Inequalities – Archive

순서

순서, 전순서

정의 1(순서의 공리). 공집합이 아닌 집합 $A$의 이항관계 $\leq$가 다음 조건을 만족한다면, $\leq$는 $A$의 순서^order이고, $(A,\leq)$는 순서집합이라고 한다.

반사법칙 — 임의의 $a\in A$에 대하여 $a\leq a$.
반대칭법칙 — 임의의 $a,b\in A$에 대하여 $a\leq b$인 동시에 $b\leq a$이면, $a=b$이다.
추이법칙 — 임의의 $a,b,c\in A$에 대하여 $a\leq b$인 동시에 $b\leq c$이면, $a\leq c$이다. —

예 1. $\SetN$, $\SetZ$, $\SetQ$, $\SetR$ 상에 주어진 통상적인 순서는 순서의 공리를 만족한다. 앞으로도 별도의 언급 없이 순서집합으로서 $\SetN$, $\SetZ$, $\SetQ$, $\SetR$를 사용한다면, 통상적인 순서를 의미하는 것으로 한다. —

예 2. $\SetZ_{>0}$ 상에서, $b\in\SetZ_{>0}$가 $a\in\SetZ_{>0}$로 나누어 떨어질 때, $a\mid b$라고 하면, “$\mid$”는 순서이다. —

예 3. $\mathfrak M$을 임의의 집합계라고 할 때, $\mathfrak M$ 상의 이항관계인 포함관계 “$\subset$”은 순서의 공리를 만족한다. —

주. 순서를 나타내는 이항관계의 기호로는 어떤 것을 사용해도 상관없지만, $\leq$는 그 중에서도 많이 사용되는 기호 중 하나이다. 앞으로는 별도의 언급이 없는 한 기호 $\leq$는 정의 1의 공리를 만족하는 순서관계를 나타내는 것으로 한다. 또한, 기호 $\leq$를 사용할 때에는, 기호 $\geq$, $<$, $>$를 동시에 도입하여:

“$a\leq b$”와 “$b\geq a$”는 같은 의미
“$a\leq b$인 동시에 $a\neq b$”와 “$a<b$”, “$b>a$”는 같은 의미

가 되도록 한다¹. —

정의 2. 순서집합 $(A,\leq)$가 주어질 때, 임의의 $a,b\in A$에 대하여 $a\leq b$나 $a\geq b$ 중 적어도 하나가 성립한다면², $\leq$는 $A$의 전순서^total order이고, $(A,\leq)$는 전순서집합이라고 한다. —

예 4. 예 1에서의 순서는 전순서이다. 하지만 예 2와 예 3의 순서는 전순서이지 않다. —

최대, 최소, 극대, 극소

정의 3(최대, 최소). $(A,\leq)$를 순서집합이라고 하자. $a\in A$이고, 임의의 $x\in A$에 대하여 $x\leq a$가 성립한다면, $a$는 $A$의 최대^greatest 원소라고 한다. 또한, $b\in A$이고, 임의의 $x\in A$에 대하여 $b\leq x$가 성립한다면, $b$는 $A$의 최소^least 원소라고 한다. —

주.

당연하지만, 모든 순서집합에 최대 혹은 최소인 원소가 존재하지는 않는다. $\SetN$에는 최소 원소 $0$가 존재하지만, 최대 원소는 존재하지 않는다. $\SetZ$, $\SetQ$, $\SetR$에는 최소 원소와 최대 원소가 모두 존재하지 않는다.
만약 $A$의 최대 원소가 존재한다면, 이는 유일하다. 실제로 $a,a’\in A$가 동시에 $A$의 최대 원소라고 한다면, 정의로부터 $a\leq a’$인 동시에 $a’\leq a$이므로 $a=a’$이다. 마찬가지로 최소 원소가 존재한다면, 이는 유일하다. 이 사실에 따라, $A$의 최대 원소 혹은 최소 원소가 존재한다면, 각각을 $\max A$와 $\min A$로 쓰기로 한다. —

정의 4(극대, 극소). $(A,\leq)$를 순서집합이라고 하자. $a\in A$이고, $a<x$인 $x\in A$가 존재하지 않는다면, $a$는 $A$의 극대^maximal 원소라고 한다. 또한, $b\in A$이고, 임의의 $x\in A$에 대하여 $x<b$인 $x\in A$가 존재하지 않는다면, $b$는 $A$의 극소^minimal 원소라고 한다. —

명제 1. $(A,\leq)$를 순서집합이라고 하자. $\max A$가 존재한다면, 이는 $A$의 유일한 극대 원소이다. 마찬가지로, $\min A$가 존재한다면, 이는 $A$의 유일한 극소 원소이다. —

증명. $a=\max A$라고 하자. 정의로부터 $a$가 $A$의 극대 원소인 것은 분명하다. 또한, $a\neq a’$인 $a’\in A$에 대하여 $a’\leq a$가 성립, $a'<a$이므로, $a’$는 극대 원소일 수 없다. 따라서 $a$는 $A$의 유일한 극대 원소이다. 최소 원소에 대해서도 마찬가지. $\square$

주.

최대/최소와 마찬가지로, 극대/극소인 원소가 항상 존재하리라는 보장은 없다.
명제 1에서 보인 것처럼 최대/최소인 원소가 존재한다면 이는 항상 유일한 극대/극소 원소가 되지만, 최대/최소인 원소가 존재하지 않아도 극대/극소인 원소가 존재할 수 있다. 이 경우, 극대/극소인 원소는 복수 존재할 수 있다.
- 예를 들어, 예 2의 순서를 $\SetZ_{>1}$에 적용하면, 소수인 원소는 극소 원소가 되며, 이는 무수히 존재한다는 것을 알 수 있다.
전순서집합에서는 최대/최소인 것과 극대/극소인 것은 서로 동치이다. —

상계, 하계, 상한, 하한

정의 5(상계, 하계, 유계). $(A,\leq)$를 순서집합, $M$을 $M\neq\emptyset$인 $A$의 부분집합이라고 하자.

$a\in A$이고, 임의의 $x\in M$에 대하여 $x\leq a$가 성립한다면, $a$는 $M$의 상계^upper bound라고 하며, 상계가 존재하는 $A$의 부분집합을 위로 유계^{bounded from above}인 $A$의 부분집합이라고 한다.
마찬가지로, $b\in A$이고, 임의의 $x\in M$에 대하여 $b\leq x$가 성립한다면, $b$는 $M$의 하계^lower bound라고 하며, 하계가 존재하는 $A$의 부분집합을 아래로 유계^{bounded from below}인 $A$의 부분집합이라고 한다.
위와 아래로 동시에 유계인 $A$의 부분집합을 $A$의 유계^bounded인 부분집합이라고 한다. —

당연하지만, 부분집합 $M$을 순서집합으로 볼 때, $\max M$이 존재한다면, $M$은 위로 유계이다. 하지만, $M$이 위로 유계인 순서집합이라고 해도 그 상계가 $M$에 속하지 않을 수도 있으므로, 이 경우 $\max M$이 존재하리라는 보장은 없다.

순서집합 $(A,\leq)$의 부분집합 $M$에 대하여, $M$의 상계 전체의 집합을 $M^*$, 하계 전체의 집합을 $M_*$으로 나타낸다면, $M$이 위로 유계인 것은 $M^*\neq\emptyset$인 것과 동치이다. 마찬가지로, $M$이 아래로 유계인 것은 $M_*\neq\emptyset$과 동치.

정의 6(상한, 하한). $(A,\leq)$를 순서집합, $M$을 $M\neq\emptyset$인 $A$의 부분집합이라고 하자. $M$의 상계 전체의 집합 $M^*$에 대하여, $\min M^*$이 존재한다면, 이를 상한^supremum이라고 하여, $\sup M$와 같이 나타낸다. 마찬가지로, $M$의 하계 전체의 집합 $M_*$에 대하여, $\min M_*$이 존재한다면, 이를 하한^infimum이라고 하여, $\inf M$와 같이 나타낸다. —

명제 2. $(A,\leq)$를 순서집합, $M$을 $M\neq\emptyset$인 $A$의 부분집합이라고 하자. $\max M$이 존재한다면, 이는 $\sup M$과 일치한다. 역으로, $\sup M$이 존재하는 동시에 $\sup M\in M$이라면, 이는 $\max M$과 일치한다. 마찬가지로, $\min M$과 $\inf M$에 대해서도 이와 같은 성질이 성립한다. —

증명. $a = \sup M$은 다음 두 조건을 만족하는 것과 동치이다.

임의의 $x\in M$에 대하여 $x\leq a$.
$a’\in A$라고 할 때, 임의의 $x\in M$에 대하여 $x\leq a’$라면 $a\leq a’$.

$a=\max M$이 존재한다면, 조건 1을 만족하는 것은 당연하다. 또한, $a\in M$이므로 임의의 $x\in M$에 대하여 $x\leq a’$인 $a’\in A$에 대하여 $a\leq a’$인 것 역시 당연. 따라서 $a=\sup M$.

반대로, $\sup M$이 존재한다면, 1의 조건을 만족하고, $\sup M\in M$이므로, $\sup M = \max M$이다. $\min M$과 $\inf M$에 대해서도 마찬가지. $\square$

주. $\max M$이 존재하지 않더라도, $\sup M$이 존재할 수 있다. 예를 들어, 순서집합 $A=\SetR$의 부분집합 $M=(-\infty,0)$의 경우, $\max M$이 존재하지 않지만, $\sup M=0$인 것을 확인할 수 있다. 실제로, 임의의 $\SetR$의 위로 유계인 부분집합 $M$은 항상 상한 $\sup M$을 갖는다. 이러한 성질을 실수의 연속성^{continuity of real numbers} 혹은 실수의 완비성이라고 한다. —

예 5. 순서집합 $\SetQ$의 부분집합 $M\coloneqq \left\{ x\in\SetQ\mid x>0, x^2<2 \right\}$는 $\SetQ$ 상에서 상한을 갖지 않는다. 만약, 상한 $a=\sup M$이 존재한다고 가정한다면 $a>0$이고, $a^2=2$일 수는 없으므로 $a^2<2$이거나 $a^2>2$이다.

$a^2<2$인 경우: $a\in M$이므로, $a=\max M$이다. 하지만, $a’=(3a+4)/(2a+3)$으로 두면, $a’\in M$인 동시에 $a<a’$인 것을 알 수 있다. 이는 모순.
$a^2>2$인 경우: 역시 $a’=(3a+4)/(2a+3)$으로 두면, $a’$는 $M$의 상계인 동시에 $a'<a$이다. 이는 $a$가 상한이라는 가정에 모순.

따라서 $\sup M$은 존재하지 않는다. —

이 포스트에서는…

순서와 전순서를 정의했다.
순서집합의 최대, 최소, 극대, 극소 원소의 개념을 정의했다.
순서집합과 그 부분집합이 주어졌을 때의 상계, 하계, 상한, 하한의 개념을 정의했다.

참고문헌

松坂和夫，『集合・位相入門』，岩波書店，1968．

이 경우, $a<b$이면 $b<a$이지 않다. 또한 $a<b$, $b<c$이면 $a<c$이다.↩︎
“$a<b$, $a=b$, $a>b$의 셋 중 하나가 성립한다면”으로 바꾸어 말할 수 있다. 세 조건 중 하나가 성립한다면, 그 하나만이 유일하게 성립한다.↩︎

Minkowski 부등식

정리 1(Minkowski 부등식). 수열 $(a_n)_{n\in\SetN}$, $(b_n)_{n\in\SetN}$과, $p\in [1,\infty)$에 대하여, $\sum_{i=0}^{\infty} |a_i|^p, \sum_{i=0}^{\infty} |b_i|^p < \infty$ 라고 하면, 다음 부등식이 성립한다.

$$ \left( \sum_{i=0}^{\infty} |a_i + b_i|^p \right)^{1/p} \leq \left( \sum_{i=0}^{\infty} |a_i|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{i=0}^{\infty} |b_i|^p \right)^{1/p}. $$

또한, 등호는 $\exists(\lambda,\mu)\in \SetR^2_{\geq0}\setminus\left\{ (0,0) \right\},\forall n\in\SetN; \lambda a_n = \mu b_n$일 때에 한하여 성립한다. —

증명. $\|a_n\|_p \coloneqq (\sum_{n=0}^{\infty} |a_n|^p)^{1/p}$, $\|b_n\|_p \coloneqq (\sum_{n=0}^{\infty} |b_n|^p)^{1/p}$ 라고 하자. $\| a_n + b_n \|_p \leq \|a_n\|_p + \|b_n\|_p$가 성립하는 것을 보이면 된다.

우선, $p=1$이라면, $\|a_n\|_p = \sum_{i=0}^{\infty} |a_i|$이므로,

$$ \|a_n + b_n\|_p = \sum_{i=0}^{\infty} |a_i + b_i| \leq \sum_{i=0}^{\infty} |a_i| + \sum_{i=0}^{\infty} |b_i| = \|a_n\|_p + \|b_n\|_p $$

가 성립하는 것을 쉽게 확인할 수 있다.

다음으로, $p>1$인 경우를 생각하자. 우선, $\|a_n + b_n\|_p^p = \sum_{i=0}^{\infty} |a_i+b_i|^p < 0$인 것을 보이자. $f(x) = x^p$는, $x\in\SetR_{> 0}$에서 볼록한 함수인 것을 바로 확인할 수 있으므로, 각 $i\in\SetN$에 대하여,

$$ \left|\frac{a_i + b_i}{2}\right|^p \leq \left|\frac{|a_i|+|b_i|}{2}\right|^p \leq \frac{|a_i|^p}{2} + \frac{|b_i|^p}{2}. $$

따라서, $|a_i+b_i|^p\leq2^{p-1}(|a_i|^p+|b_i|^p)$, $\|a_n + b_n\|_p^p\leq 2^{p-1} (\|a_n\|_p^p + \|b_n\|_p^p) < \infty$이다.

$\|a_n + b_n\|_p = 0$인 경우, 부등식이 성립하는 것은 자명하므로, $\|a_n + b_n\|_p>0$인 경우만을 생각하자. $1/p + 1/q = 1$이 되도록 $q\in [1,\infty)$를 정하면, Hölder 부등식에 의하여

$$ \begin{aligned} \| a_n + b_n\|_p^p &= \sum_{i=0}^{\infty} |a_i + b_i|^p = \sum_{i=0}^{\infty} |a_i+b_i|\cdot|a_i+b_i|^{p-1} \\ &\leq\sum_{i=0}^{\infty} |a_i|\cdot|a_i+b_i|^{p-1} + \sum_{i=0}^{\infty}|b_i|\cdot|a_i+b_i|^{p-1} \\ &\leq\left\{ \left(\sum_{i=0}^{\infty}|a_i|^p \right)^{1/p} +\left(\sum_{i=0}^{\infty}|b_i|^p\right)^{1/p}\right\}\left(\sum_{i=0}^{\infty}|a_i+b_i|^{q(p-1)}\right)^{1/q}\\ &=\left(\|a_n\|_p + \|b_n\|_p\right)\left(\sum_{i=0}^{\infty}|a_i+b_i|^{p}\right)^{1-1/p}\\ &=\left(\|a_n\|_p + \|b_n\|_p\right)\frac{\|a_n+b_n\|_p^p}{\|a_n+b_n\|_p} \end{aligned} $$

가 성립하는 것을 알 수 있으므로, $\|a_n+b_n\|_p \leq \|a_n\|_p+\|b_n\|_p$를 얻는다.

$\exists(\lambda,\mu)\in \SetR^2_{\geq0}\setminus\left\{ (0,0) \right\},\forall n\in\SetN; \lambda a_n = \mu b_n$ 이 성립한다면, 등호가 성립하는 것은 쉽게 확인할 수 있다. 역으로, 등호가 성립한다면, 위의 첫번째 부등식($|a_i+b_i|\leq |a_i| + |b_i|$를 이용하는 부분)에서 등호가 성립해야 하므로, 각 $i\in\SetN$에 대하여 $a_i$와 $b_i$의 적어도 한 쪽이 $0$이거나, $a_i$와 $b_i$의 부호가 같아야 한다. 또한, 두번째 부등식에서도 등호가 성립하여야 하므로, Hölder 부등식의 등호성립조건에 의하여, $\exists(\lambda’,\mu’)\in \SetR^2_{\geq0}\setminus\left\{ (0,0) \right\},\forall n\in\SetN; \lambda’ |a_n|^p = \mu’ |a_n+b_n|^p$. 이를 종합하면, $\lambda = \lambda’-\mu’$, $\mu = \mu’$로 두어, 위에서 제시한 조건이 등호가 성립할 필요조건이라는 것까지 확인할 수 있다. $\square$

이 포스트에서는…

Minkowski 부등식이 성립하는 것을 보였다.

노름공간의 정의

노름의 공리

정의 1(노름의 공리). $\SetR$ 혹은 $\SetC$ 상의 벡터공간 $V$에 대하여, 사상 $\|\cdot\|\colon V\to \SetR$이 다음 조건 1,2,3을 만족한다면, 사상 $\|\cdot\|$을 노름^norm이라고 한다.

임의의 $\vec x\in V$에 대하여 $\|\vec x\|\geq 0$가 성립한다. 또한 등호는 $\vec x = \vec 0$일 때에 한하여 성립한다.
임의의 $\vec x\in V$와 $\lambda\in \SetR$ (혹은 $\lambda\in\SetC$)에 대하여, $\|\lambda\vec x\| = |\lambda|\|\vec x\|$가 성립한다.
삼각부등식 – 임의의 $\vec x, \vec y\in V$에 대하여 $\|\vec x+ \vec y\|\leq \|\vec x\| + \|\vec y\|$가 성립한다. —

보조정리 1(Cauchy-Schwarz 부등식). 벡터공간 $\SetR^n$과, $\vec a = (a_1,\ldots, a_n), \vec b = (b_1\ldots, b_n) \in\SetR^n$에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.

$$ \left( \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right). $$

또한, 등호는 $\vec a$와 $\vec b$가 선형종속일 때에 한하여 성립한다. —

증명. $\vec a = \vec b = \vec 0$ 일 때, 부등식이 성립하는 것은 자명하니, 어느 한 쪽은 $\vec 0$이 아닌 경우만을 생각하자. 이 경우, $\vec a \neq \vec 0$ 라고 해도 일반성을 잃지 않으니 $\vec a\neq \vec 0$라고 하자.

$$ f(x) \coloneqq \sum_{i=1}^{n} (a_ix-b_i)^2 = \left( \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right)x^2-2\left( \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)x + \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) $$

라고 $f(x)$를 정의하면, $a_i\neq 0$인 $i=1,\ldots,n$이 존재하므로, $\sum_{i=1}^n a_i^2 \neq 0$. $f(x)$는 2차의 다항식이다. 중간의 식으로부터 알 수 있듯이, 임의의 $x\in\SetR$에 대하여 $f(x)\geq 0$이므로, $f(x)$의 판별식 $D$에 대하여,

$$ D/4 = \left( \sum_{i=1}^{n} a_ib_i \right)^2-\left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \leq 0 $$

임을 알 수 있다. 또한, “$\vec a\neq\vec 0$와 $\vec b$가 선형종속인 것”과 “$\lambda\vec a = \vec b$이도록 하는 $\lambda\in\SetR$이 존재하는 것”은 동치, 이 경우에 한하여 $f(\lambda)= 0$로 $f(x)$는 중근 $\lambda$를 가지므로, $D=0$. $\vec a$와 $\vec b$가 선형종속인 것과 등호 성립은 동치임을 알 수 있다. $\square$

별도의 증명. 다음과 같은 간단한 식 변형을 통해 부등식이 성립하는 것을 알 수 있다.

$$ \begin{aligned} \left( \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \right)\left( \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \right) -\left( \sum_{i=1}^{n}a_ib_i \right)^2 &= \sum_{i\neq j} a_i^2b_j^2-2\sum_{i<j}^{} a_ib_ia_jb_j \\ &= \sum_{i<j} (a_ib_j -a_jb_i)^2 \geq 0. \end{aligned} $$

여기서 등호는 임의의 $i<j$에 대하여 $a_ib_j-a_jb_i=0$일 때에 한하여 성립한다는 것을 알 수 있다. 이 조건이 $\vec a$와 $\vec b$가 선형종속인 것과 동치인 것은 간단히 확인할 수 있다. $\square$

이외에도, Hölder 부등식이나, 내적의 공리로부터 Cauchy-Schwarz 부등식이 얻어진다.

예 1(Euclidean 공간). 점 $\vec a = (a_1, \ldots, a_n)\in \SetR^n$에 대하여, $\|\vec a\|_2 \coloneqq \sqrt{(a_1^2+\cdots+a_n^2)}$와 같이 사상 $\|\cdot\|: \SetR^n\to\SetR$을 정의하면, 정의 1의 노름의 공리 1,2를 만족하고 있는 것은 쉽게 확인할 수 있다. 또한, $\vec a = (a_1,\ldots,a_n), \vec b = (b_1,\ldots,b_n)\in\SetR^n$에 대해, 보조정리 1에 의하여

$$ \begin{aligned} \|\vec a+\vec b\|_2^2 &=\sum_{i=1}^{n} (a_i + b_i)^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2\sum_{i=1}^n a_ib_i \\ &\leq \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2 {\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)^{1/2} \left( \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \right)^{1/2}} \\ &= \left( \|\vec a\|_2 + \|\vec b\|_2 \right)^2. \end{aligned} $$

따라서 $\|\cdot\|$은 $\SetR^n$ 상의 노름이다. 이를 Euclidean 노름이라고 하며, 이 노름(혹은 이 노름에 의한 자연스러운 거리)이 부여된 벡터공간 $\SetR^n$을 Euclidean 공간이라고 한다. —

예 2(Minkowski 공간). $p\in [1,\infty)$라고 하자. 점 $\vec a = (a_1, \ldots, a_n)\in \SetR^n$에 대하여, $\|\vec a\|_p\coloneqq (|a_1|^p + \cdots + |a_n|^p)^{1/p}$와 같이 사상 $\|\cdot\|: \SetR^n\to\SetR$을 정의하면, 정의 1의 노름의 공리 1,2를 만족하고 있는 것은 쉽게 확인할 수 있다. 또한, $\vec a = (a_1,\ldots,a_n), \vec b = (b_1,\ldots,b_n)\in\SetR^n$에 대해, $\|\vec a + \vec b\|_p\leq \|\vec a\|_p + \|\vec b\|_p$가 성립하는 것은 Minkowski 부등식으로부터 확인할 수 있다. 따라서 $\|\cdot\|_p$은 $\SetR^n$ 상의 노름이다. 이를 Minkowski 노름이라고 하며, 이 노름(혹은 이 노름에 의한 자연스러운 거리)이 부여된 벡터공간 $\SetR^n$을 Minkowski 공간이라고 한다. —

예 3(최댓값 노름). 점 $\vec a = (a_1, \ldots, a_n)\in \SetR^n$에 대하여 $\|\vec a\|_\infty \coloneqq \max_{1\leq i\leq n} |a_i|$ 와 같이 사상 $\|\cdot\|_\infty: \SetR^n\to \SetR$을 정의하면, 이는 노름이다. (연습문제) 이를 $\SetR^n$ 상의 최댓값 노름이라고 한다. —

이 포스트에서는…

노름과 노름공간을 정의했다.
Cauchy-Schwarz 부등식을 이용하여, 노름공간의 예로 Euclidean 공간을 들었다.
Minkowski 부등식을 이용하여, 노름공간의 예로 Minkowski 공간을 들었다.
노름의 예로 최댓값 노름을 들었다.

참고문헌

松坂和夫，『集合・位相入門』，岩波書店，1968．

Hölder 부등식

정리 1(Hölder 부등식). 수열 $(a_n)_{n\in\SetN}$, $(b_n)_{n\in\SetN}$과, ${1}/{p}+{1}/{q} = 1$를 만족하는 파라미터 $p,q\in (1,\infty)$에 대하여, 우변의 급수가 수렴하는 한, 다음 부등식이 성립한다.

$$ \sum_{n=0}^{\infty} |a_nb_n| \leq \left( \sum_{n=0}^{\infty} |a_n|^p \right)^{{1}/{p}}\left( \sum_{n=0}^{\infty} |b_n|^q \right)^{{1}/{q}}. $$

또한, 등호는 $\exists (\lambda,\mu)\in\SetR_{\geq 0}^2\setminus \left\{ (0,0) \right\}, \forall n\in\SetN; \lambda|a_n|^p = \mu|b_n|^q$ 일 때에 한하여 성립한다. —

증명. 우변의 급수가 수렴하므로, $\|a_n\|_p \coloneqq \left(\sum_{n=0}^{\infty} |a_n|^p\right)^{{1}/{p}}$, $\|b_n\|_q \coloneqq \left( \sum_{n=0}^{\infty} |b_n|^q \right)^{{1}/{q}}$로 두도록 하자. $\|a_n\|_p=0$ 혹은 $\|b_n\|_q=0$ 인 경우, 부등식이 성립하는 것은 분명하므로, $\|a_n\|_p, \|b_n\|_q>0$인 경우만을 생각하도록 하자. Young 부등식에 의하여 각 $i\in\SetN$에 대하여

$$ \frac{|a_i|}{\|a_n\|_p}\cdot \frac{|b_i|}{\|b_n\|_q} \leq \frac{1}{p} \left( \frac{|a_i|}{\|a_n\|_p} \right)^p + \frac{1}{q} \left( \frac{|b_i|}{\|b_n\|_q} \right)^q $$

가 성립한다. 따라서,

$$ \begin{aligned} \frac{ \sum_{i=0}^{\infty} |a_ib_i| }{\|a_n\|_p\cdot\|b_n\|_q} &= \sum_{i=0}^{\infty} \frac{|a_i|}{\|a_n\|_p}\cdot \frac{|b_i|}{\|b_n\|_q} \\ &\leq \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{p} \left( \frac{|a_i|}{\|a_n\|_p} \right)^p + \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{q} \left( \frac{|b_i|}{\|b_n\|_q} \right)^q \\ &= \frac{1}{p}\cdot\frac{1}{\|a_n\|^p_p} \sum_{i=0}^{\infty} |a_i|^p + \frac{1}{q}\cdot\frac{1}{\|b_n\|^q_q} \sum_{i=0}^{\infty} |b_i|^q \\ &= \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. \end{aligned} $$

$\sum_{n=0}^{\infty} |a_nb_n| \leq \|a_n\|_p\cdot\|b_n\|_q= \left( \sum_{n=0}^{\infty} |a_n|^p \right)^{{1}/{p}}\left( \sum_{n=0}^{\infty} |b_n|^q \right)^{{1}/{q}}$ 이 성립하는 것을 알 수 있다.

$\lambda \coloneqq \|b_n\|_q^q \geq 0$, $\mu \coloneqq \|a_n\|_p^p\geq 0$으로 두어, 모든 $n\in\SetN$에 대하여 $\lambda|a_n|^p = \mu|b_n|^q$가 성립한다면, Young 부등식의 등호성립조건에 의하여 등호가 성립하는 것을 알 수 있다. 역으로, 어떤 $n_0\in\SetN$가 존재하여, $\lambda |a_{n_0}|^p \neq \mu |b_{n_0}|^q$가 성립한다고 하면, Young 부등식의 등호성립조건에 의하여

$$ \frac{|a_{n_0}|}{\|a_n\|_p}\cdot \frac{|b_{n_0}|}{\|b_n\|_q} < \frac{1}{p} \left( \frac{|a_{n_0}|}{\|a_n\|_p} \right)^p + \frac{1}{q} \left( \frac{|b_{n_0}|}{\|b_n\|_q} \right)^q $$

이므로, 등호가 성립하지 않음을 알 수 있다. $\square$

이 포스트에서는…

Hölder 부등식이 성립하는 것을 보였다.

Young 부등식

정리 1(Young 부등식). $1/p + 1/q = 1$을 만족하는 파라미터 $p,q\in (1,\infty)$와, 실수 $a,b\geq 0$에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.

$$ ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} $$

또한, 등호는 $a^p=b^q$인 경우에 한하여 성립한다. —

증명. $A \coloneqq a^p$, $B \coloneqq b^q$, $\theta \coloneqq 1/p$ 로 두자. 여기서, $A = 0$ 혹은 $B = 0$인 경우에 대해서는 부등식이 성립하는 것이 분명하므로, $A, B>0$인 경우만을 생각하자.

우선, 주어진 조건에 의하여 $1/q = 1-\theta$이다. 또한, $\theta = 1/p \in (0,1)$이므로, $A\neq B$라면, $\log x$는 좁은 의미로 오목한 함수이므로¹ ²,

$$ \log A^\theta B^{1-\theta} = \theta\log A + (1-\theta)\log B < \log (\theta A + (1-\theta)B ) $$

가 성립한다. 따라서,

$$ ab = A^\theta B^{1-\theta} < \theta A + (1-\theta)B = \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} $$

임을 알 수 있다. 또한, $A=B$일 때 $ab = a^p/p + b^q/q$가 성립하는 것은 자명하므로, 부등식의 등호가 성립하는 경우는 $a^p = A = B = b^q$일 때에 한하는 것을 알 수 있다. $\square$

별도의 증명. $b\geq 0$를 고정하여, $f(a) \coloneqq ({a^p}/{p}+{b^q}/{q})-ab$라고 정의하자. 그렇다면, $p>1$로부터, $f'(a) = a^{p-1}-b$를 얻으므로, $a=b^{{1}/(p-1)}$, 즉 $a^p = b^q$ 일 때 최솟값 $0$를 얻는다는 것을 알 수 있다. $\square$

주. 사실, $p,q\in (1,\infty)$로 둘 때, $M,N>0$ 이 존재하여, 모든 $a,b\geq 0$ 에 대하여 $ab\leq Ma^p+ Nb^q$ 이 성립한다면, ${1}/{p}+{1}/{q} = 1$ 가 성립한다. 따라서, ${1}/{p}+{1}/{q}=1$ 은 $M,N>0$ 이 존재하여, 모든 $a,b\geq 0$ 에 대하여 $ab\leq Ma^p+ Nb^q$ 일 필요조건이다.

만약, $M,N>0$ 이 존재하여 모든 $a,b\geq 0$ 에 대하여 $ab\leq Ma^p+ Nb^q$ 인 동시에, ${1}/{p}+{1}/{q} \neq 1$ 이라고 가정한다면, $(p-1)(q-1)\neq 1$ 이 성립하는 것을 알 수 있다. 또한 모든 $a,b\geq 0$ 에 대하여 $Nb^q \geq ab-Ma^p$ 가 성립할 것이므로, $t>0$ 으로 두어, $a = t$, $b = pMt^{p-1}$ 을 대입하면, 임의의 $t>0$ 에 대하여 $N(pM)^q\cdot t^{(p-1)q} = N(pMt^{p-1})^q\geq pMt^p – Mt^p = (p-1)Mt^p$ 가 성립함을 알 수 있다. 여기서 $p-1>0$이므로, $\frac{N(pM)^q}{(p-1)M}\geq t^{p-(p-1)q} = t^{1-(p-1)(q-1)}$가 성립, $t^{1-(p-1)(q-1)}$이 $t>0$에서 위로 유계임을 알 수 있다. 하지만, 가정으로부터 $1-(p-1)(q-1) \neq 0$, $t^{1-(p-1)(q-1)}$은 $t>0$에서 유계이지 않으므로, 이는 모순이다. 따라서 ${1}/{p} + {1}/{q} = 1$. —

$p = q = 2$인 경우에 한정하면, 다음 따름정리를 얻는다.

따름정리 2. 실수 $a,b$에 대하여 $2ab \leq a^2 + b^2$가 성립한다. 또한 등호는 $a=b$에 한하여 성립한다. —

이 포스트에서는…

Young 부등식이 성립하는 것을 보였다.

참고문헌

杉浦光夫，『解析入門 I』，東京大学出版会，1980．
松坂和夫，『集合・位相入門』，岩波書店，1968．

$\SetR$의 구간 $I$에서 정의된 실함수 $f(x)$가 오목한^concave 함수란, 임의의 $a,b\in I$, $t\in (0,1)$에 대하여, $f(ta + (1-t)b) \geq tf(a) + (1-t)f(b)$가 성립하는 함수를 의미한다. 특히, $f(ta + (1-t)b) > tf(a) + (1-t)f(b)$가 성립한다면, $f(x)$는 좁은 의미로 오목^{strictly concave}하다고 한다. 부등식의 방향이 반대인 경우, 각각 볼록한^convex 함수, 좁은 의미로 볼록한^{strictly convex} 함수라고 한다.↩︎
$\log x$가 좁은 의미로 오목한 함수라는 것은, $x>0$일 때 $(\log x)”= -1/x^2 < 0$이 성립하는 것과, $\log x$의 2차까지의 Taylor 전개를 이용하여 쉽게 보일 수 있다.↩︎