŒ€ν•΄μ„œλŠ” 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것이 λΆ„λͺ…ν•˜λ―€λ‘œ, $A, B>0$인 κ²½μš°λ§Œμ„ μƒκ°ν•˜μž.

μš°μ„ , 주어진 쑰건에 μ˜ν•˜μ—¬ $1/q = 1-\theta$이닀. λ˜ν•œ, $\theta = 1/p \in (0,1)$μ΄λ―€λ‘œ, $A\neq B$라면, $\log x$λŠ” 쒁은 의미둜 였λͺ©ν•œ ν•¨μˆ˜μ΄λ―€λ‘œ12,

$$ \log A^\theta B^{1-\theta} = \theta\log A + (1-\theta)\log B < \log (\theta A + (1-\theta)B ) $$

κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. λ”°λΌμ„œ,

$$ ab = A^\theta B^{1-\theta} < \theta A + (1-\theta)B = \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} $$

μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ˜ν•œ, $A=B$일 λ•Œ $ab = a^p/p + b^q/q$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것은 자λͺ…ν•˜λ―€λ‘œ, λΆ€λ“±μ‹μ˜ λ“±ν˜Έκ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” κ²½μš°λŠ” $a^p = A = B = b^q$일 λ•Œμ— ν•œν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. $\square$

λ³„λ„μ˜ 증λͺ…. $b\geq 0$λ₯Ό κ³ μ •ν•˜μ—¬, $f(a) \coloneqq ({a^p}/{p}+{b^q}/{q})-ab$라고 μ •μ˜ν•˜μž. κ·Έλ ‡λ‹€λ©΄, $p>1$λ‘œλΆ€ν„°, $f'(a) = a^{p-1}-b$λ₯Ό μ–»μœΌλ―€λ‘œ, $a=b^{{1}/(p-1)}$, 즉 $a^p = b^q$ 일 λ•Œ μ΅œμ†Ÿκ°’ $0$λ₯Ό μ–»λŠ”λ‹€λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. $\square$

μ£Ό. 사싀, $p,q\in (1,\infty)$둜 λ‘˜ λ•Œ, $M,N>0$ 이 μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬, λͺ¨λ“  $a,b\geq 0$ 에 λŒ€ν•˜μ—¬ $ab\leq Ma^p+ Nb^q$ 이 μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, ${1}/{p}+{1}/{q} = 1$ κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. λ”°λΌμ„œ, ${1}/{p}+{1}/{q}=1$ 은 $M,N>0$ 이 μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬, λͺ¨λ“  $a,b\geq 0$ 에 λŒ€ν•˜μ—¬ $ab\leq Ma^p+ Nb^q$ 일 ν•„μš”μ‘°κ±΄μ΄λ‹€.

λ§Œμ•½, $M,N>0$ 이 μ‘΄μž¬ν•˜μ—¬ λͺ¨λ“  $a,b\geq 0$ 에 λŒ€ν•˜μ—¬ $ab\leq Ma^p+ Nb^q$ 인 λ™μ‹œμ—, ${1}/{p}+{1}/{q} \neq 1$ 이라고 κ°€μ •ν•œλ‹€λ©΄, $(p-1)(q-1)\neq 1$ 이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. λ˜ν•œ λͺ¨λ“  $a,b\geq 0$ 에 λŒ€ν•˜μ—¬ $Nb^q \geq ab-Ma^p$ κ°€ 성립할 κ²ƒμ΄λ―€λ‘œ, $t>0$ 으둜 두어, $a = t$, $b = pMt^{p-1}$ 을 λŒ€μž…ν•˜λ©΄, μž„μ˜μ˜ $t>0$ 에 λŒ€ν•˜μ—¬ $N(pM)^q\cdot t^{(p-1)q} = N(pMt^{p-1})^q\geq pMt^p – Mt^p = (p-1)Mt^p$ κ°€ 성립함을 μ•Œ 수 μžˆλ‹€. μ—¬κΈ°μ„œ $p-1>0$μ΄λ―€λ‘œ, $\frac{N(pM)^q}{(p-1)M}\geq t^{p-(p-1)q} = t^{1-(p-1)(q-1)}$κ°€ 성립, $t^{1-(p-1)(q-1)}$이 $t>0$μ—μ„œ μœ„λ‘œ μœ κ³„μž„μ„ μ•Œ 수 μžˆλ‹€. ν•˜μ§€λ§Œ, κ°€μ •μœΌλ‘œλΆ€ν„° $1-(p-1)(q-1) \neq 0$, $t^{1-(p-1)(q-1)}$은 $t>0$μ—μ„œ μœ κ³„μ΄μ§€ μ•ŠμœΌλ―€λ‘œ, μ΄λŠ” λͺ¨μˆœμ΄λ‹€. λ”°λΌμ„œ ${1}/{p} + {1}/{q} = 1$. β€”

$p = q = 2$인 κ²½μš°μ— ν•œμ •ν•˜λ©΄, λ‹€μŒ 따름정리λ₯Ό μ–»λŠ”λ‹€.

따름정리 2. μ‹€μˆ˜ $a,b$에 λŒ€ν•˜μ—¬ $2ab \leq a^2 + b^2$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. λ˜ν•œ λ“±ν˜ΈλŠ” $a=b$에 ν•œν•˜μ—¬ μ„±λ¦½ν•œλ‹€. β€”

이 ν¬μŠ€νŠΈμ—μ„œλŠ”β€¦

  • Young 뢀등식이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것을 λ³΄μ˜€λ‹€.

μ°Έκ³ λ¬Έν—Œ

  • 杉桦 ε…‰ε€«οΌŒγ€Žθ§£ζžε…₯ι–€ Iγ€οΌŒζ±δΊ¬ε€§ε­¦ε‡Ίη‰ˆδΌšοΌŒ1980.
  • 松坂 ε’Œε€«οΌŒγ€Žι›†εˆγƒ»δ½η›Έε…₯ι–€γ€οΌŒε²©ζ³’ζ›ΈεΊ—οΌŒ1968.

  1. $\SetR$의 ꡬ간 $I$μ—μ„œ μ •μ˜λœ μ‹€ν•¨μˆ˜ $f(x)$κ°€ 였λͺ©ν•œconcave ν•¨μˆ˜λž€, μž„μ˜μ˜ $a,b\in I$, $t\in (0,1)$에 λŒ€ν•˜μ—¬, $f(ta + (1-t)b) \geq tf(a) + (1-t)f(b)$κ°€ μ„±λ¦½ν•˜λŠ” ν•¨μˆ˜λ₯Ό μ˜λ―Έν•œλ‹€. 특히, $f(ta + (1-t)b) > tf(a) + (1-t)f(b)$κ°€ μ„±λ¦½ν•œλ‹€λ©΄, $f(x)$λŠ” 쒁은 의미둜 였λͺ©strictlyΒ concaveν•˜λ‹€κ³  ν•œλ‹€. λΆ€λ“±μ‹μ˜ λ°©ν–₯이 λ°˜λŒ€μΈ 경우, 각각 λ³Όλ‘ν•œconvex ν•¨μˆ˜, 쒁은 의미둜 λ³Όλ‘ν•œstrictlyΒ convex ν•¨μˆ˜λΌκ³  ν•œλ‹€.β†©οΈŽ

  2. $\log x$κ°€ 쒁은 의미둜 였λͺ©ν•œ ν•¨μˆ˜λΌλŠ” 것은, $x>0$일 λ•Œ $(\log x)”= -1/x^2 < 0$이 μ„±λ¦½ν•˜λŠ” 것과, $\log x$의 2μ°¨κΉŒμ§€μ˜ Taylor μ „κ°œλ₯Ό μ΄μš©ν•˜μ—¬ μ‰½κ²Œ 보일 수 μžˆλ‹€.β†©οΈŽ